product van complexe getallen wiskunde-interactief.be

product van complexe getallen
Ook het product rekenen we uit zoals het product van reŽle getallen:
(a + bi) . (c + di)   = ac + adi +bci + bdi≤   
      met i≤ = -1 vinden we:
                              = (ac - bd) + (ad + bc)i


  (a + bi) . (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i           
 

 
Rekenkundig klopt dit wel, maar op het applet is het verband tussen de coordinaten niet duidelijk.
Er is wel een eenvoudig verband tussen de moduli en de argumenten
- de
modulus van het product = product van de moduli
- het
argument van het product = som van de argumenten

Algemeen:


  r
1
. (cos θ1 + i. sin θ1 ) . r2. (cos θ2 + i. sin θ2 ) = r1. r2 [cos (θ1 + θ2)+ i. sin (θ1 + θ2) ]           
 

De geldigheid van deze formule kunnen we bewijzen met de somformules uit de goniometrie.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

quotiŽnt van complexe getallen

  Om quotiŽnten als (a + bi) : (c + di) gebruiken we een rekentrucje:
Vermits i≤ = -1  krijgen we het imaginaire deel in de noemer weg door teller en noemer van de breuk
te vermenigvuldigen met het zogenaamde toegevoegde complexe getal.
Voor een getal (c + di) is dit (c - di).
Bij vermenigvuldiging krijgen we (c + di) . (c - di) = (c)≤ - (di)≤ = c≤ +d≤
 
3 + 1i    =      (3 + 1i).(-1 - 2i)      =    -3 - 6i - i - 2i≤    =    -3 + 2 - 6i -i    =     -1     -    7    i
-1 + 2i (-1 + 2i) . (-1 - 2i)       (-1)≤ - 4i≤       1 + 4   5    5  

Analoog als voor het product vinden we ook voor het quotiŽnt een eenvoudige goniometrische schrijfwijze:

 
   r1. (cos θ1 + i. sin θ1 )   =    r1     . [cos (θ1 - θ2)+ i. sin (θ1 - θ2) ]      
   r2. (cos θ2 + i. sin θ2 ) r2

   - de modulus van het quotient = quotient van de moduli
   - het argument van het quotient = verschil van de argumenten
 

De geldigheid van deze formule kunnen we ook bewijzen met de verschilformules uit de goniometrie.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

naar startpagina
naar sitemap

nieuwe definitie
coŲrdinaten
som
goniometrische vorm
product
quotiŽnt

oef. complexe getallen