benaderingen en reeksontwikkeling wiskunde-interactief.be

Hoe bereken je het getal pi?
De verhouding tussen de omtrek en de diameter van een cirkel definiŽren we als π (pi).
Voor deze verhouding vinden we als waarde 3,1415926...

Het getal π is irrationaal: We kunnen π niet schrijven als een breuk.
Het getal π is zelfs transcendent: We kunnen π niet schrijven als de oplossing van een vergelijking
anxn + an-1xn-1 ... = a1x + a0 = 0  (waarbij  ai een geheel getal is)
We kunnen π enkel benaderen. Door het verfijnen van benaderingsmethodes en de toenemende rekencapaciteit
van computers neemt ook het aantal cijfers toe dat men exact kan bereiken.

 

meetkundige benadering
Van een regelmatige veelhoek met een gegeven diameter kunnen we de omtrek berekenen.
De verhouding van de omtrek tot de diameter geeft nu een benadering voor π .
Door het aantal zijden te verhogen, bekomen we een steeds betere benadering.
 

 

 

 

 

 

 

 

rekenkundige benadering
Je kan breuken zoeken die π benaderen:

zo is    22 =  3,142857...         223    = 3,140845...         355    = 3,141592...    
7 71 113

Deze laatste breuk geeft 6 juiste decimalen.
Dat is meer dan voldoende voor gewone berekeningen, maar de benadering blijft beperkt.

Een andere methode is het hanteren van reeksen.
Wiskundigen hebben gezocht naar convergerende reeksen om p te berekenen.
Dat wil zeggen: hoe meer termen we berekenen, hoe beter we p benaderen.
De nauwkeurigheid van onze berekening kiezen we zelf.
Zo kunnen we bv. stoppen als het 10e, 100e of 1000e getal achter de komma niet meer verandert.

Leibnitz (1646-1716) vond als reeks:      π    =    1   -   1    +   1     -   1    ...                  
  4  3  5  7
Euler (1707-1753) vond als reeks:      π2    =    1   +   1    +   1     +   1    ...                  
  6  22  32  42

 

 

 

 

 

reeksontwikkeling
Het werken met benaderende reeksen wordt ook gebruikt om 'moeilijkere' functies te berekenen.
Met rekenapparaatjes en computers, die niet opzien tegen enkele honderden of zelfs duizenden optellingen
of vermenigvuldigen, werd de zogenaamde 'reeksontwikkeling' een techniek die toeliet met grote nauwkeurigheid
snel berekeningen met sinus, cosinus, logaritmen, exponentiŽle functies uit te voeren.

Net zoals een rekenapparaatje niet echt een grafiek van een functie kan tekenen, maar pixel na pixel een functiewaarde
plot, berekent het ook niet echt de sinus van een hoek. Het benadert de sinus door een reeks berekeningen uit te voeren.
Het toestel stopt met rekenen wanneer de ingebouwde nauwkeurigheid bereikt is.
Maar hoe zit deze techniek nu in elkaar?

De enige functies die we 'exact' kunnen berekenen zijn veeltermfuncties met rationale coŽfficiŽnten:
f(x) = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 ...
In de 17e eeuw ontwikkelden wiskundigen een techniek om functies als f(x) = sin(x) in een dergelijke vorm te schrijven.
Het probleem "hoe bereken is een functie?" is nu veranderd in: "wat is de waarde van de coŽfficiŽnten ci?"

De meesterlijke truc start in het achtereenvolgens berekenen van de afgeleiden van de reeks:
f(x) = c0 + c1x + c2x2 + c3x3 ...
f '(x) = c
1 + 2c2x + 3c3x2 + 4c4x3 ...
f "(x) = 2c
2 + 6c3x + 12c4x2 + 20c5x3 ...
f '''(x) = 6c
3 + 24c4x + 60c5x2 + 120c6x3 ...
...

Nemen we nu voor x de waarde x = 0, dan krijgen we:

f(x) = c0   zodat   c0 =
  
f '(x) = c1              c1 =
 f(x)

 f '(x)       
                              
f "(x) = 2c2           c2 =  f "(x)  = f "(x) 
   2   2!
f '''(x) = 6c3          c3 =  f '''(x) = f '''(x)
   6   3!
f n(x) = n! cn         cn =     f n(x)
        n!

De getallen die verschijnen voor de constanten c, zijn achtereenvolgens 1, 2, 6, 24, 120, 720, ...
Je vind deze rij getallen terug als het product van elkaar opvolgende natuurlijke getallen.
In de wiskunde schrijft men ze als : n! = n . (n-1) . (n-2) ... . 2 . 1
Deze bewerking "n faculteit" wordt veel gebruikt in telproblemen.
De reeks die we zoeken krijgt nu een eenvoudige vorm.
Men noemt ze de reeksontwikkeling van Mc Laurin.

 
  f(x) = f(0) + f ' (0).x +   f '' (0)    . x+    f '' (0)     . x3 +  ...    of in sigmanotatie:   
 
 
n=0
f n (0)  

   n!
 . xn


2! 3!

We kunnen elke willekeurige functie schrijven als een reeksontwikkeling, op voorwaarde dat ze
oneindig afleidbaar is in 0. Als we de afgeleide niet kunnen berekenen, zijn we immers geen stap vooruit.
Is de functie afleidbaar in een punt a, kunnen we eenzelfde redenering opbouwen.
Zo krijgen we de reeksontwikkeling van Taylor.

 
  f(x) =   
 
 
n=0
f n (a)  

   n!
 . (x - a)n

 

 

 

reeksontwikkeling van sin(x) en cos(x)
We weten dat:
sin '(x) = cos (x) en cos '(x) = - sin (x)
sin(0) = 0 en cos(0) = 1
We berekenen nu de achtereenvolgende afgeleiden van f(x) = sin(x) en hun getalwaarde voor x = 0:

sin (0) = 0
sin ' (x) = cos (x)          
sin '' (x) = - sin (x)           
sin ''' (x) = - cos (x)           
sin 4 (x) = sin (x)               

cos (0) = 1
- sin (0) = 0
- cos (0) = -1
sin (0) = 0                

De even machten vallen dus weg, en de coŽfficiŽnten van de oneven machten zijn afwisselend 1 en -1.
We vinden als reeksontwikkeling voor sin(x):

 
  sin (x) = x - 
x3             x5             x7            x9                 

+
-
+
...
3!   5!   7!   9!  
 

Voor cos(x) kunnen we op dezelfde manier te werk gaan. We vinden:

 
  cos (x) = 1 -  
 x2             x            x           x                

+
-
+
...
2!   4!   6!   8!  
 

In onderstaand applet tekenen we de reeksontwikkeling (met x in radialen) voor de eerste 6 termen.
 

 

 

 

 

reeksontwikkeling van ex en een benadering voor e
Meer over het getal 'e' vind je op de pagina natuurlijke logaritmen.
(ex) ' = ex.
We vinden hieruit voor ex :

 
  ex = 1 + x +  
x2             x3             x4            x5                 

+
+
+
...
2!   3!   4!   5!  
 

Wanneer we nu x gelijkstellen aan 1, vinden we als benadering voor e:

 
  e = 1 + 1 +  
1             1             1            1                 

+
+
+
...
2!   3!   4!   5!  
 

In het onderstaande applet passen we deze reeksontwikkeling toe om e te berekenen:
 

 

 

 

formule van Euler
traa tje leiden we de formule van Euler af.
Vele wiskundigen vinden het de mooiste formule uit de wiskunde.
Ze verenigt op een heel bondige manier 3 zeer merkwaardige getallen uit de wiskunde met 0 en de eenheid.
Ze gebruikt hiervoor de hoofdbewerkingen uit de wiskunde: optellen, vermenigvuldigen en machtsverheffing.

In de formule voor ex vullen we voor x een imaginair getal in: ia .
Meer over imaginaire getallen en het getal i vind je bij complexe getallen.
Wanneer we ermee rekening houden dan i2 = -1, wordt de reeksontwikkeling:

  eiα = 1 + iα -  
α2            α3            α4           α5                

- i
+
+ i
...
2!   3!   4!   5!  

We groeperen nu de even en de oneven machten van a :

  eiα = 1 -  
α2            α4            α3           α5                

+
+ ...  +  i ( α -   
+ i
...
2!   4!   3!   5!  

De termen met de even machten vormen de reeksontwikkeling voor cos, de oneven die van sin, zodat:
eiα = cos ( α ) + i sin ( α )
We nemen nu voor α de waarde π. Vermits sin ( π ) = 0 en cos ( π ) = -1, wordt de formule uiteindelijk:
eiπ = - 1 + 0

 
 formule van Euler:
 e i
π + 1 = 0
 

 

 

 

 

naar startpagina
sitemap
pi onthouden

berekenen van pi
meetkundige benadering
rekenkundige benadering
reeksontwikkeling
reeksontwikkeling sin
reeksontwikkeling ex
formule van Euler