complexe iteraties wiskunde-interactief.be


Complexe iteratie - optelling
De complexe getallen Z1 en Z2 bepalen de positie van de afbeelding van Calvin.
We tellen je bij deze complexe getallen telkens eenzelfde complex getal bij en volgen de baan van de afbeelding.

 
  Een complexe functie f(z) = z + c verschuift telkens het getal z in het complexe vlak.      
 




Complexe iteratie - vermenigvuldiging
De complexe getallen Z1 en Z2 bepalen de positie van de afbeelding van Calvin.
We vermenigvuldigen deze complexe getallen telkens eenzelfde complex getal en volgen de baan van de afbeelding.

 
  De complexe functie f(z) = 1/2i . z
  - roteert telkens het getal z rond de oorsprong.
  - verkleint de afmetingen van de afbeelding telkens met factor 2.       
 

Wanneer je de iteratie blijft uitvoeren, nadert de baan van de punten Z1 en Z2 steeds dichter naar de oorsprong.
Het getal 0 (= 0 + 0i) noemen we de
attractor van de beeldpunten.

 

f(z) = z2
In de waardentabel en met de schuifknop kan je de baan van het getal A volgen.
- Versleep A naar 1 + 0i en vergelijk de baan.
- Versleep A verder naar rechts op de reele as en vergelijk de baan.
Blijkbaar heeft de functie voor sommige waarden van A een attractor en voor andere niet.

 
  De baan van een complex getal door de functie f(z) = z2  hangt af van het getal zelf.     
  - De baan van een punt binnen de eenheidscirkel is begrensd met 0 als attractor.
  - De baan van een punt op de eenheidscirkel ligt op de cirkel zelf.    
  - De baan van een punt buiten de eenheidscirkel is onbegrensd.   

  De verzameling van alle punten met een begrensde baan noemt men de
Julia-verzameling van de functie.   
 



f(z) = z2 + c
De vorm van de Julia-verzameling verandert wanneer je na het kwadrateren telkens nog een complex getal bijtelt.

 
  De Julia-verzameling van de functie f(z) = z2 +c in deze voorbeelden     
  - is steeds een aaneengesloten gebied.
  - heeft een reeel getal als attractor wanneer ook c een reeel getal is.    
  - heeft een complex getal als attractor wanneer ook c een complex getal is.   

  Hoe groter de modus van het complex getal c, hoe grilliger de vorm van de Julia-verzameling.   
 



Mandelbrot verzameling
Levert elk complex getal c in de complexe functie f(x) = z2 + c een attractor op?
Benoit Mandelbrot vertrok van een getal A= 0 en onderzocht verschillende waarden van c.

 
  De Mandelbrot-verzameling omvat alle waarden c die een begrensde baan opleveren.     
 

Waar liggen de waarden van c die de vorige reeks julia-verzamelingen opleverde:

De waarden van c in deze reeks liggen alle in het centrale hartvormige gedeelte van de Mandelbrot-verzameling.
Maar laten we eens kijken wat c-waarden buiten dit gedeelte opleveren...



c-waarden in de tweede kleinere bol

De Julia-verzameling blijkt niet één maar twee attractoren te hebben.
De Julia-verzameling bestaat niet langer uit één aaneengesloten gebied.

 
  - Waarden van c uit de kleinere bol, links van het hartvormige centrale gedeelte 
     leveren een Julia-verzameling op met 2 attractoren.
  - De Julia-verzameling bestaat uit een oneindig aantal knooppunten waar telkens 2 delen samenkomen.   
  - De attractoren liggen in twee aan elkaar grenzende delen.   
  - De iteraties springen telkens heen en weer tussen de twee attractoren.   
 




De andere primaire bollen
Rond het hartvormige centrale gedeelte liggen nog andere, zogenaamde primaire bollen.
Natuurlijk gaan we ook daar een kijkje nemen.
We nemen 2 waarden uit de onderste bol en 1 uit de bovenste bol.



 
  - Waarden van c uit de kleinere bollen boven en onder leveren een Julia-verzameling op met 3 attractoren.   
  - In elk knooppunten komen telkens 3 delen samen.         
  - De attractoren liggen in 3 aan elkaar grenzende delen.   
  - De iteraties springen draaien tegenuurwijzerszin rond het gemeenschappelijk knooppunt.   
 


Andere primaire bol leveren blijkbaar nog andere aantallen attractoren op:



Zo kunnen we voor elke primaire bol het aantal attractoren vastleggen.

 





Mandelbrot-plotter
Met de muisaanwijzer als verfborstel kan je zelf de Mandelbrot-verzameling plotten.
Punten met een begrensde baan kleuren we zwart, de andere rood.
Je 'verft' door met de muisaanwijzer het linkse punt van het zwarte strookje te verslepen.



Julia-plotter
Op dezelfde manier kan je experimenteren met Julia-verzamelingen.
Voor verschillende c-waarden kleur je de punten met begrensde baan zwart.
Tegelijk kan je de iteraties volgen van het blauwe versleepbare punt.

 

Inzoomen op de Mandelbrot-verzameling

Steeds verder inzoomen op de hartvormige inkeping van de centrale bol
geeft volgende reeks wondere afbeeldingen.
De Mandelbrot-verzameling is niet zomaar een grote bol met hartvormige
instulping en daarrond nog wat primaire bollen.
Inzoomen op de verzameling opent een fantastischtische wereld.
De primaire bollen vertonen antennes, telkens net zoveel als het aantal
attractoren als de c-waarden van deze bol opleveren.
Inzoomend verschijnen steeds opnieuw nieuwe bollen met antennes...
Zulk een figuur noemen we een fractaal
.

Je kan afbeeldingen van de Mandelbrot-verzameling heel kleurrijk maken.
Afhankelijk van het aantal iteraties waaruit duidelijk wordt dat de baan van
een punt naar oneindig gaat, kan je het punt op je computerscherm een
andere kleur toekennen.
Op het internet vind je sites en programma's waarmee je met fractalen en
kleuren kan experimenteren.
(Zoek op 'fractal', 'mandelbrot set', julia set' of varianten er van.









 

 

 

 

 

 

 

naar startpagina
naar sitemap

complexe getallen 
fractalen 
dynamische groei

optelling
vermenigvuldiging
f(x)=z2
f(x)=z2+ c
Mandelbrot-verzameling 
tweede kleinere bol
primaire bollen 
Mandelbrot-plotter
Julia-plotter
inzoomen

oef. complexe getallen