|
lineaire programmering wiskunde-interactief.be |
een dieet
In een dieet willen we met zuivel en groenten voldoen aan eisen van calcium,
prote?en en vitamine A.
| 1
eenheid bevat |
zuivel | groenten |
vereiste minimumhoeveelheid |
| eenheden calcium | 10 | 4 | 20 |
| eenheden prote?en | 5 | 5 | 20 |
| eenheden vitamine A | 2 | 6 | 12 |
Meteen krijgen we een hoop voorwaarden, die we grafisch gaan voorstellen.
Het aantal eenheden zuivel noemen we
x.
Het aantal eenheden groenten noemen we
y.
Tegelijk willen we zo goedkoop mogelijk voldoen aan deze randvoorwaarden.
1 Eenheid zuivel kost ? 6 en 1 eenheid groenten ? 10.
De kost van het dieet K vinden we dus als: 6x + 10y = K.
| Voldoen aan calcium betekent: Voldoen aan prote?en betekent: Voldoen aan vitamine A betekent: En natuurlijk zijn ook x ≥ 0 en y ≥ 0 |
10x + 4y ≥ 20 5x + 5y ≥ 20 2x + 6y ≥ 12 |
Oplossingsgebied:
We krijgen dus 1 te minimaliseren grootheid en 5 ongelijkheden als
randvoorwaarden.
Dit alles kunnen we grafisch voorstellen. Meer over ongelijkheden in het vlak
vind je op de pagina ongelijkheden.
We schrappen de halfvlakken die niet voldoen, zodat we een oplossingsgebied
overhouden.
Maar waar in dit oplossingsgebied vinden we nu de minimale kost?
Minimale kost:
- We tekenen eerst de rechte 6x + 10y = 0.
Dit komt overeen met een rechte door de oorsprong met vergelijking y =
-6/10 x
- Versleep nu de rechte met het rode punt op deze rechte:
Alle rechten met vergelijking 6x + 10y = a lopen evenwijdig aan 6x + 10y
= 0
Bovendien hebben alle punten op eenzelfde rechte dezelfde kost (versleep
het blauwe punt als controle)
Zulk een rechte 6x + 10y = a noemen we daarom een
isorechte.
- De minimale kost verzoenen met de dieetvereisten vinden door de isorechte te
verschuiven
tot ze het oplossingsgebied raakt. In dat punt lezen we de oplossing af.
In het onderstaande applet kan je stap voor stap de oplossing volgen.
Je leest tenslotte af dat we met een minimale kost aan de dieetvereisten voldoen
met
3 eenheden zuivel en 1 eenheid groenten. De kostprijs van het dieet is ? 28.
parkeergelden
De
directie van een pretpark wil een parkeerterrein aanleggen. Er is ruimte voor 75
personenauto?s.
Een autobus geparkeerd neemt 3 autoparkeerplaatsen in.
De directie wil hoogstens 10 parkeerplaatsen voor autobussen aanleggen.
Het aantal autoplaatsen moet maximaal 8 keer en minimaal 3 keer het aantal
autobusplaatsen zijn.
Per dag levert een auto ?3 parkeergeld op, een autobus ?10.
Bij welke aantallen parkeerplaatsen voor personenauto?s en autobussen is de
opbrengst maximaal?
Hoe groot is die opbrengst?
Oplossing: We noemen het aantal autoplaatsen x en het aantal bussen y.
| Maximum aantal bussen: Maximum aantal auto's - bussen Minimaal aantal auto's - bussen Het totaal aantal plaatsen |
y ≤ 10 x ≤ 8y x ≥ 3y x + 3y ≤ 75 |
Het totaal aan inkomsten vinden we als I = 3x + 10y.
Oplossingsgebied:
We krijgen dus 1 te maximaliseren grootheid en 6 ongelijkheden als
randvoorwaarden.
We schrappen de halfvlakken die niet voldoen, zodat we een oplossingsgebied
overhouden.
Maximale opbrengst:
- We tekenen eerst de rechte 3x + 10y = 0.
Dit komt overeen met een rechte door de oorsprong met vergelijking y =
-3/10 x
- We verslepen ook nu het rode punt, zo dat de inkomsten maximaal worden.
In het onderstaande applet kan je stap voor stap de oplossing volgen.
Je leest tenslotte af dat de inkomsten maximaal zullen zijn met
45 autoplaatsen en 10 busplaatsen. De inkomsten zijn dan ? 235.