|
berekenen van limieten wiskunde-interactief.be |
Grafieken van veeltermfuncties en van machtsfuncties
Door de grafiek van f(x) = 2x te verschuiven, verkrijgen we de grafieken van f(x) = 2x + 3 en f(x) = 2x - 1.
Door de grafiek van f(x) = 0,5x2 te verschuiven, verkrijgen we de grafieken van f(x) = 0,5x2 - 2x en f(x) = 0,5x2 + x - 3 .
De 3 grafieken hebben een verschillende vorm.
We kunnen de grafiek van een willekeurige derdegraadsfunctie niet meer bekomen
door verschuiving van f(x) = x3 .
Zoomen we sterk uit, dan merken we dat de drie grafieken voor grote waarden van
x wel dezelfde vorm hebben.
|
|
gedrag van machtsfuncties a.xn op oneindig:
|
Wat is het gedrag van een
machtsfunctie op oneindig? Is de machtsfunctie f(x) = axn even of oneven? We gaan het na in het applet: Wat is de invloed van de parameter n? - Verhoog in het applet de parameter n. - We stellen vast: als n oneven is, is de functie  als n even is, is de functie
Wat is de invloed van de parameter a?-Klik op de knop 'init' . - Maak nu de parameter a negatief. Verandert hierbij het even of oneven karakter van de functie?
Wat verandert er:
|
De tekens van a en het even of oneven zijn van n geven 4 mogelijkheden voor de vorm van de grafiek:
|
a > 0 en n oneven:
grafiek stijgt |
a < 0 en n oneven:
grafiek daalt |
||
|
|
Veeltermfuncties: gedrag op oneindig
| f(x) = 2x2 - 10x - 5 | lim | ? |
| x→+∞ |
Wat
gebeurt er wanneer de x-waarde nadert naar plus oneindig?
Bekijken
we de drie termen apart, dan krijgen we het volgende:
|
|
|
Bekijken we de veeltermfunctie, dan krijgen we het volgende:
de
limiet van de veeltermfunctie is dezelfde als
|
|
de limiet van een veeltermfunctie voor x →∞ = de limiet van de hoogstegraadsterm |
Limieten van rationale functies in oneindig
| f(x) = | 3x + 6 |
| x - 1 |
|
We vinden deze limiet ook als volgt:
|
de limiet van een rationale functie voor x →∞ = de limiet van het quotiënt van de hoogstegraadstermen
|
Limieten van rationale functies in nulwaarde van noemer (en niet van teller)
| f(x) = | 3x + 6 |
| x - 1 |
|
De limiet is + of - oneindig
- een benaderende functiewaardentabel |
de limiet van een rationale functie in een nulpunt van de noemer = ± ∞ |
Limieten van rationale functies in nulwaarde van noemer en van teller
| f(x) = x + 1 | f(x) = | x2 - 1 |
 |
||
| x - 1 |
| lim x→1 |
x2 - 1 | = | lim x→1 |
(x - 1) (x + 1) | = | lim x→1 |
x + 1 | = | 1 + 1 = 2 |
|
|
|
|
|||||||
| x - 1 | (x - 1) | 1 |
de limiet van een rationale functie in een nulpunt van teller en noemer = de limiet van de functie die je bekomt door teller en noemer te delen door (x - a) |