exponentiŽle groei wiskunde-interactief.be

groeimodel

Op een kweekplaatje bestuderen we de evolutie van een bacterie.
Elke twintig minuten verdubbelt het aantal.
We stellen ons hierbij vragen als:

- Als we van tien bacteriŽn vertrekken, hoeveel zijn er dan na 24 uur?  
- Kunnen we een formule vinden voor het aantal na n uur?
 
- Hoe lang duurt het eer er 1 000 000 bacteriŽn zijn?    

We maken eerst een tabel en kijken dan of we een formule vinden die het aantal weergeeft.

tijd 20' 40' 1u 1u20' 1u40' 2u 2u20' 2u40' 3u
tijd
(x20min)
1 2 3 4 5 6 7 8 9
aantal
bacteriŽn

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ExponentiŽle groei
De beginhoeveelheid is 10 bacteriŽn.
Elke periode van 20 minuten vermenigvuldigt het aantal met 2.
met 10 als beginhoeveelheid en 2 als groeifactor vinden we:

Na 1 periode  is het aantal 20 = 10 . 2 = 10 . 21
Na 2 periodes is het aantal 40 = 10 . 2 . 2 = 10 . 22
Na 3 periodes is het aantal 80 = 10 . 2 . 2. 2 = 10 . 23
Na 4 periodes is het aantal 160 = 10 . 2 .2. 2. 2 = 10 . 24
Na 5 periodes is het aantal 320 = 10 . 2 .2. 2. 2. 2 = 10 . 25
Na 6 periodes is het aantal 640 = 10 . 2 .2. 2. 2. 2. 2 = 10 . 26
Na 7 periodes is het aantal 1280 = 10 . 2 .2. 2. 2. 2. 2. 2 = 10 . 27
Na 8 periodes is het aantal 2560 = 10 . 2 .2. 2. 2. 2. 2. 2. 2 = 10 . 28
Na 9 periodes is het aantal 5120 = 10 . 2 .2 . 2. 2. 2. 2. 2. 2. 2.   = 10 . 29
Na n periodes is het aantal     = 10 . 2n

Een beginhoeveelheid 10  met een groeifactor 2
groeit na n periodes aan tot een hoeveelheid 10 . 2n.
De variabele, het aantal periodes (n) staat in een exponent.
Daarom spreken we van exponentiŽle groei.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

functie en grafiek

 ExponentiŽle groei wordt beschreven door een functie

 f(x) = b . ax

 hierbij is:
 b = de beginhoeveelheid
 a = de groeifactor
 n = het aantal periodes
 


We merken hierbij op:
Teken:
Een negatieve hoeveelheid heeft geen zin:
De beginhoeveelheid b, de groeifactor a en f(x) zijn steeds positief.

Stijgen en dalen:
Een hoeveelheid vermeerdert als we ze vermenigvuldigen met een getal, groter dan 1.
De grafiek stijgt dus als a > 1 en daalt als a< 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

groeifactor en procentuele toename
Wat is de groeifactor bij een procentuele toename van p%?
b.v.: Een beginhoeveelheid 100 kent een procentuele toename van 4%.

   de beginhoeveelheid  = 100
+ de toename              = 100 . 0,04         
= de eindhoeveelheid = 100 + 100 . 0,04
= 100 . (1 + 0,04)
= 100 . (1,04) 

De groeifactor is dus gelijk aan 1,04 = 1 + 4 / 100

 Bij een procentuele toename van p% is de groeifactor a   
                                     a = 1 +   p   
100

Bij een procentuele afname van p% is de groeifactor a   
                                     a = 1 -   p   
100

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Berekeningen:
vanuit deze basisformule kunnen we verschillende berekeningen maken.
Enkele voorbeelden:
- Hoeveel bacteriŽn zijn er na 24 uur?
- Kunnen we de groeifactor ook herrekenen naar een langere periode?
- Kunnen we de groeifactor ook herrekenen naar een kortere periode?
- Hoe lang duurt het eer er 1 000 000 bacteriŽn zijn?

Hoeveel bacteriŽn zijn er na 24 uur?

b (= beginhoeveelheid)  = 10
a (= groeifactor) = 2
x (= aantal periodes):  24 uur bestaat uit  24 . 3 = 72 periodes van 20 minuten.

Het vullen de gegevens in het algemene functievoorschrift in:
f(x) = b. ax wordt:
f (72) = 10 . 272
          = 4,72 . 1022 bacteriŽn.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Kunnen we de groeifactor ook uitdrukken in periodes van een uur
i.p.v. per 20 minuten?

tijd 0 20 40 1u 1u20 1u40 2u 2u20 2u40 3u
aantal periodes van 20 min 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
aantal
bacteriŽn
10 10.21 10.22 10.23 10.24 10.25 10.26 10.27 10.28 10.29
aantal periodes
van 1 uur
0     1     2     3
aantal
bacteriŽn
 
10. (a)0     10. (a)1     10. (a)2     10. (a)3
10.(23)0     10.(23)1     10.(23)2     10.(23)3

Of we nu in periodes van 20 minuten of in periodes van een uur rekenen,
het eindresultaat moet gelijk zijn.

- Na 3 periodes van 20 minuten vinden we met een groeifactor 2 als eindhoeveelheid: 10 . 23
- Na 1 uur vinden we met een groeifactor a als eindhoeveelheid: 10. (a)1

Zo vinden we als gelijkheid: 10. (a)1 = 10 . 23
De groeifactor per uur a moet daarom gelijk zijn aan a = 23  
Algemeen:

Wanneer we de periode n keer vergroten, vergroot de groeifactor a tot an.    
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Kunnen we de groeifactor ook uitdrukken in periodes van minuten
i.p.v. per 20 minuten?

tijd (in minuten) 0 1 2 3 ... 19 20
aantal periodes van 20 min 0           1
aantal
bacteriŽn
10           10.2
aantal periodes
van 1 minuut
0 1 2 3 ... 19 20
aantal
bacteriŽn
 
10. (a1)0 10. (a1)1 10. (a1)2 10. (a1)2   10. (a1)19 10. (a1)20
10.(?)0     10.(?)1   10. (?)19 10.(?)20

Of we nu in periodes van 20 minuten of in periodes van 1 minuut rekenen,
het eindresultaat moet gelijk zijn.

- Na 1 periode van 20 minuten vinden we met een groeifactor 2 als eindhoeveelheid: 10 . 2
- Na 20 periodes van 1 minuut vinden we met een groeifactor a1 als eindhoeveelheid: 10. (a1)20

Zo vinden we als gelijkheid: 10. (a1)20 = 10 . 2   
Dus moet (a1)20   = 2, zodat
a1 = 2 (1/20)
De groeifactor a1 per minuut is dus gelijk aan  2(1/20) = 1,035265.

Wanneer we de periode n keer verkleinen, verkleint de groeifactor a tot a(1/n).    
 

 

 

 

Hoe lang (uur en minuten) duurt het eer er 1 000 000 bacteriŽn zijn?

De beginhoeveelheid = 10
De groeifactor per uur (= 3 keer 20 minuten) = 23 = 8
De eindhoeveelheid = 1 000 000
Het aantal periodes = n
De basisformule f(n) = b . an wordt dus: 1 000 000 = 10 . 8n

We moeten nu een vergelijking oplossen met de onbekende n in de exponent van een macht.
Dit kunnen we met behulp van een eigenschap van logaritmen: log ax = x . log a
Meer over logaritmen en rekenen met logaritmen vind je op de pagina logaritmen.

De berekening wordt:

         1 000 000 
  
   = 10 . 8n   
                            
  1 000 000    = 8n
 

10

 
log( 1 000 000 ) = log 8n

log(
 

100 000
 

) = n . log 8
 
log(100 000) = n  = 5,5364 uur
  log 8  

 
              n  = 5 uur 32 minuten

 

 

wereldbevolking
Nu we meer weten over exponentiŽle groei, kunnen we begrijpen hoe het tot een 'bevolkingsexplosie' kon komen:
Slechts in 1820 overschreed de totale wereldbevolking het eerste miljard.
Voor de volgende miljarden was er steeds minder tijd nodig.
In 2005 schat men de totale wereldbevolking op 6,47 miljard.
Welke groeipercentage zorgde voor deze spectaculaire groei?

 

gemiddeld groeipercentage over de periode 1820-2005:
beginhoeveelheid = 1
eindhoeveelheid = 6,47
aantal jaar = 2005 - 1820 = 185
 
6,47 = 1 . a185
groeifactor a = 185÷6,47 = 1,010144
groeipercentage p = (a - 1) . 100 = 1,0144%

Een groeipercentage van slechts 1,0144% zorgde voor deze spectaculaire groei.
Men schat het huidige groeipercentage op 1,14%.
Met dit groeipercentage verdubbelt de wereldbevolking op 61 jaar...
Is het je nu nog een raadsel waarom energie- en watervoorraden, voedselproductie
en -verdeling op wereldschaal een enorme uitdaging vormen die we nog moeilijk
voor ons uit kunnen schuiven?

 

 

 

 

 

 

 

 

 

naar startpagina
naar sitemap
logaritmen
exponentiŽle vgln
exponentiele functies
logaritmische functies 
dynamische groei

groeimodel
exponentiŽle groei
functie en grafiek
% en groeifactor

berekeningen:
eindhoeveelheid
groeifactor langere periode
groeifactor kortere periode
hoe lang eer...

wereldbevolking

oef.exponentiŽle groei
oef exponentiŽle vgln
oefeningen analyse