ontbinden in factoren wiskunde-interactief.be

 Een veelterm is een som van eentermen.
Ontbinden in factoren = deze veelterm schrijven als het product van factoren.
Bijvoorbeeld: x - 9 = ( x - 3 ) . (x + 3)
Een som van termen schrijven we als het product van ( x - 3 ) en (x + 3).

Ontbinden van factoren kunnen we gebruiken om vergelijkingen op te lossen.
x - 9 = 0 kunnen we schrijven als ( x - 3 ) . (x + 3) = 0
De oplossingen van deze vergelijking zijn:
x = 3 en x = - 3.

 

buiten haakjes zetten van gemeenschappelijke factoren
Kijk steeds eerst of er in de verschillende termen van de veelterm gemeenschappelijke factoren zitten.
Plaats deze buiten haakjes:
b.v.: ab + ac = a(b + c)
Je kan deze eigenschap ook grafisch illustreren:


Buiten haakjes zetten kan je ook toepassen op drietermen of viertermen:




 

 

 

 

 

 

verschil van kwadraten

(a + b) . (a - b)     = a.a - a.b + b.a - b.b
= a - a.b + a.b - b
= a - b


Omgekeerd kunnen we dus ook schrijven:


  a - b = (a + b) . (a - b)    
 

 

 

 

 

de drieterm a+2ab+b

(a + b)     = (a + b) . (a + b)
= a.a + a.b + b.a + b.b
= a + a.b + a.b + b
= a + 2ab + b
 
              (a - b)     = (a - b) . (a - b)
= a.a - a.b - b.a + b.b
= a - a.b - a.b + b
= a - 2ab + b

Omgekeerd kunnen we dus ook schrijven:


  a + 2ab + b = (a + b)

  a - 2ab + b = (a - b)       
 

   om deze formules te kunnen gebruiken hebben we drie termen nodig:   
   - twee kwadraten
   - het dubbel product van de twee grondtallen

 

 

 

 

buiten haakjes zetten van gemeenschappelijke factoren (bis)

Bovenstaande formules verschijnen soms pas na het buiten haakjes zetten van factoren:
 
2x - 18
= 2 . (x - 9)
    binnen de haakjes verschijnt nu het veerschil van twee kwadraten:
= 2 . (x - 3) . (x + 3)
 
 
2x + 12x + 18x
= 2x . (x + 6x + 9)
    binnen de haakjes verschijnt nu een volkomen kwadraat:
= 2 . (x + 3)

 

 

samennemen van termen

Soms kunnen we niet op alle termen tegelijk een formule toepassen, maar kunnen we wel
termen samennemen, waarna je wel een formule kan gebruiken. b.v.: 
 
ax + ay + bx + by
= a . (x + y) + b . (x + y)
    binnen de haakjes verschijnt nu twee keer (x+y)
    deze factor kunnen we nu afzonderen
= (x + y)  . (a + b)
 
 
Moet je nu de a's en de b's afzonderen?
Kan ik ook niet de termen in x en de termen in y samennemen?
Inderdaad, je resultaat zal hetzelfde zijn:
 
ax + ay + bx + by
= x . (a + b) + y . (a + b)
    binnen de haakjes verschijnt nu twee keer (a+b)
    deze factor kunnen we nu afzonderen
= (a + b)  . (x + y)

 

 

 

 

som en verschil van twee derdemachten


algemeen:


  a3 + b3 = (a + b) . (a2 - ab + b2)

  
a3 - b3 = (a - b) . (a2 + ab + b2)  
 

 




ontbinden van vierterm
In merkwaardige producten heb je (a + b)3 uitgewerkt als de vierterm a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Omgekeerd kunnen we dus ook een dergelijke vierterm schrijven als de derdemacht van een som.


  a3 + 3a2 b + 3a b2 + b3 = (a + b)3  
 
      
 
a3 - 3a2 b + 3a b2 - b3 = (a - b)3  
 
 





 

naar startpagina

buiten haakjes zetten
verschil kwadraten
drieterm ax+2ab+b
buiten haakjes-bis
samennemen termen 
som/verschil derdemachten
vierterm als derdemacht

oefeningen