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                    Mathematica-Compatible Notebook

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NotebookFileLineBreakTest*)
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(*WindowFrame->Normal*)



Notebook[{
Cell[BoxData[{
    StyleBox[\(Hook\ Lengths\ and\ Contents\),
      FormatType->StandardForm,
      FontFamily->"Times New Roman",
      FontSize->45.5,
      FontColor->RGBColor[0.902358, 0.0976577, 0.0976577]], "\n", 
    StyleBox[\(Richard\ P . \ Stanley\),
      FormatType->StandardForm,
      FontFamily->"Arial",
      FontSize->17,
      FontColor->RGBColor[0.437507, 0.496101, 0.562509]], "\n", 
    StyleBox[\(M . I . T . \),
      FormatType->StandardForm,
      FontFamily->"Arial",
      FontSize->17,
      FontColor->RGBColor[0.437507, 0.496101, 0.562509]]}], "Input"],

Cell["\<\
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cfr http://www-math.mit.edu/~rstan/papers/hooks.pdf\
\>", "Text"],

Cell[CellGroupData[{

Cell["inits", "Subsection"],

Cell[BoxData[
    \(<< DiscreteMath`Combinatorica`\)], "Input",
  InitializationCell->True],

Cell["<<DiscreteMath`Rate`", "Input",
  Evaluatable->False,
  InitializationCell->True,
  FontSlant->"Italic"],

Cell["<<DiscreteMath`Transforms`", "Input",
  Evaluatable->False,
  InitializationCell->True,
  FontSlant->"Italic"],

Cell[BoxData[{
    \(\(BinomialTransform[{}, ___] = {};\)\), "\[IndentingNewLine]", 
    \(\(BinomialTransform[seq_List, way_:  1] := 
        Table[Sum[
            way^\((i - 1 - k)\)*Binomial[i - 1, k]*seq[\([k + 1]\)], {k, 0, 
              i - 1}], {i, 1, Length[seq]}];\)\)}], "Input",
  InitializationCell->True],

Cell[BoxData[{
    \(\(BinomialInvTransform[{}, ___] = {};\)\), "\[IndentingNewLine]", 
    \(BinomialInvTransform[seq_List, way_:  1] := 
      BinomialTransform[seq, \(-way\)]\)}], "Input",
  InitializationCell->True],

Cell["\<\
toPolCoeff[arg_] := Block[{le = Length[arg], r, k}, arg . \
Inverse[Table[k!*StirlingS2[r, k], {r, 0, le - 1}, {k, 0, le - 1}]]]; 
toPolCoeff2[arg_] := Block[{le = Length[arg], x, z}, \
CoefficientList[toPolCoeff[arg] . x^Range[0, -1 + le] /. x -> z - 1, z]]; 
fromPolCoeff[arg_] := Block[{le = Length[arg], r, k}, Table[If[r === k === 0, \
1, r^k], {r, 0, le - 1}, {k, 0, le - 1}] . arg]; \
\>", "Input",
  InitializationCell->True],

Cell[BoxData[{
    \(\(hooklength[{}] := {{}};\)\), "\[IndentingNewLine]", 
    \(\(hooklength[\((p_)\)?PartitionQ] := 
        Block[{ferr = \((PadLeft[1 + 0*Range[#1], Max[p]] &)\) /@ p}, 
          DeleteCases[\((Rest[FoldList[Plus, 0, #1]] &)\) /@ ferr + 
                Reverse /@ 
                  Reverse[
                    Transpose[\((Rest[FoldList[Plus, 0, #1]] &)\) /@ 
                        Reverse[Reverse /@ Transpose[ferr]]]], 0, \(-1\)] - 
            1];\)\)}], "Input",
  InitializationCell->True],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(hooklength[{3, 2, 1}]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \({{1, 3, 5}, {1, 3}, {1}}\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell["\<\
qbinomial[n_Integer, m_Integer] := Expand[Together[Product[(1 - q^(n - j))/(1 \
- q^(j + 1)), {j, 0, m - 1}]]] ;\
\>", "Input",
  InitializationCell->True],

Cell["\<\
integerpartitions[n_, m_] := Coefficient[qbinomial[n + 1 + m, m], q^n];\
\>", "Input",
  InitializationCell->True],

Cell["\<\
rankpartition[(p_)?PartitionQ] := PartitionsP[Tr[p]] - \
Sum[(integerpartitions[Tr[#1], First[#1] - 1] & )[Drop[p, k]],  {k, 0, \
Length[p] - 1}];\
\>", "Input",
  InitializationCell->True]
}, Closed]],

Cell[CellGroupData[{

Cell["slide 7/64.  Frame-Robinson-Thrall ", "Section"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(\(\((\(Tr[#]!\)/Apply[Times, Flatten[hooklength[#]]])\)\  &\) /@ 
      Partitions[5]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \({1, 4, 5, 6, 5, 4, 1}\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(NumberOfTableaux /@ Partitions[5]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \({1, 4, 5, 6, 5, 4, 1}\)], "Output"]
}, Open  ]]
}, Closed]],

Cell[CellGroupData[{

Cell["slide 9/64.  RSK algorithm:", "Section"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(Tr[%^2] \[Equal] \(5!\)\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(True\)], "Output"]
}, Open  ]]
}, Closed]],

Cell[CellGroupData[{

Cell["slide 10 /64. Nekrasov-Okounkov", "Section"],

Cell[GraphicsData["Bitmap", "\<\
CF5dJ6E]HGAYHf4PAg9QL6QYHg<PAVmbKF5d0`4000;V0001?2000`400?l0
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ooooo`3ooooX0?ooo`00o`3ooooo0?ooonP0oooo003o0?oooeT0oooo01<0
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o`060?Ogi`3>_KD0Q8B<07>4Y@2L_MH0ioOo3P3oool01@3oooL0klJ]06]k
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o`3ooomB0?ooo`040?oggP2]W:D0U:g>0=kgo`D0oooo00H0mnoN0<Je[@1k
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kmk>0<JeY@1cNh`0LhBD07=kS01cQ:D0[LK>0=k_o``0oooo00P0kmk>0<Je
Y@1cNh`0LhBD07=kS01cQ:D0[LK>0=k_o``0oooo00T0ooog0>OFcP2m]JD0
LhBD07=kS01cQ9@0Jg^L0:FmcP3>ioL01@3oool01P3oooL0ikfU07=kS01c
Q9@0Jhbm0=kgob<0oooo00`0mmkF0<J]aP2mNi@0N`1k08@0Q01k07/0Q024
07/0N`24@Zd0_Jg60<Jmi`3goolM0?ooo`070?o>]@2408@0N`1k08@0Q01k
07/0Q8cN0?Ooo`080?ooo`070?ook`36FX@0Q02407/0N`2408@0N`2L0<KW
o`0l0?ooo`050?oggP2]S9@0Lg^<07>4U024_NL01P3oool02P3oonl0e/K>
0<Je[@1cNh`0LhBD06]kS01cQ9@0Q:G60<K6gP3Nmol;0?ooo`080>ONcP36
]Jd0Lg^<07>4U01[Nh`0LhB]0:g6cP3Nkol<0?ooo`080>ONcP36]Jd0Lg^<
07>4U01[Nh`0LhB]0:g6cP3Nkol;0?ooo`0:0?ogi`3>a/H0[IbL07=kS01c
Q9@0Jg^<07>4W02<]LH0a]KW0?Ooo`D0oooo00H0ooog0>NmY@1[Nh`0LhBD
07><_@3NmolJ0?ooo`00o`3ooooo0?ooonP0oooo003o0?ooool0ooooj03o
ool00?l0ooooo`3ooooX0?ooo`00o`3ooooo0?ooonP0oooo003o0?ooool0
ooooj03oool00?l0ooooo`3ooooX0?ooo`00o`3ooooo0?ooonP0oooo003o
0?ooool0ooooj03oool00?l0ooooo`3ooooX0?ooo`00\
\>"], "Graphics",
  ImageSize->{418, 177.938},
  ImageMargins->{{0, 0}, {0, 0}},
  ImageRegion->{{0, 1}, {0, 1}}],

Cell["\<\
http://mathforum.org/kb/message.jspa?messageID=7753260 and \
http://mathforum.org/kb/thread.jspa?forumID=84&threadID=2273983&messageID=\
7485793#7485793\
\>", "Text"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(\(\((\ Apply[Times, Flatten[hooklength[#]]])\)\  &\) /@ 
      Partitions[4]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \({24, 8, 12, 8, 24}\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(\(\(\(\((\ Apply[Times, t + Flatten[hooklength[#]]^2])\)\  &\) /@ 
      Partitions[4]\)\(\ \)\)\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \({\((1 + t)\)\ \((4 + t)\)\ \((9 + t)\)\ \((16 + 
            t)\), \((1 + t)\)\^2\ \((4 + t)\)\ \((16 + t)\), \((1 + 
            t)\)\ \((4 + t)\)\^2\ \((9 + t)\), \((1 + t)\)\^2\ \((4 + 
            t)\)\ \((16 + t)\), \((1 + t)\)\ \((4 + t)\)\ \((9 + 
            t)\)\ \((16 + t)\)}\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(\(\(Apply[
      Plus, \(\((\ Apply[Times, t + Flatten[hooklength[#]]^2])\)\  &\) /@ 
        Partitions[4]\ ]\)\(\ \)\)\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(\((1 + t)\)\ \((4 + t)\)\^2\ \((9 + t)\) + 
      2\ \((1 + t)\)\^2\ \((4 + t)\)\ \((16 + t)\) + 
      2\ \((1 + t)\)\ \((4 + t)\)\ \((9 + t)\)\ \((16 + t)\)\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(\(\(Apply[
      Plus, \(\((NumberOfTableaux[#]^2\ Apply[Times, 
                t + Flatten[hooklength[#]]^2])\)\  &\) /@ 
        Partitions[4]\ ]\)\(\ \)\)\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(4\ \((1 + t)\)\ \((4 + t)\)\^2\ \((9 + t)\) + 
      18\ \((1 + t)\)\^2\ \((4 + t)\)\ \((16 + t)\) + 
      2\ \((1 + t)\)\ \((4 + t)\)\ \((9 + t)\)\ \((16 + t)\)\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell[TextData[{
  "Simplify[Tr[Table[1/n!*x^n/n!*Tr[(NumberOfTableaux[#1]^2 ",
  StyleBox["Apply[Times,t+Flatten[hooklength[#1]]^2]",
    FontColor->RGBColor[0, 0, 1]],
  " & ) /@ Partitions[n]], {n, 0, 4}]]]\nNormal[Simplify@Series[Product[(1 - \
x^i)^(-1 - t), {i, 4}], {x, 0, 4}]]\nSimplify[%%==%]"
}], "Input",
  Background->GrayLevel[0.900008]],

Cell[BoxData[
    \(1 + \((1 + t)\)\ x + 1\/2\ \((1 + t)\)\ \((4 + t)\)\ x\^2 + 
      1\/6\ \((18 + 29\ t + 12\ t\^2 + t\^3)\)\ x\^3 + 
      1\/24\ \((120 + 218\ t + 119\ t\^2 + 22\ t\^3 + 
            t\^4)\)\ x\^4\)], "Output"],

Cell[BoxData[
    \(1 + \((1 + t)\)\ x + 1\/2\ \((4 + 5\ t + t\^2)\)\ x\^2 + 
      1\/6\ \((18 + 29\ t + 12\ t\^2 + t\^3)\)\ x\^3 + 
      1\/24\ \((120 + 218\ t + 119\ t\^2 + 22\ t\^3 + 
            t\^4)\)\ x\^4\)], "Output"],

Cell[BoxData[
    \(True\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell["\<\
w = 9; MapIndexed[CoefficientList[#1, t]*Tr[#2 - 1]! & , 
   CoefficientList[Series[Product[(1 - x^i)^(-1 - t), {i, w}], {x, 0, w}], \
x]] \
\>", "Input"],

Cell[BoxData[
    \({{1}, {1, 1}, {4, 5, 1}, {18, 29, 12, 1}, {120, 218, 119, 22, 1}, {840, 
        1814, 1285, 345, 35, 1}, {7920, 18144, 14674, 5205, 805, 51, 
        1}, {75600, 196356, 185080, 79219, 16450, 1624, 70, 1}, {887040, 
        2427312, 2515036, 1258628, 324569, 43568, 2954, 92, 1}, {10886400, 
        32304240, 37012572, 21034376, 6431733, 1088409, 101178, 4974, 117, 
        1}}\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell["\<\
A210590 Triangle of numbers generated by the Nekrasov-Okounkov formula.\
\>", "Text"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(Flatten[%]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \({1, 1, 1, 4, 5, 1, 18, 29, 12, 1, 120, 218, 119, 22, 1, 840, 1814, 
      1285, 345, 35, 1, 7920, 18144, 14674, 5205, 805, 51, 1, 75600, 196356, 
      185080, 79219, 16450, 1624, 70, 1, 887040, 2427312, 2515036, 1258628, 
      324569, 43568, 2954, 92, 1, 10886400, 32304240, 37012572, 21034376, 
      6431733, 1088409, 101178, 4974, 117, 1}\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[BoxData[{\(e[n_, v_] := 
        Tr[Times @@@ 
            Select[Subsets[Table[Subscript[x, j], {j, v}]], 
              Length[#] \[Equal] n &]];\), "\[IndentingNewLine]", 
    RowBox[{
      RowBox[{
        StyleBox[\(f[li_List, fun_, par_, k_]\),
          FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], 
        ":=", \(fun[par, k] /. 
          Thread[Array[Subscript[x, #1] &, Length[li]] \[Rule] li]\)}], 
      ";"}]}], "Input"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    RowBox[{" ", 
      RowBox[{"Table", "[", 
        RowBox[{
          RowBox[{\(1/\(n!\)\), 
            RowBox[{"Tr", "[", 
              RowBox[{
                RowBox[{
                  RowBox[{\(NumberOfTableaux[#]^2\), " ", 
                    StyleBox[\(f[Flatten[hooklength[#]]^2, e, n - k, n]\),
                      FontColor->RGBColor[1, 0, 0]]}], "&"}], 
                "/@", \(Partitions[n]\)}], "]"}]}], ",", \({n, 0, 5}\), 
          ",", \({k, 0, n}\)}], "]"}]}]], "Input"],

Cell[BoxData[
    \({{1}, {1, 1}, {4, 5, 1}, {18, 29, 12, 1}, {120, 218, 119, 22, 1}, {840, 
        1814, 1285, 345, 35, 1}}\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(\(\(Sum[
      x^n\ /\((\(n!\))\)^2\ *
        Apply[Plus, \(\((NumberOfTableaux[#]^2\ Apply[Times, 
                    t + Flatten[hooklength[#]]^2])\)\  &\) /@ 
            Partitions[n]\ ], \ {n, 4}]\)\(\ \)\)\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(\((1 + t)\)\ x + 1\/2\ \((1 + t)\)\ \((4 + t)\)\ x\^2 + 
      1\/36\ \((4\ \((1 + t)\)\^2\ \((9 + t)\) + 
            2\ \((1 + t)\)\ \((4 + t)\)\ \((9 + t)\))\)\ x\^3 + 
      1\/576\ \((4\ \((1 + t)\)\ \((4 + t)\)\^2\ \((9 + t)\) + 
            18\ \((1 + t)\)\^2\ \((4 + t)\)\ \((16 + t)\) + 
            2\ \((1 + t)\)\ \((4 + t)\)\ \((9 + t)\)\ \((16 + 
                  t)\))\)\ x\^4\)], "Output"]
}, Open  ]]
}, Closed]],

Cell[CellGroupData[{

Cell["slide 20 / 64. SSYT", "Section"],

Cell["\<\
content[{}]:={{}};
content[(p_)?PartitionQ]:= Block[{le= Max[p], ferr =(PadLeft[1+ 0*Range[#1], \
Max[p]]&) /@ p}, DeleteCases[ MapIndexed[-le+ Range[le,1,-1]- #1- Tr[#2]&, \
0*ferr]*ferr,0,-1]+ le];\
\>", "Input",
  InitializationCell->True],

Cell["\<\
stanley[(p_)?PartitionQ, t_Integer] := Times @@ ((t + \
Flatten[content[p]])/Flatten[hooklength[p]]); \
\>", "Input",
  InitializationCell->True],

Cell["\<\
majorsweak[left_List,right_List]:=Block[{le1=Length[left],le2=Length[right]},\
If[Or[le2>le1,Min[Sign[left-PadRight[right,le1]]]<0],False,True]]\
\>", "Input",
  InitializationCell->True],

Cell["\<\
majorsstrong[left_List,right_List]:= Not[ Or[ First[right]>First[left], Min[ \
Sign[PadRight[left,Length[right]]-right] ]<1 ] ]\
\>", "Input",
  InitializationCell->True,
  Background->None],

Cell[TextData[{
  "solspace[par_List,v_Integer]:=Block[{tra=TransposePartition[par],it \
},it=MapIndexed[ Function[{q,i}, \
Union[PadRight[#,q]&/@Partitions[q*(v+1-Tr@i),(v+1-Tr@i) ]] ], par ];\n\
MapIndexed[  ",
  StyleBox["Cases[",
    FontColor->RGBColor[0, 0, 1]],
  " #1  ,q_List/; ",
  StyleBox["majorsweak[ ",
    FontColor->RGBColor[1, 0, 0]],
  "q ,(1-Tr[#2])+Take[tra,Part[par,Tr@#2]] ",
  StyleBox["]",
    FontColor->RGBColor[1, 0, 0]],
  " ",
  StyleBox["]",
    FontColor->RGBColor[0, 0, 1]],
  "& ,it]];"
}], "Input",
  InitializationCell->True],

Cell["\<\
SSYT[par_List,v_Integer]:=Block[{sspace},sspace=solspace[par,v];
If[Length[par]===1,List/@Flatten[sspace,1],Backtrack[sspace,(If[Length[#]<2,\
True,majorsstrong[#[[-2]],#[[-1]]]])&,True&,All]]]\
\>", "Input",
  InitializationCell->True],

Cell[TextData[{
  "'sagan[ \[Micro], t]  ' counts the SSYT of shape \[Micro] with max element \
<= t, grouped by the frequencies of their elements: \nthe SSYT \
{{3,2,1},{2,1},{1}} would be reported as w[{",
  StyleBox["3,2,1",
    FontColor->RGBColor[1, 0, 0]],
  "}] representing the frequencies  3^",
  StyleBox["1",
    FontColor->RGBColor[1, 0, 0]],
  " 2^",
  StyleBox["2",
    FontColor->RGBColor[1, 0, 0]],
  " 1^",
  StyleBox["3",
    FontColor->RGBColor[1, 0, 0]],
  " as a partition of the size of \[Micro]\nThis is equivalent to the Schur \
function s[ \[Mu], t ] converted to powers of p."
}], "Text"],

Cell["\<\
sagan[par_List,v_Integer]:=Block[{freq},freq=Map[ Function[q,  \
Count[Flatten[q],#]&/@Range[v]  ] , SSYT[par ,v ] , {1} ]; Tr[ \
w[DeleteCases[Reverse[Sort[#]],0]]&/@freq ] ]\
\>", "Input",
  InitializationCell->True],

Cell[BoxData[
    \(\(s[\((p_)\)?PartitionQ, v_] := 
        Block[{le = Length[p], n = Tr[p]}, If[v < le, Return[0]]; \ 
          Together[
            Expand[Factor[
                  Det[Outer[#2^#1 &, PadRight[p, v] + v - Range[v], 
                      Array[Subscript[x, #1] &, v]]]]/
                Factor[Det[
                    Outer[#2^#1 &, Range[v - 1, 0, \(-1\)], 
                      Array[Subscript[x, #1] &, v]]]]]]];\)\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    RowBox[{
      StyleBox[" ",
        FormatType->StandardForm,
        FontFamily->"CMBX12",
        FontSize->30,
        FontColor->RGBColor[0.437507, 0.496101, 0.562509]], 
      RowBox[{
        StyleBox["#",
          FormatType->StandardForm,
          FontFamily->"CMBX12",
          FontSize->30,
          FontColor->RGBColor[0.437507, 0.496101, 0.562509]], 
        RowBox[{
          StyleBox["{",
            FormatType->StandardForm,
            FontFamily->"CMBSY10",
            FontSize->30,
            FontColor->RGBColor[0.437507, 0.496101, 0.562509]], 
          RowBox[{
            RowBox[{
              StyleBox["SSYT",
                FormatType->StandardForm,
                FontFamily->"CMBX12",
                FontSize->30,
                FontColor->RGBColor[0.437507, 0.496101, 0.562509]], 
              StyleBox[" ",
                FormatType->StandardForm,
                FontFamily->"CMBX12",
                FontSize->30,
                FontColor->RGBColor[0.437507, 0.496101, 0.562509]], 
              StyleBox["of",
                FormatType->StandardForm,
                FontFamily->"CMBX12",
                FontSize->30,
                FontColor->RGBColor[0.437507, 0.496101, 0.562509]], 
              StyleBox[" ",
                FormatType->StandardForm,
                FontFamily->"CMBX12",
                FontSize->30,
                FontColor->RGBColor[0.437507, 0.496101, 0.562509]], 
              StyleBox["shape",
                FormatType->StandardForm,
                FontFamily->"CMBX12",
                FontSize->30,
                FontColor->RGBColor[0.437507, 0.496101, 0.562509]], 
              StyleBox[" ",
                FormatType->StandardForm,
                FontFamily->"CMBX12",
                FontSize->30,
                FontColor->RGBColor[0.437507, 0.496101, 0.562509]], 
              StyleBox["\[Lambda]",
                FormatType->StandardForm,
                FontFamily->"CMMIB10",
                FontSize->30,
                FontColor->RGBColor[0.437507, 0.496101, 0.562509]]}], 
            StyleBox[";",
              FormatType->StandardForm,
              FontFamily->"CMMIB10",
              FontSize->30,
              FontColor->RGBColor[0.437507, 0.496101, 0.562509]], 
            StyleBox[" ",
              FormatType->StandardForm,
              FontFamily->"CMMIB10",
              FontSize->30,
              FontColor->RGBColor[0.437507, 0.496101, 0.562509]], 
            RowBox[{
              StyleBox["max",
                FormatType->StandardForm,
                FontFamily->"CMBX12",
                FontSize->30,
                FontColor->RGBColor[0.437507, 0.496101, 0.562509]], 
              StyleBox[" ",
                FormatType->StandardForm,
                FontFamily->"CMBX12",
                FontSize->30,
                FontColor->RGBColor[0.437507, 0.496101, 0.562509]], 
              StyleBox["\[LessEqual]",
                FormatType->StandardForm,
                FontFamily->"CMBX12",
                FontSize->30,
                FontColor->RGBColor[0.437507, 0.496101, 0.562509]], 
              StyleBox[" ",
                FormatType->StandardForm,
                FontFamily->"CMBSY10",
                FontSize->30,
                FontColor->RGBColor[0.437507, 0.496101, 0.562509]], 
              StyleBox["t",
                FormatType->StandardForm,
                FontFamily->"CMMIB10",
                FontSize->30,
                FontColor->RGBColor[0.437507, 0.496101, 0.562509]]}]}], 
          StyleBox["}",
            FormatType->StandardForm,
            FontFamily->"CMMIB10",
            FontSize->30,
            FontColor->RGBColor[0.437507, 0.496101, 0.562509]]}]}]}]], "Input",\

  Evaluatable->False],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(stanley[{3, 2, 1}, 4]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(64\)], "Output"]
}, Closed]],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[{
    \(SSYT[{3, 2, 1}, 4]\), "\[IndentingNewLine]", 
    \(Length[%]\)}], "Input"],

Cell[BoxData[
    \({{{3, 2, 1}, {2, 1}, {1}}, {{3, 2, 2}, {2, 1}, {1}}, {{3, 3, 1}, {2, 
          1}, {1}}, {{3, 3, 1}, {2, 2}, {1}}, {{3, 3, 2}, {2, 1}, {1}}, {{3, 
          3, 2}, {2, 2}, {1}}, {{3, 3, 3}, {2, 1}, {1}}, {{3, 3, 3}, {2, 
          2}, {1}}, {{4, 2, 1}, {2, 1}, {1}}, {{4, 2, 1}, {3, 1}, {1}}, {{4, 
          2, 1}, {3, 1}, {2}}, {{4, 2, 2}, {2, 1}, {1}}, {{4, 2, 2}, {3, 
          1}, {1}}, {{4, 2, 2}, {3, 1}, {2}}, {{4, 3, 1}, {2, 1}, {1}}, {{4, 
          3, 1}, {2, 2}, {1}}, {{4, 3, 1}, {3, 1}, {1}}, {{4, 3, 1}, {3, 
          1}, {2}}, {{4, 3, 1}, {3, 2}, {1}}, {{4, 3, 1}, {3, 2}, {2}}, {{4, 
          3, 2}, {2, 1}, {1}}, {{4, 3, 2}, {2, 2}, {1}}, {{4, 3, 2}, {3, 
          1}, {1}}, {{4, 3, 2}, {3, 1}, {2}}, {{4, 3, 2}, {3, 2}, {1}}, {{4, 
          3, 2}, {3, 2}, {2}}, {{4, 3, 3}, {2, 1}, {1}}, {{4, 3, 3}, {2, 
          2}, {1}}, {{4, 3, 3}, {3, 1}, {1}}, {{4, 3, 3}, {3, 1}, {2}}, {{4, 
          3, 3}, {3, 2}, {1}}, {{4, 3, 3}, {3, 2}, {2}}, {{4, 4, 1}, {2, 
          1}, {1}}, {{4, 4, 1}, {2, 2}, {1}}, {{4, 4, 1}, {3, 1}, {1}}, {{4, 
          4, 1}, {3, 1}, {2}}, {{4, 4, 1}, {3, 2}, {1}}, {{4, 4, 1}, {3, 
          2}, {2}}, {{4, 4, 1}, {3, 3}, {1}}, {{4, 4, 1}, {3, 3}, {2}}, {{4, 
          4, 2}, {2, 1}, {1}}, {{4, 4, 2}, {2, 2}, {1}}, {{4, 4, 2}, {3, 
          1}, {1}}, {{4, 4, 2}, {3, 1}, {2}}, {{4, 4, 2}, {3, 2}, {1}}, {{4, 
          4, 2}, {3, 2}, {2}}, {{4, 4, 2}, {3, 3}, {1}}, {{4, 4, 2}, {3, 
          3}, {2}}, {{4, 4, 3}, {2, 1}, {1}}, {{4, 4, 3}, {2, 2}, {1}}, {{4, 
          4, 3}, {3, 1}, {1}}, {{4, 4, 3}, {3, 1}, {2}}, {{4, 4, 3}, {3, 
          2}, {1}}, {{4, 4, 3}, {3, 2}, {2}}, {{4, 4, 3}, {3, 3}, {1}}, {{4, 
          4, 3}, {3, 3}, {2}}, {{4, 4, 4}, {2, 1}, {1}}, {{4, 4, 4}, {2, 
          2}, {1}}, {{4, 4, 4}, {3, 1}, {1}}, {{4, 4, 4}, {3, 1}, {2}}, {{4, 
          4, 4}, {3, 2}, {1}}, {{4, 4, 4}, {3, 2}, {2}}, {{4, 4, 4}, {3, 
          3}, {1}}, {{4, 4, 4}, {3, 3}, {2}}}\)], "Output"],

Cell[BoxData[
    \(64\)], "Output"]
}, Closed]],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(sagan[{3, 2, 1}, 4]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(8\ w[{2, 2, 2}] + 24\ w[{3, 2, 1}] + 24\ w[{2, 2, 1, 1}] + 
      8\ w[{3, 1, 1, 1}]\)], "Output"]
}, Closed]]
}, Closed]],

Cell[CellGroupData[{

Cell["slide 22 (/64.) \"Schur functions\"", "Section"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    RowBox[{"symm", "=", 
      RowBox[{"Plus", "@@", 
        RowBox[{"(", 
          RowBox[{\(Apply[Times, x /@ Flatten[#]] &\), "/@", 
            RowBox[{"SSYT", "[", 
              RowBox[{\({3, 2, 1}\), ",", 
                StyleBox["4",
                  FontColor->RGBColor[1, 0, 0]]}], "]"}]}], "  ", 
          ")"}]}]}]], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(x[1]\^3\ x[2]\^2\ x[3] + x[1]\^2\ x[2]\^3\ x[3] + 
      x[1]\^3\ x[2]\ x[3]\^2 + 2\ x[1]\^2\ x[2]\^2\ x[3]\^2 + 
      x[1]\ x[2]\^3\ x[3]\^2 + x[1]\^2\ x[2]\ x[3]\^3 + 
      x[1]\ x[2]\^2\ x[3]\^3 + x[1]\^3\ x[2]\^2\ x[4] + 
      x[1]\^2\ x[2]\^3\ x[4] + 2\ x[1]\^3\ x[2]\ x[3]\ x[4] + 
      4\ x[1]\^2\ x[2]\^2\ x[3]\ x[4] + 2\ x[1]\ x[2]\^3\ x[3]\ x[4] + 
      x[1]\^3\ x[3]\^2\ x[4] + 4\ x[1]\^2\ x[2]\ x[3]\^2\ x[4] + 
      4\ x[1]\ x[2]\^2\ x[3]\^2\ x[4] + x[2]\^3\ x[3]\^2\ x[4] + 
      x[1]\^2\ x[3]\^3\ x[4] + 2\ x[1]\ x[2]\ x[3]\^3\ x[4] + 
      x[2]\^2\ x[3]\^3\ x[4] + x[1]\^3\ x[2]\ x[4]\^2 + 
      2\ x[1]\^2\ x[2]\^2\ x[4]\^2 + x[1]\ x[2]\^3\ x[4]\^2 + 
      x[1]\^3\ x[3]\ x[4]\^2 + 4\ x[1]\^2\ x[2]\ x[3]\ x[4]\^2 + 
      4\ x[1]\ x[2]\^2\ x[3]\ x[4]\^2 + x[2]\^3\ x[3]\ x[4]\^2 + 
      2\ x[1]\^2\ x[3]\^2\ x[4]\^2 + 4\ x[1]\ x[2]\ x[3]\^2\ x[4]\^2 + 
      2\ x[2]\^2\ x[3]\^2\ x[4]\^2 + x[1]\ x[3]\^3\ x[4]\^2 + 
      x[2]\ x[3]\^3\ x[4]\^2 + x[1]\^2\ x[2]\ x[4]\^3 + 
      x[1]\ x[2]\^2\ x[4]\^3 + x[1]\^2\ x[3]\ x[4]\^3 + 
      2\ x[1]\ x[2]\ x[3]\ x[4]\^3 + x[2]\^2\ x[3]\ x[4]\^3 + 
      x[1]\ x[3]\^2\ x[4]\^3 + x[2]\ x[3]\^2\ x[4]\^3\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    RowBox[{"ru", "=", 
      RowBox[{
        RowBox[{
          RowBox[{"Thread", "[", " ", 
            RowBox[{"(", 
              RowBox[{
                RowBox[{"Array", "[", 
                  RowBox[{"x", ",", 
                    StyleBox["4",
                      FontColor->RGBColor[1, 0, 0]]}], "]"}], "\[Rule]", 
                "#"}], ")"}], "]"}], "&"}], "/@", 
        RowBox[{"Map", "[", 
          RowBox[{"x", ",", 
            RowBox[{"Permutations", "[", 
              RowBox[{"Range", "@", 
                StyleBox["4",
                  FontColor->RGBColor[1, 0, 0]]}], "]"}], ",", \({\(-1\)}\)}],
           "]"}], " "}]}]], "Input"],

Cell[BoxData[
    \({{x[1] \[Rule] x[1], x[2] \[Rule] x[2], x[3] \[Rule] x[3], 
        x[4] \[Rule] x[4]}, {x[1] \[Rule] x[1], x[2] \[Rule] x[2], 
        x[3] \[Rule] x[4], x[4] \[Rule] x[3]}, {x[1] \[Rule] x[1], 
        x[2] \[Rule] x[3], x[3] \[Rule] x[2], 
        x[4] \[Rule] x[4]}, {x[1] \[Rule] x[1], x[2] \[Rule] x[3], 
        x[3] \[Rule] x[4], x[4] \[Rule] x[2]}, {x[1] \[Rule] x[1], 
        x[2] \[Rule] x[4], x[3] \[Rule] x[2], 
        x[4] \[Rule] x[3]}, {x[1] \[Rule] x[1], x[2] \[Rule] x[4], 
        x[3] \[Rule] x[3], x[4] \[Rule] x[2]}, {x[1] \[Rule] x[2], 
        x[2] \[Rule] x[1], x[3] \[Rule] x[3], 
        x[4] \[Rule] x[4]}, {x[1] \[Rule] x[2], x[2] \[Rule] x[1], 
        x[3] \[Rule] x[4], x[4] \[Rule] x[3]}, {x[1] \[Rule] x[2], 
        x[2] \[Rule] x[3], x[3] \[Rule] x[1], 
        x[4] \[Rule] x[4]}, {x[1] \[Rule] x[2], x[2] \[Rule] x[3], 
        x[3] \[Rule] x[4], x[4] \[Rule] x[1]}, {x[1] \[Rule] x[2], 
        x[2] \[Rule] x[4], x[3] \[Rule] x[1], 
        x[4] \[Rule] x[3]}, {x[1] \[Rule] x[2], x[2] \[Rule] x[4], 
        x[3] \[Rule] x[3], x[4] \[Rule] x[1]}, {x[1] \[Rule] x[3], 
        x[2] \[Rule] x[1], x[3] \[Rule] x[2], 
        x[4] \[Rule] x[4]}, {x[1] \[Rule] x[3], x[2] \[Rule] x[1], 
        x[3] \[Rule] x[4], x[4] \[Rule] x[2]}, {x[1] \[Rule] x[3], 
        x[2] \[Rule] x[2], x[3] \[Rule] x[1], 
        x[4] \[Rule] x[4]}, {x[1] \[Rule] x[3], x[2] \[Rule] x[2], 
        x[3] \[Rule] x[4], x[4] \[Rule] x[1]}, {x[1] \[Rule] x[3], 
        x[2] \[Rule] x[4], x[3] \[Rule] x[1], 
        x[4] \[Rule] x[2]}, {x[1] \[Rule] x[3], x[2] \[Rule] x[4], 
        x[3] \[Rule] x[2], x[4] \[Rule] x[1]}, {x[1] \[Rule] x[4], 
        x[2] \[Rule] x[1], x[3] \[Rule] x[2], 
        x[4] \[Rule] x[3]}, {x[1] \[Rule] x[4], x[2] \[Rule] x[1], 
        x[3] \[Rule] x[3], x[4] \[Rule] x[2]}, {x[1] \[Rule] x[4], 
        x[2] \[Rule] x[2], x[3] \[Rule] x[1], 
        x[4] \[Rule] x[3]}, {x[1] \[Rule] x[4], x[2] \[Rule] x[2], 
        x[3] \[Rule] x[3], x[4] \[Rule] x[1]}, {x[1] \[Rule] x[4], 
        x[2] \[Rule] x[3], x[3] \[Rule] x[1], 
        x[4] \[Rule] x[2]}, {x[1] \[Rule] x[4], x[2] \[Rule] x[3], 
        x[3] \[Rule] x[2], x[4] \[Rule] x[1]}}\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(Equal @@ \((symm\  /. \ ru)\)\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(True\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(s[{3, 2, 1}, 4]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(x\_1\%3\ x\_2\%2\ x\_3 + x\_1\%2\ x\_2\%3\ x\_3 + 
      x\_1\%3\ x\_2\ x\_3\%2 + 2\ x\_1\%2\ x\_2\%2\ x\_3\%2 + 
      x\_1\ x\_2\%3\ x\_3\%2 + x\_1\%2\ x\_2\ x\_3\%3 + 
      x\_1\ x\_2\%2\ x\_3\%3 + x\_1\%3\ x\_2\%2\ x\_4 + 
      x\_1\%2\ x\_2\%3\ x\_4 + 2\ x\_1\%3\ x\_2\ x\_3\ x\_4 + 
      4\ x\_1\%2\ x\_2\%2\ x\_3\ x\_4 + 2\ x\_1\ x\_2\%3\ x\_3\ x\_4 + 
      x\_1\%3\ x\_3\%2\ x\_4 + 4\ x\_1\%2\ x\_2\ x\_3\%2\ x\_4 + 
      4\ x\_1\ x\_2\%2\ x\_3\%2\ x\_4 + x\_2\%3\ x\_3\%2\ x\_4 + 
      x\_1\%2\ x\_3\%3\ x\_4 + 2\ x\_1\ x\_2\ x\_3\%3\ x\_4 + 
      x\_2\%2\ x\_3\%3\ x\_4 + x\_1\%3\ x\_2\ x\_4\%2 + 
      2\ x\_1\%2\ x\_2\%2\ x\_4\%2 + x\_1\ x\_2\%3\ x\_4\%2 + 
      x\_1\%3\ x\_3\ x\_4\%2 + 4\ x\_1\%2\ x\_2\ x\_3\ x\_4\%2 + 
      4\ x\_1\ x\_2\%2\ x\_3\ x\_4\%2 + x\_2\%3\ x\_3\ x\_4\%2 + 
      2\ x\_1\%2\ x\_3\%2\ x\_4\%2 + 4\ x\_1\ x\_2\ x\_3\%2\ x\_4\%2 + 
      2\ x\_2\%2\ x\_3\%2\ x\_4\%2 + x\_1\ x\_3\%3\ x\_4\%2 + 
      x\_2\ x\_3\%3\ x\_4\%2 + x\_1\%2\ x\_2\ x\_4\%3 + 
      x\_1\ x\_2\%2\ x\_4\%3 + x\_1\%2\ x\_3\ x\_4\%3 + 
      2\ x\_1\ x\_2\ x\_3\ x\_4\%3 + x\_2\%2\ x\_3\ x\_4\%3 + 
      x\_1\ x\_3\%2\ x\_4\%3 + x\_2\ x\_3\%2\ x\_4\%3\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(symm\  \[Equal] \ % /. Subscript[x, k_] \[RuleDelayed] x[k]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(True\)], "Output"]
}, Open  ]]
}, Closed]],

Cell[CellGroupData[{

Cell["slide 26 (/64.) \"A curiosity\" ", "Section"],

Cell["rhs:", "Text"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(\(Apply[
          Plus, \(Apply[Times, q + Flatten[content[#]]]\  &\) /@ 
            Partitions[\ 5\ ]] // Factor\)\  // Timing\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \({0.`\ Second, q\ \((40 + 73\ q\^2 + 7\ q\^4)\)}\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell["lhs:", "Text"],

Cell[TextData[{
  StyleBox["A191716",
    FontColor->RGBColor[0, 0, 0.996109],
    FontVariations->{"Underline"->True}],
  " a(n,k) equals (1/n!) multiplied by the count of permutations with cycle \
length k in all products u v u^-1 v^-1 over all permutations u and v of \
length n. "
}], "Text"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[{
    \(w = 
      5; \ \(Apply[Plus, 
            Flatten[Outer[
                q^Length[
                      ToCycles[\(\(#1[\([#2]\)]\)[\([InversePermutation[#1]]\)\
]\)[\([InversePermutation[#2]]\)]]] &, Permutations[w], Permutations[w], 
                1]]]/\(w!\)\  // Factor\)\  // 
      Timing\), "\[IndentingNewLine]", 
    \(\(w =. \ ;\)\)}], "Input"],

Cell[BoxData[
    \({7.516`\ Second, q\ \((40 + 73\ q\^2 + 7\ q\^4)\)}\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[{
    \(Table[
      Rest@CoefficientList[
          Apply[Plus, \(Apply[Times, q + Flatten[content[#]]]\  &\) /@ 
              Partitions[\ k\ ]]\ , q], {k, 12}]\), "\[IndentingNewLine]", 
    \(Flatten[%]\), "\[IndentingNewLine]", 
    \(%% // ColumnForm\)}], "Input"],

Cell[BoxData[
    \({{1}, {0, 2}, {3, 0, 3}, {0, 19, 0, 5}, {40, 0, 73, 0, 7}, {0, 492, 0, 
        217, 0, 11}, {1260, 0, 3225, 0, 540, 0, 15}, {0, 24096, 0, 14968, 0, 
        1234, 0, 22}, {72576, 0, 232156, 0, 55594, 0, 2524, 0, 30}, {0, 
        1922148, 0, 1524823, 0, 176800, 0, 4987, 0, 42}, {6652800, 0, 
        24999984, 0, 7758160, 0, 496680, 0, 9120, 0, 56}, {0, 227963280, 0, 
        216975032, 0, 32769481, 0, 1277331, 0, 16399, 0, 77}}\)], "Output"],

Cell[BoxData[
    \({1, 0, 2, 3, 0, 3, 0, 19, 0, 5, 40, 0, 73, 0, 7, 0, 492, 0, 217, 0, 11, 
      1260, 0, 3225, 0, 540, 0, 15, 0, 24096, 0, 14968, 0, 1234, 0, 22, 
      72576, 0, 232156, 0, 55594, 0, 2524, 0, 30, 0, 1922148, 0, 1524823, 0, 
      176800, 0, 4987, 0, 42, 6652800, 0, 24999984, 0, 7758160, 0, 496680, 0, 
      9120, 0, 56, 0, 227963280, 0, 216975032, 0, 32769481, 0, 1277331, 0, 
      16399, 0, 77}\)], "Output"],

Cell[BoxData[
    InterpretationBox[GridBox[{
          {\({1}\)},
          {\({0, 2}\)},
          {\({3, 0, 3}\)},
          {\({0, 19, 0, 5}\)},
          {\({40, 0, 73, 0, 7}\)},
          {\({0, 492, 0, 217, 0, 11}\)},
          {\({1260, 0, 3225, 0, 540, 0, 15}\)},
          {\({0, 24096, 0, 14968, 0, 1234, 0, 22}\)},
          {\({72576, 0, 232156, 0, 55594, 0, 2524, 0, 30}\)},
          {\({0, 1922148, 0, 1524823, 0, 176800, 0, 4987, 0, 42}\)},
          {\({6652800, 0, 24999984, 0, 7758160, 0, 496680, 0, 9120, 0, 
              56}\)},
          {\({0, 227963280, 0, 216975032, 0, 32769481, 0, 1277331, 0, 16399, 
              0, 77}\)}
          },
        GridBaseline->{Baseline, {1, 1}},
        ColumnAlignments->{Left}],
      ColumnForm[ {{1}, {0, 2}, {3, 0, 3}, {0, 19, 0, 5}, {40, 0, 73, 0, 7}, {
        0, 492, 0, 217, 0, 11}, {1260, 0, 3225, 0, 540, 0, 15}, {0, 24096, 0, 
        14968, 0, 1234, 0, 22}, {72576, 0, 232156, 0, 55594, 0, 2524, 0, 
        30}, {0, 1922148, 0, 1524823, 0, 176800, 0, 4987, 0, 42}, {6652800, 0,
         24999984, 0, 7758160, 0, 496680, 0, 9120, 0, 56}, {0, 227963280, 0, 
        216975032, 0, 32769481, 0, 1277331, 0, 16399, 0, 77}}],
      Editable->False]], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(Tr /@ First[%]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \({1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 
      479001600}\)], "Output"]
}, Open  ]]
}, Closed]],

Cell[CellGroupData[{

Cell["slide 28 (/64.) \"An other curiosity\" ", "Section"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[{
    \(w = 
      8; \ \(Apply[
          Plus, \ \(\((q^Length[ToCycles[#\ [\([#]\)]\ ]])\) &\)\  /@ 
            Permutations[w]\ ] // Factor\)\  // 
      Timing\), "\[IndentingNewLine]", 
    \(\(w =. \ ;\)\)}], "Input"],

Cell[BoxData[
    \({16.811999999999998`\ Second, 
      4\ q\^2\ \((3 + q\^2)\)\ \((1124 + 1205\ q\^2 + 
            191\ q\^4)\)}\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(\(Apply[
          Plus, \(NumberOfTableaux[#] 
                Apply[Times, q + Flatten[content[#]]]\  &\) /@ 
            Partitions[\ 8]]\  // Factor\) // Timing\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \({0.03200000000000003`\ Second, 
      4\ q\^2\ \((3 + q\^2)\)\ \((1124 + 1205\ q\^2 + 
            191\ q\^4)\)}\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell["\<\
Table[Rest@CoefficientList[Apply[Plus,
  NumberOfTableaux[#]Apply[Times,q+Flatten[content[#]]] &/@Partitions[n]]   \
,q],{n,6}]\
\>", "Input"],

Cell[BoxData[
    \({{1}, {0, 2}, {2, 0, 4}, {0, 14, 0, 10}, {24, 0, 70, 0, 26}, {0, 304, 
        0, 340, 0, 76}}\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell["\<\
Table[Rest@CoefficientList[  Apply[Plus, (q^Length[ToCycles[# [[#]] ]])& \
/@Permutations[n] ] ,q],{n,6}]\
\>", "Input"],

Cell[BoxData[
    \({{1}, {0, 2}, {2, 0, 4}, {0, 14, 0, 10}, {24, 0, 70, 0, 26}, {0, 304, 
        0, 340, 0, 76}}\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[{
    \(Table[
      Rest@CoefficientList[
          Apply[Plus, \(NumberOfTableaux[#] 
                  Apply[Times, q + Flatten[content[#]]]\  &\) /@ 
              Partitions[k]]\ \ , q], {k, 12}]\), "\[IndentingNewLine]", 
    \(Flatten[%]\), "\[IndentingNewLine]", 
    \(%% // ColumnForm\)}], "Input"],

Cell[BoxData[
    \({{1}, {0, 2}, {2, 0, 4}, {0, 14, 0, 10}, {24, 0, 70, 0, 26}, {0, 304, 
        0, 340, 0, 76}, {720, 0, 2548, 0, 1540, 0, 232}, {0, 13488, 0, 18956, 
        0, 7112, 0, 764}, {40320, 0, 161936, 0, 125580, 0, 32424, 0, 
        2620}, {0, 1011456, 0, 1648160, 0, 808248, 0, 151440, 0, 
        9496}, {3628800, 0, 15988896, 0, 14569720, 0, 4982208, 0, 711480, 0, 
        35696}, {0, 114888960, 0, 208412512, 0, 121606760, 0, 30531336, 0, 
        3421880, 0, 140152}}\)], "Output"],

Cell[BoxData[
    \({1, 0, 2, 2, 0, 4, 0, 14, 0, 10, 24, 0, 70, 0, 26, 0, 304, 0, 340, 0, 
      76, 720, 0, 2548, 0, 1540, 0, 232, 0, 13488, 0, 18956, 0, 7112, 0, 764, 
      40320, 0, 161936, 0, 125580, 0, 32424, 0, 2620, 0, 1011456, 0, 1648160, 
      0, 808248, 0, 151440, 0, 9496, 3628800, 0, 15988896, 0, 14569720, 0, 
      4982208, 0, 711480, 0, 35696, 0, 114888960, 0, 208412512, 0, 121606760, 
      0, 30531336, 0, 3421880, 0, 140152}\)], "Output"],

Cell[BoxData[
    InterpretationBox[GridBox[{
          {\({1}\)},
          {\({0, 2}\)},
          {\({2, 0, 4}\)},
          {\({0, 14, 0, 10}\)},
          {\({24, 0, 70, 0, 26}\)},
          {\({0, 304, 0, 340, 0, 76}\)},
          {\({720, 0, 2548, 0, 1540, 0, 232}\)},
          {\({0, 13488, 0, 18956, 0, 7112, 0, 764}\)},
          {\({40320, 0, 161936, 0, 125580, 0, 32424, 0, 2620}\)},
          {\({0, 1011456, 0, 1648160, 0, 808248, 0, 151440, 0, 9496}\)},
          {\({3628800, 0, 15988896, 0, 14569720, 0, 4982208, 0, 711480, 0, 
              35696}\)},
          {\({0, 114888960, 0, 208412512, 0, 121606760, 0, 30531336, 0, 
              3421880, 0, 140152}\)}
          },
        GridBaseline->{Baseline, {1, 1}},
        ColumnAlignments->{Left}],
      ColumnForm[ {{1}, {0, 2}, {2, 0, 4}, {0, 14, 0, 10}, {24, 0, 70, 0, 
        26}, {0, 304, 0, 340, 0, 76}, {720, 0, 2548, 0, 1540, 0, 232}, {0, 
        13488, 0, 18956, 0, 7112, 0, 764}, {40320, 0, 161936, 0, 125580, 0, 
        32424, 0, 2620}, {0, 1011456, 0, 1648160, 0, 808248, 0, 151440, 0, 
        9496}, {3628800, 0, 15988896, 0, 14569720, 0, 4982208, 0, 711480, 0, 
        35696}, {0, 114888960, 0, 208412512, 0, 121606760, 0, 30531336, 0, 
        3421880, 0, 140152}}],
      Editable->False]], "Output"]
}, Open  ]],

Cell["proposed as A191718", "Text"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(Tr /@ First[%]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \({1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 
      479001600}\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(Length /@ First[%%]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \({1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}\)], "Output"]
}, Open  ]]
}, Closed]],

Cell[CellGroupData[{

Cell[TextData[{
  "StirlingS1 ",
  StyleBox["by def. ",
    FontSlant->"Italic"],
  ":"
}], "Section"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(Table[\ 
      Apply[Plus, \ \(\((q^Length[ToCycles[#\ \ ]])\) &\)\  /@ 
            Permutations[w]\ ] // Factor\ \ , {w, 5}]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \({q, q\ \((1 + q)\), q\ \((1 + q)\)\ \((2 + q)\), 
      q\ \((1 + q)\)\ \((2 + q)\)\ \((3 + q)\), 
      q\ \((1 + q)\)\ \((2 + q)\)\ \((3 + q)\)\ \((4 + q)\)}\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(Table[
      CoefficientList[\ 
        Apply[Plus, \ \(\((q^Length[ToCycles[#\ \ ]])\) &\)\  /@ 
            Permutations[w]\ ], q]\ \ , {w, 5}]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \({{0, 1}, {0, 1, 1}, {0, 2, 3, 1}, {0, 6, 11, 6, 1}, {0, 24, 50, 35, 10, 
        1}}\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(Table[Abs@StirlingS1[n, m], {n, 1, 5}, {m, 0, n}]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \({{0, 1}, {0, 1, 1}, {0, 2, 3, 1}, {0, 6, 11, 6, 1}, {0, 24, 50, 35, 10, 
        1}}\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(Tr /@ %\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \({1, 2, 6, 24, 120}\)], "Output"]
}, Open  ]]
}, Closed]],

Cell[CellGroupData[{

Cell[TextData[{
  "Slide 16 and 17 /64    ",
  StyleBox["error? !",
    FontWeight->"Plain",
    FontSlant->"Italic"],
  "\n",
  StyleBox["check \
http://www-irma.u-strasbg.fr/~guoniu/papers/p60hdpartconj.pdf ",
    FontSize->10],
  StyleBox["Conjecture 3.1",
    FontFamily->"CMBX12",
    FontSize->10]
}], "Section"],

Cell[BoxData[
    \(<< DiscreteMath`Rate`\)], "Input"],

Cell[CellGroupData[{

Cell["\<\
wukRStan=Table[Apply[Plus,  NumberOfTableaux[#]^2 \
Apply[Plus,Flatten[hooklength[#]]^(2k)]   &/@Partitions[n]]/n!,{k,6},{n,9}]\
\>", "Input"],

Cell[BoxData[
    \({{1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117}, {1, 17, 88, 254, 555, 1031, 1722, 
        2668, 3909}, {1, 65, 752, 3672, 11485, 27901, 57680, 106632, 
        181617}, {1, 257, 6648, 56554, 261191, 847947, 2202718, 4912244, 
        9806445}, {1, 1025, 59392, 889772, 6193665, 27316361, 90232380, 
        244859392, 576700617}, {1, 4097, 532808, 14118654, 150062827, 
        911083543, 3864944714, 12854153580, 35906815941}}\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(stans = 
      Flatten@\((\(\((Apply[Ratepol, #] /. i0 \[Rule] n)\) &\) /@ 
            wukRStan)\)\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \({1\/2\ n\ \((\(-1\) + 3\ n)\), 1\/6\ n\ \((41 - 75\ n + 40\ n\^2)\), 
      1\/12\ n\ \((\(-1276\) + 2793\ n - 2030\ n\^2 + 525\ n\^3)\), 
      1\/10\ n\ \((24257 - 60150\ n + 54530\ n\^2 - 22155\ n\^3 + 
            3528\ n\^4)\), 
      1\/12\ n\ \((\(-824504\) + 2280135\ n - 2444530\ n\^2 + 1299375\ n\^3 - 
            349272\ n\^4 + 38808\ n\^5)\), 
      1\/210\ n\ \((441607259 - 1367616705\ n + 1709207500\ n\^2 - 
            1119578460\ n\^3 + 410486076\ n\^4 - 80900820\ n\^5 + 
            6795360\ n\^6)\)}\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell["\<\
wukHan=Table[(k+1)!/n Apply[Plus,   NumberOfTableaux[#]^2 Apply[Plus, \
Flatten[hooklength[#]]^(2k)]   &/@Partitions[n]]/n!,{k,6},{n,9}]\
\>", "Input"],

Cell[BoxData[
    \({{2, 5, 8, 11, 14, 17, 20, 23, 26}, {6, 51, 176, 381, 666, 1031, 1476, 
        2001, 2606}, {24, 780, 6016, 22032, 55128, 111604, 197760, 319896, 
        484312}, {120, 15420, 265920, 1696620, 6268584, 16958940, 37760880, 
        73683660, 130752600}, {720, 369000, 14254080, 160158960, 891887760, 
        3277963320, 9281044800, 22037345280, 46136049360}, {5040, 10324440, 
        895117440, 17789504040, 151263329616, 765310176120, 2782760194080, 
        8098116755400, 20107816926960}}\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell["\<\
hans=(Flatten@(Apply[Ratepol,#  ]/. i0\[Rule]n)&/@wukHan)\
\>", "Input"],

Cell[BoxData[
    \({{\(-1\) + 3\ n}, {41 - 75\ n + 
          40\ n\^2}, {2\ \((\(-1276\) + 2793\ n - 2030\ n\^2 + 
              525\ n\^3)\)}, {12\ \((24257 - 60150\ n + 54530\ n\^2 - 
              22155\ n\^3 + 3528\ n\^4)\)}, {60\ \((\(-824504\) + 
              2280135\ n - 2444530\ n\^2 + 1299375\ n\^3 - 349272\ n\^4 + 
              38808\ n\^5)\)}, {24\ \((441607259 - 1367616705\ n + 
              1709207500\ n\^2 - 1119578460\ n\^3 + 410486076\ n\^4 - 
              80900820\ n\^5 + 6795360\ n\^6)\)}}\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell["BinomialInvTransform/@wukRStan", "Input"],

Cell[BoxData[
    \({{1, 4, 3, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {1, 16, 55, 40, 0, 0, 0, 0, 0}, {1, 64, 
        623, 1610, 1050, 0, 0, 0, 0}, {1, 256, 6135, 37380, 73836, 42336, 0, 
        0, 0}, {1, 1024, 57343, 714670, 2986830, 4656960, 2328480, 0, 0}, {1, 
        4096, 524615, 12532520, 96768672, 296648352, 374980320, 163088640, 
        0}}\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[" same as Ratepol:  x = 1 .. 9", "Text"],

Cell[CellGroupData[{

Cell["\<\
toPolCoeff2/@BinomialInvTransform/@wukRStan
(x^Range[0,-1+Length[#]] . #)& /@% //Together\
\>", "Input"],

Cell[BoxData[
    \({{0, \(-\(1\/2\)\), 3\/2}, {0, 41\/6, \(-\(25\/2\)\), 
        20\/3}, {0, \(-\(319\/3\)\), 931\/4, \(-\(1015\/6\)\), 175\/4}, {0, 
        24257\/10, \(-6015\), 5453, \(-\(4431\/2\)\), 
        1764\/5}, {0, \(-\(206126\/3\)\), 760045\/4, \(-\(1222265\/6\)\), 
        433125\/4, \(-29106\), 3234}, {0, 
        441607259\/210, \(-\(13024921\/2\)\), 24417250\/3, \(-5331326\), 
        9773478\/5, \(-385242\), 226512\/7}}\)], "Output"],

Cell[BoxData[
    \({1\/2\ \((\(-x\) + 3\ x\^2)\), 1\/6\ \((41\ x - 75\ x\^2 + 40\ x\^3)\), 
      1\/12\ \((\(-1276\)\ x + 2793\ x\^2 - 2030\ x\^3 + 525\ x\^4)\), 
      1\/10\ \((24257\ x - 60150\ x\^2 + 54530\ x\^3 - 22155\ x\^4 + 
            3528\ x\^5)\), 
      1\/12\ \((\(-824504\)\ x + 2280135\ x\^2 - 2444530\ x\^3 + 
            1299375\ x\^4 - 349272\ x\^5 + 38808\ x\^6)\), 
      1\/210\ \((441607259\ x - 1367616705\ x\^2 + 1709207500\ x\^3 - 
            1119578460\ x\^4 + 410486076\ x\^5 - 80900820\ x\^6 + 
            6795360\ x\^7)\)}\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell["Table[%,{x,1,9}]//Transpose", "Input"],

Cell[BoxData[
    \({{1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117}, {1, 17, 88, 254, 555, 1031, 1722, 
        2668, 3909}, {1, 65, 752, 3672, 11485, 27901, 57680, 106632, 
        181617}, {1, 257, 6648, 56554, 261191, 847947, 2202718, 4912244, 
        9806445}, {1, 1025, 59392, 889772, 6193665, 27316361, 90232380, 
        244859392, 576700617}, {1, 4097, 532808, 14118654, 150062827, 
        911083543, 3864944714, 12854153580, 35906815941}}\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell["with constant term :  x= 0 .. 8", "Text"],

Cell[CellGroupData[{

Cell["\<\
toPolCoeff/@BinomialInvTransform/@wukRStan
(x^Range[0,-1+Length[#]] . #)& /@% //Together\
\>", "Input"],

Cell[BoxData[
    \({{1, 5\/2, 3\/2, 0, 0, 0, 0, 0, 0}, {1, 11\/6, 15\/2, 20\/3, 0, 0, 0, 
        0, 0}, {1, 80\/3, \(-\(49\/4\)\), 35\/6, 175\/4, 0, 0, 0, 
        0}, {1, \(-\(3433\/10\)\), 579, 119, \(-\(903\/2\)\), 1764\/5, 0, 0, 
        0}, {1, 21541\/3, \(-\(55935\/4\)\), 18205\/6, 45045\/4, \(-9702\), 
        3234, 0, 0}, {1, \(-\(29724511\/210\)\), 
        729391\/2, \(-\(634634\/3\)\), \(-203918\), 1613898\/5, \(-158730\), 
        226512\/7, 0}}\)], "Output"],

Cell[BoxData[
    \({1\/2\ \((2 + 5\ x + 3\ x\^2)\), 
      1\/6\ \((6 + 11\ x + 45\ x\^2 + 40\ x\^3)\), 
      1\/12\ \((12 + 320\ x - 147\ x\^2 + 70\ x\^3 + 525\ x\^4)\), 
      1\/10\ \((10 - 3433\ x + 5790\ x\^2 + 1190\ x\^3 - 4515\ x\^4 + 
            3528\ x\^5)\), 
      1\/12\ \((12 + 86164\ x - 167805\ x\^2 + 36410\ x\^3 + 135135\ x\^4 - 
            116424\ x\^5 + 38808\ x\^6)\), 
      1\/210\ \((210 - 29724511\ x + 76586055\ x\^2 - 44424380\ x\^3 - 
            42822780\ x\^4 + 67783716\ x\^5 - 33333300\ x\^6 + 
            6795360\ x\^7)\)}\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell["Table[%,{x,0,8}]//Transpose", "Input"],

Cell[BoxData[
    \({{1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117}, {1, 17, 88, 254, 555, 1031, 1722, 
        2668, 3909}, {1, 65, 752, 3672, 11485, 27901, 57680, 106632, 
        181617}, {1, 257, 6648, 56554, 261191, 847947, 2202718, 4912244, 
        9806445}, {1, 1025, 59392, 889772, 6193665, 27316361, 90232380, 
        244859392, 576700617}, {1, 4097, 532808, 14118654, 150062827, 
        911083543, 3864944714, 12854153580, 35906815941}}\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell["hans/stans", "Input"],

Cell[BoxData[
    \({{2\/n}, {6\/n}, {24\/n}, {120\/n}, {720\/n}, {5040\/n}}\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[TextData[{
  "So, rstan and Han differ by a factor (k+1)! as expected, ",
  StyleBox["but",
    FontColor->RGBColor[1, 0, 0]],
  "\n",
  StyleBox["where do these come from ? Only the first one makes sense:",
    FontColor->RGBColor[1, 0, 0]]
}], "Text"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(slide = {1/2\ n \((3  n - 1)\), 
          1/24\ \ n \((n - 1)\) \((27\ n^2 - 67  n + 74)\), 
          1/48\ \ n\ \((n - 1)\) \((n - 2)\) \((27  n^3 - 174\ n^2 + 511\ n - 
                552)\)} // Together\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \({1\/2\ n\ \((\(-1\) + 3\ n)\), 
      1\/24\ \((\(-1\) + n)\)\ n\ \((74 - 67\ n + 27\ n\^2)\), 
      1\/48\ \((\(-2\) + n)\)\ \((\(-1\) + n)\)\ n\ \((\(-552\) + 511\ n - 
            174\ n\^2 + 27\ n\^3)\)}\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(Table[{1/2\ n \((3  n - 1)\), 
          1/24\ \ n \((n - 1)\) \((27\ n^2 - 67  n + 74)\), 
          1/48\ \ n\ \((n - 1)\) \((n - 2)\) \((27  n^3 - 174\ n^2 + 511\ n - 
                552)\)}, {n, 8}] // Transpose\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \({{1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92}, {0, 4, 29, 119, 345, 805, 1624, 
        2954}, {0, 0, 18, 218, 1285, 5205, 16450, 43568}}\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[TextData[{
  StyleBox[" I don't get it !\n",
    FontColor->RGBColor[1, 0, 0]],
  StyleBox["cfr http://www-math.mit.edu/~rstan/papers/hooks.pdf ",
    FontColor->RGBColor[1, 0, 0]],
  StyleBox[" or ",
    FontColor->RGBColor[1, 0, 0]],
  " ",
  StyleBox["http://arxiv.org/pdf/0807.0383v3.pdf",
    FontColor->RGBColor[0, 0, 0.996109],
    FontVariations->{"Underline"->True}],
  StyleBox["  pg 16 !!\n",
    FontColor->RGBColor[1, 0, 0]],
  StyleBox["these are called ",
    FontColor->RGBColor[1, 0, 0]],
  Cell[BoxData[
      \(TraditionalForm\`d\_1\)],
    FontColor->RGBColor[1, 0, 0]],
  StyleBox[".. ",
    FontColor->RGBColor[1, 0, 0]],
  Cell[BoxData[
      \(TraditionalForm\`d\_3\)],
    FontColor->RGBColor[1, 0, 0]],
  StyleBox[" in slide 16, but are actually something else:",
    FontColor->RGBColor[1, 0, 0]]
}], "Text"],

Cell[GraphicsData["Bitmap", "\<\
CF5dJ6E]HGAYHf4PAg9QL6QYHg<PAVmbKF5d0`40006]0001fB000`400?l0
0000o`00003oo`3ooon^0?ooo`00o`3ooon^0?ooo`00o`3ooon^0?ooo`00
o`3ooon^0?ooo`00o`3ooon^0?ooo`00o`3ooon^0?ooo`00o`3ooon^0?oo
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                  FormatType->StandardForm]}]}], 
            StyleBox[" ",
              FormatType->StandardForm], 
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Cell[BoxData[
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              RowBox[{
                StyleBox["Sequence",
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                  FormatType->StandardForm], 
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            StyleBox[" ",
              FormatType->StandardForm], 
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    RowBox[{
      " ", \(\(\((n^Range[0, \(-1\) + Length[#]] . #)\) &\)\ @% // 
        Factor\)}]}], "Input"],

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Cell[BoxData[
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Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[{
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                  FontColor->RGBColor[0, 0, 1]], 
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                  FormatType->StandardForm], 
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              RowBox[{
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                StyleBox["[",
                  FormatType->StandardForm], 
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                  FormatType->StandardForm], 
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                        FormatType->StandardForm], 
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                        StyleBox["f",
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                          FormatType->StandardForm], 
                        RowBox[{
                          StyleBox[\(0 + \ Flatten[hooklength[#]]^2\),
                            FormatType->StandardForm], 
                          StyleBox[",",
                            FormatType->StandardForm], 
                          StyleBox["e",
                            FormatType->StandardForm,
                            FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], 
                          StyleBox[",",
                            FormatType->StandardForm], 
                          StyleBox[\({1, 1}\),
                            FormatType->StandardForm], 
                          StyleBox[",",
                            FormatType->StandardForm], 
                          StyleBox["n",
                            FormatType->StandardForm]}], 
                        StyleBox[" ",
                          FormatType->StandardForm], 
                        StyleBox["]",
                          FormatType->StandardForm]}]}], 
                    StyleBox["&",
                      FormatType->StandardForm]}], 
                  StyleBox["/@",
                    FormatType->StandardForm], 
                  StyleBox[\(Partitions[n]\),
                    FormatType->StandardForm]}], 
                StyleBox["  ",
                  FormatType->StandardForm], 
                StyleBox["]",
                  FormatType->StandardForm]}]}], 
            StyleBox[" ",
              FormatType->StandardForm], 
            StyleBox["]",
              FormatType->StandardForm]}], 
          StyleBox[",",
            FormatType->StandardForm], 
          StyleBox[\({n, 0, 9}\),
            FormatType->StandardForm]}], 
        StyleBox["]",
          FormatType->StandardForm]}], "//", 
      "Expand"}], "\n", \(toPolCoeff@\(BinomialInvTransform@%\);\), "\n", 
    RowBox[{
      " ", \(\(\((n^Range[0, \(-1\) + Length[#]] . #)\) &\)\ @% // 
        Factor\)}]}], "Input"],

Cell[BoxData[
    \({0, 1, 25, 146, 492, 1245, 2641, 4970, 8576, 13857}\)], "Output"],

Cell[BoxData[
    \(1\/12\ n\ \((8 - 9\ n - 14\ n\^2 + 27\ n\^3)\)\)], "Output"]
}, Closed]],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[{
    RowBox[{
      RowBox[{
        StyleBox["Table",
          FormatType->StandardForm], 
        StyleBox["[",
          FormatType->StandardForm], 
        RowBox[{
          RowBox[{
            StyleBox["Tr",
              FormatType->StandardForm], 
            StyleBox["[",
              FormatType->StandardForm], " ", 
            RowBox[{
              RowBox[{
                StyleBox["1",
                  FormatType->StandardForm,
                  FontColor->RGBColor[0, 0, 1]], 
                StyleBox["/",
                  FormatType->StandardForm], 
                StyleBox[\(n!\),
                  FormatType->StandardForm]}], "   ", 
              RowBox[{
                StyleBox["Sequence",
                  FormatType->StandardForm], 
                StyleBox["[",
                  FormatType->StandardForm], 
                StyleBox["  ",
                  FormatType->StandardForm], 
                RowBox[{
                  RowBox[{
                    RowBox[{
                      StyleBox[\(NumberOfTableaux[#]^2\),
                        FormatType->StandardForm], 
                      StyleBox[" ",
                        FormatType->StandardForm], 
                      RowBox[{
                        StyleBox["f",
                          FormatType->StandardForm], 
                        StyleBox["[",
                          FormatType->StandardForm], 
                        RowBox[{
                          StyleBox[\(0 + \ Flatten[hooklength[#]]^2\),
                            FormatType->StandardForm], 
                          StyleBox[",",
                            FormatType->StandardForm], 
                          StyleBox["e",
                            FormatType->StandardForm,
                            FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], 
                          StyleBox[",",
                            FormatType->StandardForm], 
                          StyleBox[\({3}\),
                            FormatType->StandardForm], 
                          StyleBox[",",
                            FormatType->StandardForm], 
                          StyleBox["n",
                            FormatType->StandardForm]}], 
                        StyleBox[" ",
                          FormatType->StandardForm], 
                        StyleBox["]",
                          FormatType->StandardForm]}]}], 
                    StyleBox["&",
                      FormatType->StandardForm]}], 
                  StyleBox["/@",
                    FormatType->StandardForm], 
                  StyleBox[\(Partitions[n]\),
                    FormatType->StandardForm]}], 
                StyleBox["  ",
                  FormatType->StandardForm], 
                StyleBox["]",
                  FormatType->StandardForm]}]}], 
            StyleBox[" ",
              FormatType->StandardForm], 
            StyleBox["]",
              FormatType->StandardForm]}], 
          StyleBox[",",
            FormatType->StandardForm], 
          StyleBox[\({n, 0, 9}\),
            FormatType->StandardForm]}], 
        StyleBox["]",
          FormatType->StandardForm]}], "//", 
      "Expand"}], "\n", \(toPolCoeff@\(BinomialInvTransform@%\);\), "\n", 
    RowBox[{
      " ", \(\(\((n^Range[0, \(-1\) + Length[#]] . #)\) &\)\ @% // 
        Factor\)}]}], "Input"],

Cell[BoxData[
    \({0, 0, 0, 18, 218, 1285, 5205, 16450, 43568, 101178}\)], "Output"],

Cell[BoxData[
    \(1\/48\ \((\(-2\) + n)\)\ \((\(-1\) + n)\)\ n\ \((\(-552\) + 511\ n - 
          174\ n\^2 + 27\ n\^3)\)\)], "Output"]
}, Closed]],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[{
    RowBox[{
      RowBox[{
        StyleBox["Table",
          FormatType->StandardForm], 
        StyleBox["[",
          FormatType->StandardForm], 
        RowBox[{
          RowBox[{
            StyleBox["Tr",
              FormatType->StandardForm], 
            StyleBox["[",
              FormatType->StandardForm], " ", 
            RowBox[{
              RowBox[{
                StyleBox["1",
                  FormatType->StandardForm,
                  FontColor->RGBColor[0, 0, 1]], 
                StyleBox["/",
                  FormatType->StandardForm], 
                StyleBox[\(n!\),
                  FormatType->StandardForm]}], "   ", 
              RowBox[{
                StyleBox["Sequence",
                  FormatType->StandardForm], 
                StyleBox["[",
                  FormatType->StandardForm], 
                StyleBox["  ",
                  FormatType->StandardForm], 
                RowBox[{
                  RowBox[{
                    RowBox[{
                      StyleBox[\(NumberOfTableaux[#]^2\),
                        FormatType->StandardForm], 
                      StyleBox[" ",
                        FormatType->StandardForm], 
                      RowBox[{
                        StyleBox["f",
                          FormatType->StandardForm], 
                        StyleBox["[",
                          FormatType->StandardForm], 
                        RowBox[{
                          StyleBox[\(0 + \ Flatten[hooklength[#]]^2\),
                            FormatType->StandardForm], 
                          StyleBox[",",
                            FormatType->StandardForm], 
                          StyleBox["e",
                            FormatType->StandardForm,
                            FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], 
                          StyleBox[",",
                            FormatType->StandardForm], 
                          StyleBox[\({2, 1}\),
                            FormatType->StandardForm], 
                          StyleBox[",",
                            FormatType->StandardForm], 
                          StyleBox["n",
                            FormatType->StandardForm]}], 
                        StyleBox[" ",
                          FormatType->StandardForm], 
                        StyleBox["]",
                          FormatType->StandardForm]}]}], 
                    StyleBox["&",
                      FormatType->StandardForm]}], 
                  StyleBox["/@",
                    FormatType->StandardForm], 
                  StyleBox[\(Partitions[n]\),
                    FormatType->StandardForm]}], 
                StyleBox["  ",
                  FormatType->StandardForm], 
                StyleBox["]",
                  FormatType->StandardForm]}]}], 
            StyleBox[" ",
              FormatType->StandardForm], 
            StyleBox["]",
              FormatType->StandardForm]}], 
          StyleBox[",",
            FormatType->StandardForm], 
          StyleBox[\({n, 0, 9}\),
            FormatType->StandardForm]}], 
        StyleBox["]",
          FormatType->StandardForm]}], "//", 
      "Expand"}], "\n", \(toPolCoeff@\(BinomialInvTransform@%\);\), "\n", 
    RowBox[{
      " ", \(\(\((n^Range[0, \(-1\) + Length[#]] . #)\) &\)\ @% // 
        Factor\)}]}], "Input"],

Cell[BoxData[
    \({0, 0, 20, 368, 2730, 12495, 42295, 116760, 278488, 595230}\)], "Output"],

Cell[BoxData[
    \(1\/48\ \((\(-1\) + n)\)\ n\ \((\(-512\) + 390\ n + 137\ n\^2 - 
          204\ n\^3 + 81\ n\^4)\)\)], "Output"]
}, Closed]],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[{
    RowBox[{
      RowBox[{
        StyleBox["Table",
          FormatType->StandardForm], 
        StyleBox["[",
          FormatType->StandardForm], 
        RowBox[{
          RowBox[{
            StyleBox["Tr",
              FormatType->StandardForm], 
            StyleBox["[",
              FormatType->StandardForm], " ", 
            RowBox[{
              RowBox[{
                StyleBox["1",
                  FormatType->StandardForm,
                  FontColor->RGBColor[0, 0, 1]], 
                StyleBox["/",
                  FormatType->StandardForm], 
                StyleBox[\(n!\),
                  FormatType->StandardForm]}], "   ", 
              RowBox[{
                StyleBox["Sequence",
                  FormatType->StandardForm], 
                StyleBox["[",
                  FormatType->StandardForm], 
                StyleBox["  ",
                  FormatType->StandardForm], 
                RowBox[{
                  RowBox[{
                    RowBox[{
                      StyleBox[\(NumberOfTableaux[#]^2\),
                        FormatType->StandardForm], 
                      StyleBox[" ",
                        FormatType->StandardForm], 
                      RowBox[{
                        StyleBox["f",
                          FormatType->StandardForm], 
                        StyleBox["[",
                          FormatType->StandardForm], 
                        RowBox[{
                          StyleBox[\(0 + \ Flatten[hooklength[#]]^2\),
                            FormatType->StandardForm], 
                          StyleBox[",",
                            FormatType->StandardForm], 
                          StyleBox["e",
                            FormatType->StandardForm,
                            FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], 
                          StyleBox[",",
                            FormatType->StandardForm], 
                          StyleBox[\({1, 1, 1}\),
                            FormatType->StandardForm], 
                          StyleBox[",",
                            FormatType->StandardForm], 
                          StyleBox["n",
                            FormatType->StandardForm]}], 
                        StyleBox[" ",
                          FormatType->StandardForm], 
                        StyleBox["]",
                          FormatType->StandardForm]}]}], 
                    StyleBox["&",
                      FormatType->StandardForm]}], 
                  StyleBox["/@",
                    FormatType->StandardForm], 
                  StyleBox[\(Partitions[n]\),
                    FormatType->StandardForm]}], 
                StyleBox["  ",
                  FormatType->StandardForm], 
                StyleBox["]",
                  FormatType->StandardForm]}]}], 
            StyleBox[" ",
              FormatType->StandardForm], 
            StyleBox["]",
              FormatType->StandardForm]}], 
          StyleBox[",",
            FormatType->StandardForm], 
          StyleBox[\({n, 0, 9}\),
            FormatType->StandardForm]}], 
        StyleBox["]",
          FormatType->StandardForm]}], "//", 
      "Expand"}], "\n", \(toPolCoeff@\(BinomialInvTransform@%\);\), "\n", 
    RowBox[{
      " ", \(\(\((n^Range[0, \(-1\) + Length[#]] . #)\) &\)\ @% // 
        Factor\)}]}], "Input"],

Cell[BoxData[
    \({0, 1, 125, 1802, 11208, 45115, 139171, 358610, 811392, 
      1663773}\)], "Output"],

Cell[BoxData[
    \(1\/24\ n\ \((\(-128\) + 216\ n - 31\ n\^2 - 69\ n\^3 - 45\ n\^4 + 
          81\ n\^5)\)\)], "Output"]
}, Closed]]
}, Closed]],

Cell[CellGroupData[{

Cell["Slide 17/64.", "Section"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    RowBox[{"Table", "[", 
      RowBox[{
        RowBox[{"Apply", "[", 
          RowBox[{"Plus", ",", 
            RowBox[{
              RowBox[{
                RowBox[{"Apply", "[", 
                  RowBox[{"Plus", ",", 
                    RowBox[{
                      RowBox[{\(NumberOfTableaux[#]\), 
                        StyleBox["^",
                          FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], 
                        StyleBox["2",
                          FontColor->RGBColor[1, 0, 0]]}], 
                      "  ", \(Apply[Plus, Flatten[hooklength[#]]\ ]\)}]}], 
                  " ", "]"}], "&"}], "/@", \(Partitions[\ n]\)}]}], " ", 
          "]"}], " ", ",", \({n, 12}\)}], "]"}]], "Input"],

Cell[BoxData[
    \({1, 6, 32, 196, 1360, 10656, 93576, 911592, 9761196, 114026120, 
      1443846096, 19705110256}\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(Table[
      Apply[Plus, \(Apply[Plus, 
              NumberOfTableaux[#]\ \ Apply[Plus, 
                  Flatten[hooklength[#]]\ ]\ ] &\) /@ 
          Partitions[\ n]\ ]\ , {n, 12}]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \({1, 6, 22, 84, 302, 1156, 4420, 17712, 72196, 305520, 1321160, 
      5895960}\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    RowBox[{"Table", "[", 
      RowBox[{
        RowBox[{"Apply", "[", 
          RowBox[{"Plus", ",", 
            RowBox[{
              RowBox[{
                RowBox[{"Apply", "[", 
                  RowBox[{"Plus", ",", 
                    RowBox[{\(NumberOfTableaux[#]\), "  ", 
                      RowBox[{"Apply", "[", 
                        RowBox[{"Plus", ",", 
                          RowBox[{\(Flatten[hooklength[#]]\), 
                            StyleBox["^",
                              FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], 
                            StyleBox["2",
                              FontColor->RGBColor[1, 0, 0]]}]}], 
                        StyleBox[" ",
                          FontColor->RGBColor[1, 0, 0]], "]"}]}]}], " ", 
                  "]"}], "&"}], "/@", \(Partitions[\ n]\)}]}], " ", "]"}], 
        " ", ",", \({n, 12}\)}], "]"}]], "Input"],

Cell[BoxData[
    \({1, 10, 50, 228, 950, 4036, 16940, 73200, 319308, 1432600, 6534616, 
      30584720}\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell["not polynomial :", "Text"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(BinomialInvTransform /@ \ {%, %%, %%%}\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \({{1, 9, 31, 107, 299, 1115, 3105, 13125, 37065, 177345, 508095, 
        2726955}, {1, 5, 11, 35, 75, 295, 629, 2997, 6529, 36029, 80499, 
        504507}, {1, 5, 21, 117, 745, 5525, 46565, 438965, 4576925, 52318945, 
        650676785, 8745740625}}\)], "Output"]
}, Open  ]]
}, Closed]],

Cell[CellGroupData[{

Cell["Slide 55 /64.", "Section"],

Cell["\<\
content[(p_)?PartitionQ] := 
   Block[{le=Max[p],ferr = (PadLeft[1 + 0*Range[#1], Max[p]] & ) /@ p}, 
   DeleteCases[MapIndexed[-le+Range[le,1,-1]-#1-Tr[#2]&,0*ferr ] ferr \
,0,-1]+le];\
\>", "Input",
  InitializationCell->True],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[{
    \(1 + 
        Sum[x^n\ /\((\(n!\))\)^2\ *
            Apply[Plus, \ \[IndentingNewLine]\(\((NumberOfTableaux[#]^2\ \
Apply[Times, t + 
                          Flatten[
                              content[#]]^2])\)\  &\) \
/@ \[IndentingNewLine]Partitions[n]\ ], \ {n, 5}] // 
      Simplify\), "\[IndentingNewLine]", 
    \(Normal[Series[\((1 - x)\)^\((\(-t\))\), {x, 0, 5}]] // 
      Simplify\)}], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(1\/120\ \((120 + t\^5\ x\^5 + 5\ t\^4\ x\^4\ \((1 + 2\ x)\) + 
          5\ t\^3\ x\^3\ \((4 + 6\ x + 7\ x\^2)\) + 
          5\ t\^2\ x\^2\ \((12 + 12\ x + 11\ x\^2 + 10\ x\^3)\) + 
          2\ t\ x\ \((60 + 30\ x + 20\ x\^2 + 15\ x\^3 + 
                12\ x\^4)\))\)\)], "Output"],

Cell[BoxData[
    \(1 + t\ x + 1\/2\ t\ \((1 + t)\)\ x\^2 + 
      1\/6\ t\ \((1 + t)\)\ \((2 + t)\)\ x\^3 + 
      1\/24\ t\ \((1 + t)\)\ \((2 + t)\)\ \((3 + t)\)\ x\^4 + 
      1\/120\ t\ \((1 + t)\)\ \((2 + t)\)\ \((3 + t)\)\ \((4 + 
            t)\)\ x\^5\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(Simplify[%% == %]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(True\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(%% /. \ t \[Rule] 6\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(1 + 6\ x + 21\ x\^2 + 56\ x\^3 + 126\ x\^4 + 252\ x\^5\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell["Binomial[Range[6-1, 5 + 6-1],6-1]", "Input"],

Cell[BoxData[
    \({1, 6, 21, 56, 126, 252}\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(Table[
      Binomial[\ n - 1 + k, \ n - 1\ ], {n, 0, 7}, {k, 0, n}]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \({{0}, {1, 1}, {1, 2, 3}, {1, 3, 6, 10}, {1, 4, 10, 20, 35}, {1, 5, 15, 
        35, 70, 126}, {1, 6, 21, 56, 126, 252, 462}, {1, 7, 28, 84, 210, 462, 
        924, 1716}}\)], "Output"]
}, Open  ]]
}, Closed]],

Cell[CellGroupData[{

Cell["Slide 35 /64  The Fundamental Tool", "Section"],

Cell["\<\
top[expr_] := Block[{a, q, e, w}, u1 = Expand[q*Together[Expand[expr]] + q*a] \
/. Plus -> List; 
     u2 = u1 /. Times -> w /. q -> Sequence[] /. w[i_Integer, r__] -> i*w[r] \
/. x[_]^(e_:1) -> e; 
     u3 = Plus @@ u2 /. w[arg__] :> Reverse[Sort[w[arg]]] /. w[a] -> 0; 
     u3 /. w[q__] -> p^rankpartition[{q}]]; \
\>", "Input"],

Cell[BoxData[
    \(Remove[p, s]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(\(p[par_?PartitionQ, v_, arg___] := 
        Times @@ \((\(Sum[\(Subscript[x, j]\)[arg]^#, {j, v}] &\) /@ \ 
                par)\) /. \(Subscript[x, q_]\)[] -> 
            Subscript[x, q];\)\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(\(s[\((p_)\)?PartitionQ, v_, \ arg___] := 
        Block[{le = Length[p], n = Tr[p]}, If[v < le, Return[0]]; \ 
            Together[
              Expand[Factor[
                    Det[Outer[#2^#1 &, PadRight[p, v] + v - Range[v], 
                        Array[\(Subscript[x, #1]\)[arg] &, v]]]]/
                  Factor[Det[
                      Outer[#2^#1 &, Range[v - 1, 0, \(-1\)], 
                        Array[\(Subscript[x, #1]\)[arg] &, 
                          v]]]]]]] /. \(Subscript[x, q_]\)[] -> 
            Subscript[x, q];\)\)], "Input"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(p[{3, 2}, 3, 1]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(\((x\_1[1]\^2 + x\_2[1]\^2 + x\_3[1]\^2)\)\ \((x\_1[1]\^3 + 
          x\_2[1]\^3 + x\_3[1]\^3)\)\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell[CellGroupData[{

Cell[BoxData[
    \(s[{3, 2}, 3, 1]\)], "Input"],

Cell[BoxData[
    \(x\_1[1]\^3\ x\_2[1]\^2 + x\_1[1]\^2\ x\_2[1]\^3 + 
      x\_1[1]\^3\ x\_2[1]\ x\_3[1] + 2\ x\_1[1]\^2\ x\_2[1]\^2\ x\_3[1] + 
      x\_1[1]\ x\_2[1]\^3\ x\_3[1] + x\_1[1]\^3\ x\_3[1]\^2 + 
      2\ x\_1[1]\^2\ x\_2[1]\ x\_3[1]\^2 + 
      2\ x\_1[1]\ x\_2[1]\^2\ x\_3[1]\^2 + x\_2[1]\^3\ x\_3[1]\^2 + 
      x\_1[1]\^2\ x\_3[1]\^3 + x\_1[1]\ x\_2[1]\ x\_3[1]\^3 + 
      x\_2[1]\^2\ x\_3[1]\^3\)], "Output"]
}, Open  ]],

Cell["\<\
 piece de r\[EAcute]sistance:  cfr \
http://www-math.mit.edu/~rstan/papers/hooks.pdf\
\>", "Text"],

Cell[CellGroupData[{

Cell[GraphicsData["Metafile", "\<\
CF5dJ6E]HGAYHf4PEfU^I6mgLb15CDHPAVmbKF5d0@0060340@0006`00000000000000:/2001F0@00
00000000002iBP00JRD00215CDH00040a00H00d0000100000000000000000000T0H001X4003F0@00
9@4000000000000000000?0[1`28N0@0AP000?Co2`3Vo`/0AdA9@`4008000`00n>dCeP00003>o`/0
0@090003iol50000cOl50000100000<12005000030:Fo]<21@0000/200000<go1@112b00c01Z0M<2
000009Knd`800000:0000=<2001Z0@000@0H0000001Ho`/0000000000000000000000?oooooooooo
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