Lenzen - Theorie
.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
 
.
 

 

 

Een stukje theorie

Laten we iets dieper ingaan op een aantal technische begrippen met de bedoeling om later de combinatie van verschillende optische elementen
zoals tussenringen en extenders beter te begrijpen.
De formules kan je in eerste instantie links laten liggen , voor bepaalde toepassingen komen we er op terug

Soorten enkelvoudige lenzen

Een voorwerp is zichtbaar voor ons menselijk oog omdat het lichtstralen in mindere of meerdere mate weerkaatst.
Hierdoor zien we verschillen in kleur, lichtsterkte en kontrast.
Plaatsen we een beeld voor een lens, dan zal achter of voor de lens een beeld ontstaan dat  afhankelijk van het soort en de sterkte van de lens,
groter of kleiner is dan het voorwerp.

Uit de natuurkunde leren we dat er hoofdzakelijk 2 soorten enkelvoudige lenzen bestaan, nl. de positieve (bolle) en de negatieve (holle) lenzen.
Is een positieve (bolle) lens aan 1 zijde vlak dan spreekt men van een planconvexe lens, zijn beide zijden bol dan spreekt men van biconvexe lenzen.
Wanneer een lens aan de ene zijde hol is en de andere zijde vlak, spreekt men van planconcave lenzen, zijn ze aan beide zijden hol dan spreekt men
van biconcave lenzen.
Er bestaan ook nog combinaties van 1 zijde "bol "en de andere zijde "hol".

Beeldvorming

Van de lichtstralen vanuit een voorwerp, van waaruit een beeld wordt gevormd kunnen we 3 hoofdstralen onderscheiden:

    1. Wanneer een lichtstralen evenwijdig aan de hoofdas van een positieve  lens, invallen op die lens, worden ze afgebogen en gaan door
      eenzelfde punt F op die as.
      Dit punt noemen we het brandpunt ( F) van de lens.
    2. Wanneer een lichtstraal door het  optisch middelpunt  gaat wordt ze niet afgebogen.
    3. Wanneer een lichtstraal eerst door het brandpunt van de lens gaat, wordt ze door de lens afgebogen en vervolgt dan een weg evenwijdig
      met de hoofdas van de lens

    Een beeld is "scherp" op de plaats waar de afgebogen stralen (door F) en de niet afgebogen stralen (die door het optisch midden gaan)
    elkaar kruisen.
    Dit is de plaats waar de sensor zal geplaatst worden.

Biconvexe lens,positieve lens of convergerende lens

 

Afhankelijk van waar het voorwerp staat t.o.v. het brandpunt is het beeld groter of kleiner dan het voorwerp en is omgedraaid. (linkse fig.)
Staat het voorwerp tussen het brandpunt en het lensmidden, dan is het beeld groter, aan dezelfde kant als het voorwerp en is virtueel en niet gedraaid.(rechtse fig.)
Je ziet het virtueel beeld enkel als je door de lens kijkt, een loupe werkt op dit principe.
Beeld en voorwerp kunnen theoretisch van plaats verwisselt worden, de schematische voorstelling blijft gelden.
In de praktijk echter is een lens enkel optimaal in de zin waarvoor ze ontworpen is. Draai je de lens om dan is de kans op sferische aberratie groter.

Biconcave lens, negatieve of divergerende lens


Bij een biconcave of negatieve lens is:

  • Het beeld virtueel, het beeld kan niet op een scherm geprojecteerd worden, maar je ziet het beeld wel als je door de lens kijkt..
  • Niet gedraaid t.o.v. het voorwerp
  • Ligt het hoofdbrandpunt F virtueel
  • De focusafstand f is bij biconcave lenzen altijd negatief


Voor de verdere lens bespreking, gaan we ons voor de eenvoud beperken tot 1 type : de biconvexe of positieve lens.

Het objectief dat we op onze fotocamera gebruiken bestaat niet uit 1 lens maar uit meerdere lenselementen, die op een bepaalde afstand t.o.v. elkaar
zijn geplaatst. Ter vereenvoudiging wordt het objectief in de meeste gevallen voorgesteld als een enkelvoudige lens.
In de meeste gevallen gelden de formules voor lenzen ook voor objectieven die zijn samengesteld uit meerdere lenselementen.
Enkel het bepalen van het optisch middelpunt van een samengestelde lens kan soms moeilijk zijn.

 

Definities:

Zoals te zien in de fig. worden de stralen 2x afgebogen, eenmaal bij het binnengaan van de lens en eenmaal bij het verlaten van de lens.
Voor de eenvoud wordt meestal 1 afbuiging in het centrum van de lens getekend.
Stralen die schuin op de lens vallen worden ook afgebogen (maar minder) deze gaan dan niet door het brandpunt maar nemen wel deel aan de
vorming van het beeld.

Brandpuntsafstand (focal length)

De afstand van het optisch middelpunt  tot het brandpunt noemt men de  brandpuntsafstand ( f ).
De brandpuntsafstand van een lens hangt af van de kromming van een lens, en de brekingsindex van het materiaal .
De brandpuntsafstand ie een van de hoofdspecificacties van een lens, en staat altijd op de lens vermeld.

biconvex

 

Krommingsmiddelpunt.

De kromming van de lens wordt bepaald door de kromtestraal (r) en het krommingsmiddelpunt ( R ).
Het krommingsmiddelpunt ligt op de optische of  hoofdas van de lens. Bij gewoon glas liggen het  brandpunt en het krommingsmiddelpunt
dicht bij elkaar.
De kromtestralen aan beide zijden van de lens bepalen uiteindelijk de sterkte van de lens en de brandpuntsafstand.
Dit is de formule die door de lensfabrikanten wordt gebruikt:

1/f =(n-1).( 1/r1 +1/r2)

waarbij :
f= de brandpuntsafstand van de lens
n= de brekingsindex van het glas (n=1.5 voor glas)
r1en r2 = de kromtestalen van de lens

De formule geldt enkel voor dunne lenzen, voor dikkere lenzen is de formule iets ingewikkelder.
Is één zijde vlak dan telt deze zijnde niet mee (r= ,1/r is dan=0)
Is een lenskant hol dan is de resp.kromtestraal negatief.

 

 Sterkte van de lens - Dioptrie (d)

De sterkte van de lens bepaald de brandpuntsafstand.
Hoe sterker de lens, hoe meer de lichtstalen die evenwijdig met de as van de lens op de lens invallen, worden afgebogen, dus kleiner de brandpuntsafstand .
De sterkte van de lens wordt uitgedrukt in dioptrie.

d = 1 / f  

d: sterkte van de lens (dioptrie)
f: brandpuntsafstand (in m)

Voor een lens met een brandpuntsafstand = 0.5m,  is de lens sterkte  d = 1/0.5 = 2,0 dioptrie.

Lineaire vergroting van een lens (R)

De lineaire vergroting van een lens, (ook: afbeeldingsmaatstaf ,Magnification, Reproduction ratio)
De lineaire vergroting geeft aan hoe groot een voorwerp op de sensor geprojecteerd wordt. In de lensspecificaties wordt meestal de maximum lineaire
vergroting (bij minimum focusafstand ) opgegeven.

R = B / V

R= lineaire vergroting
B= beeldgrootte
V= voorwerpgrootte (op de film of sensor)

De lineaire vergroting is dus de verhouding van het beeld t.o.v. het voorwerp.
Bij een vergroting van 2, is het beeld op de sensor 2x groter dan dan het voorwerp de verhouding is dus 2:1
Voor een beeld wat 2x kleiner is dan het voorwerp is de vergroting R= (1/2):1 of R = 1:2
Een lens met een 1:1 vergroting projecteert het beeld op ware grootte op de sensor.


Het is belangrijk dat we inzien dat de lineaire vergroting (beeldgrootte) beïnvloed wordt door 2 factoren:

 

* de sterkte van de lens , dus de brandpuntsafstand.
Bij een sterkere lens (kleinere brandpuntsafstand) worden de stralen sterker afgebogen en is het beeld bij gelijke beeldafstand groter.
(het voorwerp komt ook dichter bij de lens te staan)
* de afstand tussen de lens en de sensor (beeldafstand), bij eenzelfde lenssterkte (brandpuntsafstand) wordt het beeld groter als de
sensor verder van de lens komt te staan (beeldafstand groter) het voorwerp moet dan wel dichter bij de lens komen (voorwerpafstand) om
nog een scherp beeld te verkrijgen.


De lineaire vergroting van een lens kunnen we berekenen met de volgende formule:

R = (b / f) - 1

R: lineaire vergroting (reproduction ratio)
b: beeldafstand
f: bandpuntsafstand

Deze formule is enkel geldig voor enkelvoudige lenzen.
Ook voor samengestelde lenzen (zoals de meeste objectieven) is deze formule bij benadering goed bruikbaar

Lineaire vergroting wanneer gefocusseerd op oneindig:

Wanneer het objectief gefocusseerd staat op een voorwerp dat oneindig ver staat, staat het beeld in het brandpunt dus f = b
De formule wordt dan:

R = (f/f) -1 = 0 ..... De beeldgrootte = 0

 

Beeldafstand: (b)

Gedurende het scherpstellen verschuift de lens t.o.v. de sensor .
De afstand van de sensor tot het lens (optisch) midden noemt men de beeldafstand (ook: Image distance).


We kunnen de beeldafstand voor enkelvoudige lenzen berekenen met de volgende formule:

b= (R +1) . f

b: beeldafstand
R: is de vergroting
f: brandpuntsafstand


De 2 uiterste beeldafstanden laten zich eenvoudig bepalen.

  • Wanneer de lens staat scherpgesteld op oneindig, dan staat het beeld in het brandpunt van de lens, de beeldafstand is dan gelijk aan de
    brandpuntsafstand. De lens staat dan het dichtst bij de sensor. De beeldgrootte van het voorwerp dat oneindig ver staat, is op dat ogenblik=0
    en de lineaire versterking= B/V is dus ook =0

b = f.... bij focus op oneindig


* Wanneer de lens staat scherpgesteld op de minimum voorwerpafstand, dit is bij maximum vergroting, dan staat de lens op
de maximum beeldafstand.

bmax = (Rmax+1).f

Voorbeeld:
Een 50mm f/1.8D heeft een minimum scherpstelafstand : 450mm (0,45m) en een Reproduction ratio R = 1:6.6 (=0,151)
De Beeldafstand bij max. vergroting( minimum focusafstand) is b= (1/6.6 +1 ).50 = 57mm
Wanneer gefocusseerd op oneindig is de beeldafstand= brandpuntsafstand = 50mm
Gedurende het scherpstellen verschuift de lens dus max. 7mm

 

Voorwerpafstand (v)

De afstand van het (optisch) lens midden tot het voorwerp noemt men de voorwerpafstand (ook: Subject distance).
De voorwerpafstand kunnen we berekenen met de formule=

v=b.f / (b-f)

v: voorwerpafstand
b: beeldafstand
f: brandpuntsafstand

In ons voorbeeld van de 50mm lens.
Voorwerpafstand bij max. vergroting :v=57.50/(57-50)= 407mm of 40,7 cm

Ter controle: voorwerpafstand + beeldafstand = focusafstand
Bij max. vergroting zou dus de min. focusafstand : 407mm+57mm= 464mm moeten zijn terwijl de fabrikant 450mm specificeert
Dit verschil is te wijten aan het feit dat fabrikanten, de objectieven bij min. focusafstand, de brandpuntsafstand een weinig laten afwijken t.o.v. wat op de lens staat aangegeven, dit om een net iets grotere max. vergroting te verkrijgen.

Werkafstand: (w)

De afstand het voorwerp tot de frontlens (lenstop) noemt men de werkafstand (ook: workingspace, operating distance)



Focusafstand (S)

De afstand van het beeld (sensor) tot het voorwerp noemt men de focusafstand (in meter).
Dit is het getal wat men terug vind op de focus (scherpstel) ring van de lens.
Bij een gegeven lens is er een vaste relatie tussen de focusafstand en vergroting, hoe korter de focusafstand hoe groter de vergroting.

Synoniemen & vertalingen voor focus: scherpstelafstand, Focus distance, Focal distance, Shooting distance

De focusafstand:

S = f . (1+R)² / R .... of ook: S = f (1/R + R + 2)

S= focusafstand (sensor tot voorwerp) (m)
f: brandpuntsafstand (m)
R: vergroting

Vb 50mm lens met vergroting 1:6.6 (=0.151)
dan is de focusafstand D= 0.50.(1+0.151)²/0.151= 0.438m (44 cm)


De berekende focusafstand wijkt lichtjes af t.o.v. wat door de leverancier van de lens is opgegeven (44cm i.p.v. 45 cm).
Dit kan omdat bij de max. vergroting ook de brandpuntsafstand van de lens lichtjes kan wijzigen.
We kunnen de "reële brandspuntsafstand" bij max. vergroting berekenen:

f =S.R / (1+R)² = 450.0.151/(1+0.151)²= 51.29mm


Minimum focusafstand

De minimum focusafstand is de minimum voorwerp tot sensor afstand waarbij de lens nog kan scherpstellen.
Dit is bij maximum vergroting, zowel voor macro als gewone lenzen.
De minimum focusafstand wordt opgeven in de specificaties van de lens.
De minimum focusafstand (voor niet macrolenzen) ligt tussen de 6-15x de brandpuntafstand.

Synoniemen & vertalingen voor de "minimum focusafstand": minimum scherpstelafstand, minimum focus distance, minimum focal distance,
MFD, minimum shooting distance
, Close focus distance, closest focus distance

Vb een Nikon 50mm f/1.8 AF-D (prime) heeft een minimum focusafstand van 45cm = 9x brandpuntsafstand
Een Nikon AF-S VR 300mm f/2.8G IF-ED heeft een minimum focusafstand van 2.3m = 7.6 x de brandpuntsafstand.
In principe zou men een lens nog korter kunnen laten focuseren, met als resultaat een nog grotere vergroting, de minimum focusafstand wordt echter
beperkt omdat anders ontoelaatbare lensfouten zouden optreden.

Om de focusafstand nauwkeurig te kunnen nameten, heeft men op de body van de camera een markering geplaatst die overeenkomt met de plaats
van de sensor in uw toestel.

Relatie beeldafstand - voorwerpafstand

Het beeld van een voorwerp wordt scherp weergegeven op de plaats waar de lichtstralen die evenwijdig met de as (afgebogen in het brandpunt F)
en de (niet afgebogen) lichtstralen door het lensmidden, elkaar kruisen.

Hoe groter de voorwerpafstand, hoe kleiner het beeld, en hoe dichter het beeld bij het brandpunt (F) komt te staan.
Enkele specifieke gevallen:

* Bij een lens scherpgesteld op oneindig staat het beeld op de plaats van het brandpunt (focuspunt valt samen met het brandpunt)
In de formule van de beeldafstand: b = (R +1).f is R:vergroting=0 (omdat beeldgrootte =0) dan is b=f

* Bij een voorwerp (1) dat in het brandpunt vóór de lens staat, lopen beide lichtstralen parallel en ontstaat er geen scherp beeld.

* Bij een voorwerp (2) dat op 2x de brandpuntsafstand van de lens staat, is het beeld scherp op 2x de brandpuntsafstand achter de lens
b= (1/1+1).f = 2f, het beeld is even groot als het voorwerp.(= 1:1 macro)

*Alle andere reële beelden worden gevormd tussen1 en 2 x de brandpuntsafstand van de lens.

50mm

Met de focusring wordt de lens zodanig verschoven ,dat het beeld op de juiste afstand komt te liggen voor een scherp beeld op de sensor.
Hoe dichter het voorwerp bij de lens hoe groter het beeld .

Bij een gegeven lens  gaat volgende vergelijking:

Beeldgrootte (B) / Voorwerpgrootte (V) = beeldafstand (b) / voorwerpafstand (v)

R = B / V = b / v

R= lineaire vergroting (reproduction ratio)
B: beeldgrootte
b: beeldafstand
V: voorwerpgrootte
v: voorwerpafstand

Vuistregel voor het berekenen van de lineaire vergroting

De lineaire vergroting = brandpuntsafstand /voorwerpafstand

R= f / v

R= lineaire vergroting
v= voorwerpafstand (in m)
f= brandpuntsafstand (in m)

Vb: een 250mm lens op 10m afstand geeft een lineaire vergroting van R= 0.25/10= 0.025 of 1:40
Een voorwerp gefotografeerd met een 250mm lens op een afstand van 10m wordt dus 40x kleiner dan ware grootte, op de sensor geprojecteerd.

Voorwaarde is dat de voorwerpafstand voldoende groot is t.o.v. de brandpuntsafstand.
Voor kleinere afstanden wordt de fout groter.
Dit komt omdat voor de regel van de veronderstelling wordt uitgegaan dat de sensor in het brandpunt blijft staan, maar dit is enkel zo wanneer de lens op oneindig gefocusseerd staat.
Hoe korter de voorwerpafstand hoe verder de sensor van het brandpunt staat.
Op 10m afstand is de lineaire vergroting 1:38 (i.p.v. 1:40)
Op 1,1m voorwerpafstand is de lineaire vergroting 1:3,22 ( 1:4,4 als we de vuistregel zouden volgen)

 

Relatie beeldafstand-voorwerpafstand - brandpunt afstand

voor zowel positieve als negatieve lenzen geld volgende vergelijking:

1/f = 1/ v + 1/ b

f= brandpuntsafstand
v= voorwerpafstand
b= beeldafstand

 

Combinatie van lenzen

1. Combinatie van 2 positieve lenzen:

Wanneer het eerste beeld van 2 achter elkaar geplaatste lenzen tussen de 2 lenzen valt, wordt het beeld achter de 2de lens geprojecteerd.
Het resultaat van de 2 lenzen samen is een beeld dat niet is omgedraaid.

Wanneer het eerste beeld achter de 2de lens valt , vormt dit een virtueel beeld voor de 2de lens . Het resultaat is een omgedraaid beeld.

Voor gecombineerde lenzen gelden volgende formules:

De sterkte van een samengestelde lens is de som van de individuele sterktes van de verschillend lenzen.

d =d1 + d2 + d3 +...

Door het samenvoegen van 2 positieve lenzen wordt het geheel sterker.
Voegen we een positieve lens en een negatieve lens samen dan is het geheel minder sterk.
De combinatie van een even sterke positieve (bolle) en negatieve (hole) lens geeft als resultaat dat de stralen niet worden afgebogen.

Voor het brandpunt van de samengestelde lens geld:

1/f = 1/f1 + 1/f2

Door het samenvoegen van 2 positieve lenzen wordt de brandpuntsafstand van het geheel korter.
Voegen we een positieve en een negatieve lens samen dan verlengt de brandpuntsafstand.

 

Zijn de lenzen op een afstand van elkaar geplaatst dan geldt:

1/f = 1/f1 + 1/ f2 - s / ( f1.f2 )

f: brandpuntsafstand van de combinatie
s
= (lucht afstand tussen de lenzen, spacing distance)
f1: brandpuntsafstand 1ste lens
f2: brandpuntsafstand 2de lens

 

2. Combinatie van een positieve (bolle) en een negatieve (holle) lens

De lenssterkte :

d=d1+d2 , d2 is echter negatief (holle lens) dus d=d1+(-d2)

Brandpuntsafstand

1/f = 1/f1+ (-1/f2) .................f 2 is negatief (holle lens)

voorbeeld :
Een bolle lens met f1=30mm en een holle lens met f2 =60 mm
de combinatie van beide lenzen geeft als resultaat
1/f=1/30-1/60 ......f =60mm

Bij combinatie van een holle en een bolle lens vergroot de brandpuntsafstand en de lenssterkte van het geheel is kleiner dan de individuele lenzen.


Meten van de brandpuntsafstand van een lens.

De brandpuntsafstand van een lens is eenvoudig te meten:

 

Richt een donker onbrandbaar paneel haaks op de richting van de zon.
De voorzetlens plaats je voor het paneel , op een zodanige afstand dat een gefocusseerd brandpunt op het paneel verschijnt.
Meet nu de afstand tussen het paneel en het midden van de voorzetlens.(Draag een zonnebril wanneer je dit uitvoert).

De gemeten afstand = de brandpuntsafstand.

De sterkte van de lens: d=1/f

Meten van de brandpuntsafstand van een holle lens

Omdat een holle lens een virtueel beeld geeft is het brandpunt niet zo eenvoudig te bepalen. Daarom plaatst men voor of achter de holle lens,
een bolle lens die sterker is dan de holle lens en met gekende brandpuntsafstand. Nu meet men op een analoge manier als bij een bolle lens de
brandpuntsafstand van de combinatie.

we weten dat 1/f=1/f1+(-1/f2)

f2 = ( f. f1) / (f - f1)

f: brandpuntsafstand van de combinatie
f1: brandpuntsafstand van de bolle lens
f2: brandpuntsafstand van de holle lens

 

© Beertje
6/1/2010