|
rekenen met machten wiskunde-interactief.be |
kwadraat
De oppervlakte van een vierkant = zijde . zijde
We kunnen deze bewerking ook noteren als: oppervlaktevierkant
= zijde2.
We zeggen: "oppervlakte in het kwadraat" of nog: "oppervlakte tot de
tweede".
Deze bewerking noemen we een machtsverheffing.
Het getal '2' noemen we de exponent van deze machtsverheffing.
begrip nde macht
voor een grondtal a ∈ |R en
een exponent n
∈ |N \ { 0, 1} definiëren we als nde
macht:
Voor de exponenten 0 en 1definiëren we:
a0 = 1 (behalve als a = 0, want 00 wordt niet
gedefinieerd)
a1 = a
Machten met een zelfde grondtal noemen we
gelijksoortig: am en an
Machten met een zelfde exponent noemen we gelijknamig:
an en bn
machten
vermenigvuldigen
Hoe vermenigvuldigen we machten met hetzelfde grondtal:
machten delen
Hoe delen we machten met hetzelfde grondtal:
Wat kunnen we zeggen over de macht van:
- een som
- een product
- een quotiënt
- een macht
We onderzoeken het achtereenvolgens in een applet.
| De macht van de
som ¹ de som van machten.
(a + b) n
≠ an + bn |
praktisch:
| de macht van
het product = het product van machten
(a . b) n = an . bn |
We kunnen deze rekenregel gemakkelijk aantonen met de definitie van 'macht'.
Klik in het onderstaande applet telkens bovenaan op het blauwe pijltje naast
'volg stapsgwijs'.
de macht van
een quotiënt = het quotiënt van de machten.
|
praktisch:
| De macht van
een macht: (am) n = am . n met a ∈ R0 en m,n ∈ N |
| We kennen: |
 |
We weten ook: |
 |
| Hieruit vinden we: |
 |
Klik in het applet op de knop 'voorbeeld' voor telkens een
nieuwe uitdrukking:
We definiëren:
|
Met deze uitbreiding naar negatieve machten kunnen we rekenregels voor
machten veralgemenen.
De rekenregels voor natuurlijke exponenten gelden bij uitbreiding ook voor
gehele exponenten.
Met de definitie voor negatieve exponenten kunnen we duidelijk
illustreren waarom we a0 definieerden als1
Als we de tabel volgen van links naar rechts merk je dat we telkens delen door
a:
|
a3 |
a2 |
a1 |
a0 |
a-1 |
a-2 |
a-3 |
|
a . a . a |
a . a |
a |
1 |
1/a |
1/(a . a) |
1/(a . a . a) |
overzicht machten met gehele exponenten:
| an =
a . a ... a (n factoren)
met a ∈
R en n
∈
Z \ { 0, 1} (a + b) n ≠ an + bn met a en b ∈ R0 en n ∈ Z (a . b) n = an . bn met a en b ∈ R 0 en n ∈ Z
(am) n = am . n met a ∈ R0 en m,n ∈ Z
a0 = 1 (am) n = am . n
met a ∈
R0
en m,n ∈
Z |
Is b.v. (- 2)198 positief of negatief? We kijken even terug naar
de definitie van machten:
We kunnen dus het teken afleiden uit de tekenregel voor het
product van getallen:
- het product van een reeks positieve getallen is steeds positief
- het product van een reeks negatieve getallen hangt af van het aantal mintekens
| even exponenten: | oneven exponenten: | |
| 22 = 2 . 2 = 4
(-2)2 = (-2) . (-2) = 4 Zo ook: 24 = (-2)4 = 16 het resultaat is steeds positief |
23 = 2 . 2 . 2 = 8
(-2)3 = (-2) . (-2) . (-2) = - 8 Zo ook: 25 = 32 maar (-2)5 = -32 het teken hangt af van het teken van het grondtal |
Algemeen:
| - een
macht an met een even exponent n is steeds positief
- een macht an met een oneven
exponent n heeft hetzelfde teken als het grondtal a |
Let op:
minteken voor de macht:
- 24 = - ( 24) = - 16
terwijl (- 2)4 = 16
twee mintekens:
- ( - 2)4 = - (16) = - 16
- ( - 2)3 = - (-8) = 8
Twee mintekens
heffen elkaar niet zomaar op!
Reken steeds stap voor stap en werk eerst de haakjes uit.
| - negatieve exponent: 2-3 = | 1 | = | 1 | de negatieve exponent bepaalt wel de uitkomst, maar niet het teken |
| 23 | 8 |