rijen wiskunde-interactief.be

voorbeelden

Voorbeeld1:
In intelligentietests kom je vaak (oneindige) rijen van getallen tegen zoals:

       
Met een klik op de knop 'Vul aan' krijg je telkens de volgende breuk.
Heb je het verband tussen de breuken door?

Voorbeeld 2:
Pythagoras en zijn volgelingen kenden de driehoeksgetallen.
= deze getallen geven het aantal bolletjes dat we nodig hebben om telkens een grotere driehoek te vormen.
In het applet bouwen we de eerste driehoekjes van de rij op:

Voorbeeld 3:
Fibonacci was de bijnaam van een Italiaans wiskundige uit de middeleeuwen.
Hij staat nog steeds in de wiskundeboeken met een konijnenprobleem.
Meer hierover lees je op een aparte pagina: Fibonacci en het konijnenprobleem.

Een rij bestaat uit een oneindig aantal getallen, in een bepaalde volgorde genomen.
Deze getallen noemen we de termen van de rij.

 

 

 

 

 

 

 

rekenkundige rijen

In een spaarpotje met € 25 steek je elke week € 5 bij. Welk bedrag heb je na 1, 2, 3 ... weken?

Deze getallen vormen een rij.
Als je bij een willekeurige term van de rij 5 bijtelt, verkrijg je de volgende term.
Zulke rijen noemen we 'rekenkundige rijen'.
5 noemen we het 'verschil' van de rekenkundige rij.

Een rekenkundige rij is een rij getallen waarvan elke term (verschillend van de eerste) gelijk is aan
de vorige, vermeerderd met eenzelfde getal.
Het verschil ( = v ) van een rekenkundige rij is het getal dat we bij een term optellen om de volgende term te krijgen. 

tn+1 = tn + v 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n-de term van een rekenkundige rij



t1		 +v
→

t2		 +v
 →

t3		 +v
→

t4		 +v
→

...		 +v
→

tn

We stellen vast:
t2 = t1 + v
t3 = t2 + v  = t1 + 2v
t4 = t3 + v  = t1 + 3v

Dus ook:
t75 = t1 + 74v

De n-de term van een rekenkundige rij tn met verschil v vinden we steeds als:   
tn = t1 + (n-1) . v

Merk op dat b.v. t5 = t3 + 2. v

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

som Sn van de eerste n termen van een rekenkundige rij

Voorbeeld 1
Bereken de som S10 van de eerste 10 termen van volgende rij:
3    5    7    9    11    13    15    17    19    21    ...

3 5 7 9 11
21 19 17 15 13
24 24 24 24 24

De sommen van de eerste en de laatste term, de tweede en de voorlaatste term, ... zijn gelijk.
De gevraagde som S10 is dus gelijk aan 5 . 24 = 120.

Voorbeeld 2
Bereken de som S7 van de eerste 7 termen van volgende rij:
35    52    69    86    103    120    137

Bij een oneven aantal termen kunnen we de rij niet splitsen in sommen van twee termen.
We schrijven nu gewoon de rij twee keer onder elkaar, maar dan in omgekeerde volgorde.
Dan berekenen we weer de som van de termen onder elkaar:

S1 32 52 69 86 103 120 137
S1
2.S1=  

De som van beide rijen is gelijk aan 7 keer 172.
Dus: 2.S7 = 7 . 172   (hierbij is 172 gelijk aan de som van de eerste en de 7de term)

Zodat de som van de eerste 7 termen S7 =   
7. 172
2
Sn : de som van de eerste n termen van een rekenkundige rij is gelijk aan    
n maal het gemiddelde van de eerste en de laatste term.   
 Sn = n .  
t1 + tn
2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

meetkundige rijen

In een meer bedekken rivierplanten een oppervlakte van 3m2. Deze oppervlakte verdubbelt wekelijks.
Hoe groot is deze oppervlakte na 1, 2, 3, ... weken?

begin na 1 week na 2 weken na 3 weken na 4 weken na 5 weken na 6 weken
Deze getallen vormen een rij.
Als je een willekeurige term van de rij vermenigvuldigt met 2, verkrijg je de volgende term.
Zulke rijen noemen we 'meetkundige rijen'.
2 noemen we de 'reden' van deze meetkundige rij.

Een meetkundige rij is een rij getallen waarvan elke term (verschillend van de eerste) gelijk is aan
de vorige, vermenigvuldigd met eenzelfde getal.
De reden van een meetkundige rij is het getal waarmee we een term vermenigvuldigen om de volgende term te krijgen.  

tn+1 = tn . q 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

n-de term van een meetkundige rij



t1		 . q
→

t2		 . q
 →

t3		 . q
→

t4		 . q
→

...		 . q
→

tn

We stellen vast:
t2 = t1 . q
t3 = t2 . q  = t1 . q . q = t1 . q2
t4 = t3 . q  = t1 . q2 . q = t1 . q3

Dus ook:
t75 = t1  . q74

De n'de term van een meetkundige rij tn  met reden q vinden we steeds als:   
tn = t1 . qn-1

Merk op dat b.v. t5 = t3.q2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

som Sn van de eerste n termen van een meetkundige rij

Voorbeeld
Bereken de som S8 van de eerste 8 termen van volgende rij: 3    6    12    24    48    96    192    384    ...

S8 = 3 + 6  + 12  + 24  + 48  + 96  + 192  + 384   ( 1 )  

We vermenigvuldigen met de reden ( q = 2) en krijgen:

2 . S8 = 6 + 12 + 24 + 48 + 96 + 192 + 384 + 768   ( 2 )  

Het verschil van beide sommen (2) - (1) wordt:

       S8 = + + + + + + +  
- 2 . S8 =    + + + + + + +
S8 - 2 . S8 = + + + + + + + +

        Er blijven slechts 2 termen over: 3 en -768.
        3 is de eerste term (t1)
        768 is gelijk aan de achtste term 384 (t8), vermenigvuldigd met de reden 2 (= q)
        We vinden dus als resultaat:
S8 - q. S8 = t1 - t8 . q
        We weten dat t8= t1 . q7, zodat
(1 - q) . S8 = t1 - t1 . q7 . q
(1 - q) . S8 = t1 - t1 . q8
        We brengen t1 buiten haakjes:
(1 - q) . S8 = t1 . (1 - q8 )

Zodat de som van de eerste 8 termen S8 =  t1 .   
(1 - q8)
(1 - q)

Algemeen:

Sn : de som van de eerste n termen van een meetkundige rij met reden q berekenen we met de formule:   
 Sn = t1 .  
(1 - qn)
(1 - q)

 

 

 

 

 

 

 

naar startpagina

voorbeelden
 rekenkundige rijen
 n-de term rekenkundige rij
 som van eerste n termen

 meetkundige rijen
 n-de term meetkundige rij
 som van eerste n termen

oefening begrippen
oef. rekenen in rijen