Boole- formules en -functies wiskunde-interactief.be

Boole-formules en -functies

Met veranderlijken x, y, z, ... kunnen we uitdrukkingen opbouwen.
We noemen deze uitdrukkingen formules.
Met een Boole-formule als voorschrift, krijgen we Boole-functies.

x + y
In een waardentabel kunnen we alle waarden nagaan die de functie kan aannemen.
B.v. met de formule x + y krijgen we in een tabel:

 

 

 

 

 

 

disjuncte normaalvorm
Elke formule kunnen we zo schrijven dat elke veranderlijke er in voorkomt.
Deze schrijfwijze noemen we de disjuncte normaalvorm
Voor de formule x + y krijgen we:
x + y
= xy + xy + xy + xy 
= xy + xy + xy 

De disjuncte normaalvorm bestaat hier uit drie termen. Deze vinden we ook terug in de waardentabel.
« Uit een waardentabel kunnen we de disjuncte normaalvorm afleiden.
« Uit de disjuncte normaalvorm kunnen we een waardentabel afleiden.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

algebra´sch vereenvoudigen van Boole-formules
Bij het ontwerpen van schakelingen willen we zo weinig mogelijk componenten gebruiken.
Dit komt neer op het vereenvoudigen van Boole-formules.
We kunnen dit doen door algebra´sch de eigenschappen van een Boole-algebra toe te passen:

(a + b )(a + c) = a + b.c

a + a = 1

a + a = a

a + a . b = a

 a + (a . b) = a + b

a . b + a . b = a

a.b + a.c = a (b + c)

a . a  = 0

a . a = a

a . (a + b) = a

a . (a + b) = a . b

(a + b) . (a + b ) = a

v.b.: vereenvoudig de vorm x y z + x y z  + x y z +  x  y z +  x y z
(we nemen de eerste met de tweede term samen en ook de derde met de vierde)
= x z (y + y) +  y z (x + x ) +  x y z
(de som van de termen tussen haakjes is telkens 1
= x z  +  x y z  + y z
(als we de twee eerste termen samen nemen, valt de x uit de tweede term weg)
= x z  +  y z  + y z

 

 

 

 

Karnaugh-diagram

Een Boole-formule is vaak onoverzichtelijk.
Een interessant grafisch alternatief is het Karnaugh-diagram:
In een rooster voorzien we voor elke mogelijke combinatie van de variabelen een vakje.

met twee variabelen x en y krijgen we als mogelijkheden:

met drie variabelen x, y en z krijgen we als mogelijkheden:

De variabele z wordt gesplitst.
We voegen ze zo bovenaan in dat we de verschillende combinaties met x en z kunnen vormen.
Ook een vierde variabele kunnen we dan links gesplitst invoegen.
We noteren een Boole-formule in een diagram door een 1 te schrijven in elk overeenkomend vakje:
De vorm x y z + x y z  + x y z +  x  y z +  x y z   wordt dan:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

vereenvoudigen van Boole-formules met een Karnaugh-diagram

We kunnen Karnaugh-diagrammen gebruiken om formules te vereenvoudigen:
De methode steunt op het samennemen van termen:
- grafisch: aaneengesloten blokjes met een 1 noteren we als ÚÚn kortere term
- algebra´sch: x . y + x. y = x

In het diagram omcirkelen we de vakjes die we kunnen samennemen.
Merk wel op dat we b.v. de twee gesplitse z -kolommen als aaneensluitend moeten lezen:

We vormen drie blokjes van telkens 2 aaneengesloten vakjes.

De vereenvoudigde formule wordt: x z  +  y z  + y z.
Je merkt snel dat deze grafische methode veel handiger is dan
het stapsgewijze algebra´sch toepassen van eigenschappen.

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

naar startpagina
naar sitemap 
algebra van Boole
schakelalgebra

formules en functies
disjuncte normaalvorm
formules vereenvoudigen
Karnaugh diagram
Karnaugh-vereenvoudigen

oefeningen