algebra van Boole wiskunde-interactief.be

 

George Boole (1815-1864)

George Boole werd geboren in Lincoln, Engeland, als zoon van een
schoenmaker.  Hij genoot weinig onderwijs, maar hij slaagde erin om
zichzelf te onderrichten. Als onderwijzer ergerde hij zich aan de kwaliteit
van de leerboeken... Dus besloot hij om zelf betere te schrijven.

In 1840, vijf jaar na aanvang van zijn zelfstudie wiskunde, schreef hij zijn
eerste boekjes. De universiteit van Cork (Ierland) benoemde hem in
1849 tot hoogleraar in de wiskunde.

Boole schreef meerdere boeken en artikelen over de het gebruik van
logica in de wiskunde. Logische redeneringen konden in de vorm van
vergelijkingen ook worden toegepast op getallen. Beroemd is vooral zijn
'An Investigation of the Laws of thought on Which are Founded the
Mathematical Theories of Logic and probabilities' uit 1854.
Zijn werk werd slechts bekend in beperkte kring, totdat ver na zijn dood
in 1864, zijn theorieŽn in 1938 werden gebruikt door onderzoekers in de
electronica. Gebruikers van internet-zoekmachines hanteren zijn logische
vergelijkingen nog wanneer ze woorden of woordgroepen verbinden door
operatoren als AND, OR, NOT. (bron: Wikipedia)

 

Booleaans zoeken

Zoek je een schilderij van Rubens, maar geen landschap, dan kan je dat bijvoorbeeld bij Altavista
met een 'advanced search'. Hier gebruik je de zogenaamde Booleaanse operatoren AND, OR, NOT

Ook Google kent geavanceerd zoeken. De Booleaanse operatoren worden hier omschreven:

 

Verzamelingenleer

EN, OF en NIET kennen we al uit de verzamelingenleer.
We passen ze toe op volgende verzamelingen:
U = verzameling van alle lln van de school
A = verzameling van alle meisjes van de school
B = verzameling van alle zesdejaars

    A  » B     bevat: alle llln die meisje zijn of in het zesde jaar zitten  

 voorwaarde: behoort tot A
OF tot B (of tot beide)
 A  « B  bevat: alle meisjes uit de zesde jaren

 voorwaarde: behoort tot A
EN tot B
A  bevat: alle jongens van de school    

 voorwaarde: behoort
NIET tot A
» B  bevat: alle jongens die niet in het zesde jaar zitten    

 voorwaarde: behoort
NIET tot A EN NIET tot B
« B  bevat: iedereen, behalve de meisjes die in het zesde jaar zitten
    
 voorwaarde: behoort
NIET tot A OF NIET tot B
Het uitwerken van deze laatste twee eigenschappen is niet evident:
» B : een leerling zit hierin als hij geen meisje is, en niet in het zesde jaar zit
we vinden: » B = A  « B
« B: een leerling zit hierin als hij geen meisje is ofwel niet in het zesde jaar zit
we vinden: « B = A  » B
Deze twee eigenschappen noemt men de wetten van De Morgan:


  wetten van De Morgan:    

   » B = A  « B     

   « B = A  » B  

 

waarheidstafels

Het al dan niet tot een verzameling behoren, kunnen we weergeven in een waarheidstafel.
Voor de bewerkingen met verzamelingen krijgen we:

Unie van verzamelingen:


Doorsnede van verzamelingen:


Complement van een verzameling:

 

 

 

 

algebra van Boole

In een niet-ledige verzameling kunnen we volgende drie bewerkingen definiŽren:
som: x + y
product: x . y
complement: x

Een dergelijke structuur noemt men een Boole-algebra als deze bewerkingen voldoen aan volgende axioma's:

commutatieve eigenschappen
a + b = b + a en a . b = b . a
distributieve eigenschappen
a + (b . c)  = ( a + b) . ( a + c)  en a . (b + c)  = ( a . b) + ( a . c)
neutrale elementen
a + 0 =  a en a . 1 =  a
elk element heeft een complement, zo dat
a + a =  1 en a . a =  0

 

 

algebra van Boole en verzamelingenleer
De analogie tussen een algebra van Boole en de verzamelingenleer is duidelijk:

  Commutatieve eigenschappen
  A » B = B » A
  A « B = B « A

 
  Commutatieve eigenschappen
  a + b = b + a
  Distributieve eigenschappen
  A « ( B » C) = (A « B) » (A « C)
  A » ( B « C) = (A » B) « (A » C)


 
  Distributieve eigenschappen
  a . ( b + c ) = ( a . b ) + ( a . c )
  a + ( b . c ) = ( a + b ) . ( a + c )
  Neutrale elementen
  A
« f = A
  A « U = A
  Neutrale elementen
  a +  0 = a
  a . 1 = a

We merken hier ook op:
Met elk optellingsaxioma komt een vermenigvuldigingsaxioma overeen:
verwissel je in een axioma de bewerkingen + en . en de neutrale elementen 0 en 1,
dan bekom je een ander axioma.
Dit noemen we het dualiteitsprincipe.

 

 

 

 

twee-elementenalgebra

We kunnen een Boole-algebra beperken tot de neutrale elementen 0 en 1.
Deze beperking vindt een belangrijk toepassingsgebied in digitale schakelingen.
We controleren de voorwaarden voor een Boole-algebra:

- De bewerkingen zijn intern en commutatief:
Optelling:


Vermenigvuldiging:


Complement:

  - Elk element heeft een complement, zo dat a + a = 1   en a . a = 0
voor 0:   0 + 1 = 1     en   0 . 1 = 0
voor 1:   1+  0 = 1     en   1 . 0 = 0

  - Voor de distributiviteit van  . t.o.v. + vinden we:

  a      b      c      b + c    a . (b + c)     a.b     a.c    (a.b) + (a.c)  
0 0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 1 0 0 0 0
0 1 0 1 0 0 0 0
0 1 1 1 0 0 0 0
1 0 0 0 0 0 0 0
1 0 1 1 1 0 1 1
1 1 0 1 1 1 0 1
1 1 1 1 1 1 1 1

Wegens het dualiteitsprincipe geldt meteen ook de distributiviteit van  + t.o.v. .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

eigenschappen in een Boole-algebra

  1 en 0  noemen we
  de opslorpende
  elementen
  voor + en 0 
  _ = a
  a

 a + a = a
 a . a = a

 a + 1 = 1
 a . 0 = 0

 absorptiewetten  a + (a . b) = a  

 a . (a + b) = a


 

  + en . zijn associatief  (a + b) + c = a + (b + c) 

 (a . b) . c = a . (b . c)


 

  wetten van
  de Morgan
 (a + b) = a . b

 (a . b) = a + b
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rekenen in een Boole-algebra

Door gebruik te maken van deze eigenschappen kunnen we in een Boole-algebra rekenen. B.v.:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

naar startpagina
naar sitemap
verzamelingen
Boole formules
schakelalgebra

George Boole
Booleaans zoeken
verzamelingenleer
waarheidstafels
algebra van Boole
analogie
twee-elementenalgebra
eigenschappen in algebra
rekenen in algebra

oefeningen