|
|R, de verzameling van reële getallen,
bestaat uit alle natuurlijke, gehele, rationale en irrationale getallen |
getallenas
We kunnen getallen voorstellen op een getallenas:
| Bij het wandelen op een lijn kunnen
we een afstand meten door de stappen te tellen: 1, 2, 3, 4, ... We spreken van 'natuurlijke getallen' De verzameling van alle natuurlijke getallen: N |
|
| We kunnen ook achteruit stappen. Bij zulke afstanden schrijven we een minteken. We spreken van 'gehele getallen' De verzameling van alle natuurlijke getallen: Z |
|
| Door te schuifelen in plaats van te
stappen, vullen we de ruimte tussen de gehele getallen op. We vullen ook de getallenverzamelingen aan met de 'rationale getallen'in de verzameling Q de 'reële getallen'in de verzameling R Deze laatste verzameling bevat naast de rationale getallen ook de decimale getallen die je niet als breuk kan schrijven. |
Rationale getallen voorstellen op een getallenas ligt iets moeilijker dan een aantal keer een
eenheid af te tellen.
Om een breuk af te beelden op de getallenas maken we gebruik van een
hulpconstructie:
- op een hulprechte duiden we evenveel gelijke lijnstukken aan als de
grootte van de noemer.
- deze lijnstukken brengen we daarna over op de getallenrechte:
irrationale
getallen op een getallenas
Ook voor sommige irrationale getallen kennen we constructies.
Zo kunnen we √2,
√3 of √5
exact plaatsen met de stelling van Pythagoras.
We tekenen de driehoek DABC, zo dat |AB| =
|AC| = 1.
Volgens de stelling van Pythagoras:
|BC|² = |AC|² + |AB|²
|BC|² = 1² + 1² = 2
|BC| = √2
Zo kunnen we exact een lijnstuk [BC] tekenen met lengte
√2,
ook al is √2 een irrationaal getal.
We kunnen ook nog verder gaan en lijnstukken tekenen met een lengte van
√3, √4 ,
√5 , enz...
| We tekenen de driehoek DBDC, zo dat |BD| = 1. Volgens de stelling van Pythagoras: |DC|² = |BD|² + |BC|² |DC|² = 1² + (√2 )² |DC|² = 1 + 2 = 3 |DC| = √3 |
We tekenen de driehoek DDEC, zo dat |DE| = 1. Volgens de stelling van Pythagoras: |EC|² = |DE|² + |DC|² |EC|² = 1² + (√3 )² |EC|² = 1 + 3 = 4 |EC| = √4 = 2 |
We tekenen de driehoek DEFC, zo dat |EF| = 1. Volgens de stelling van Pythagoras: |FC|² = |EF|² + |EC|² |DC|² = 1² + (√4 )² |DC|² = 1 + 4 = 5 |DC| = √5 ... |
Voor de meeste getallen (zoals het bekende π ) bestaan er echter geen exacte constructies.
Optellen, aftrekken, delen en vermenigvuldigen doen we zoals in de andere
getallenverzamelingen.
We moeten nu wel letten op de komma.
optelling:
sleep stap na stap de juiste cijfers naar de passende plaats
aftrekking
sleep stap na stap de juiste cijfers naar de passende plaats
vermenigvuldiging
sleep stap na stap de juiste cijfers naar de passende plaats
deling
sleep stap na stap de juiste cijfers naar de passende plaats
Let op: sleep bij het vermenigvuldigen enkel het verschil dat je bekomt na
aftrekking.
Voor het ordenen van reële getallen gebruiken we dezelfde regels als voor rationale getallen
Het interval [ -2,3 ; 4,6 ] wordt bepaald door de voorwaarde -2,3
≤ x < 4,6
De voorwaarde x > 15 bepaalt het interval ] 15, +
∞ [
In het volgende applet kan je beide schrijfwijzen inoefenen:
|
getallenverzameling |