vkv_volledig

2x - 5 = 0 is een vergelijking van de eerste graad: 1 is de hoogste exponent van de onbekende x.
3x² - 4x + 2 is een vergelijking van de tweede graad: 2 is de hoogste exponent van de onbekende x.

Vergelijkingen van de tweede graad noemen we ook vierkantsvergelijkingen (vkv).
Oplossingen van een vergelijking noemen we wortels.

ax² + bx + c = 0 noemen we de standaardvorm van een vierkantsvergelijking.
a ¹ 0 want anders hebben we geen tweedegraadsvergelijking.
Wanneer zowel a, b als c ¹ 0 spreken we van een volledige vkv.
Wanneer b en/of c = 0 spreken we van een onvolledige vkv.

Een vkv 2x² - 5x + 3 = 0 kunnen we niet zomaar omvormen tot een vorm x = ...
- We kunnen geen factor buiten haakjes zetten.
- Een vierkantswortel nemen om het kwadraat in de eerste term weg te werken helpt niet,
want in de tweede term zou x onder een vierkantswortel komen...
We bekijken daarom een na een de verschillende vormen waarin we vkv kunnen tegenkomen.

ax² = 0
we delen beide leden door a

x² = 0

x = 0

ax² = 0 heeft steeds 1 oplossing x = 0

In het applet kan je experimenteren met
verschillende waarden van a.

ax² + bx = 0
we zetten x buiten haakjes

x (ax + b) = 0
een product is gelijk aan 0
als een van de factoren gelijk is aan 0

x = 0 of ax + b = 0

x = 0 of x = -b/ a

ax² = 0 heeft steeds 2 oplossingen:
x = 0 en x = -b/a

In het applet kan je experimenteren met
verschillende waarden van a en b.

ax² + c = 0

x² = - c/ a

x = √ (- c/ a) of x = - √ (- c/ a)

ax² + c = 0
- heeft 2 oplossingen als - c/ a > 0
- heeft geen oplossing als - c/ a < 0
In het applet kan je experimenteren met
verschillende waarden van a en c

We kennen de formule: a² + 2ab + b² = (a+b)². We proberen de vkv om te vormen tot deze formule.

ax² + bx + c = 0
bij vermenigvuldiging met 4a vormen de twee eerste
termen steeds een kwadraat en een dubbel product

4a.ax² + 4a.bx + 4a.c = 0
4a²x² + 4abx+4ac = 0
we vermeerderen beide leden met het kwadraat b²

4a²x² + 4abx + 4ac + b²= b²
    we passen nu de formule van bovenaan toe
    als a² + 2ab + b² = (a+b)² dan vinden we ook:
    als 4a²x² + 4abx + b² = (2ax+b)²

4a²x² + 4abx + 4ac + b²= b²
(2ax + b)² + 4ac = b²
(2ax + b)² = b² - 4ac
het rechterlid b² - 4ac noemen we discriminant (D)

(2ax + b)² = D    zodat:
2ax + b = √D   of 2ax + b = - √D
2ax = - b + √D   of 2ax = - b - √D

x =	- b + √D	of x =	- b - √D
	2a		2a

het aantal wortels hangt nu af van het teken van D:
- er zijn 2 oplossingen als D > 0
- er is 1 oplossing als D = 0
- er is geen oplossing als D < 0

In het applet kan je experimenteren met verschillende waarden van a, b en c

Het omvormen van een vkv via de formule a² + 2ab + b² = (a+b)² is een mooi staaltje afleiden,
maar om dit nu bij elke vkv toe te passen...
Het volstaat de formule toe te passen waar we bij de algemene afleiding op uitkwamen:

- als D < 0 kunnen we de vierkantswortel niet berekenen: er zijn geen reële wortels
- als D = 0 maakt + of - de vierkantswortel niet uit: er is één wortel
- als D > 0 zijn er twee wortels.

De vierkantsvergelijking ax² + bx + c = 0
met als discriminant D = b² - 4ac heeft als wortels:

als D>0

x₁ =	- b + √D	x₂ =	- b - √D
	2a		2a

als D=0

x_1,2 =	- b
	2a

als D<0

geen wortels

Deze formule noemen we de abc-formule. Je kan ze toepassen op alle vkv.
Ook bij de onvolledige vkv kan je de formule gebruiken, al kan het daar natuurlijk sneller zonder.

ongelijkheden van de tweede graad
We kunnen nu ook ongelijkheden van de tweede graad oplossen: ax² + bx + c > 0
(of ongelijkheden met de andere ongelijkheidstekens: ³ , < of £ ).
Andere ongelijkheden als dx² + ex + f < gx² + hx + i kunnen steeds omvormen tot de standaardvorm.

Oplossingsmethode:
- We lossen eerst de overeenkomende vkv op: ax² + bx + c = 0
- We bepalen daarna welke x-waarden voldoen aan de ongelijkheid.
Deze kunnen we aflezen in een tekenoverzicht of op een grafiek.
Het applet toont in het groen de oplossing van een ongelijkheid
op een getallenas.