coördinaten

complexe getallen wiskunde-interactief.be

product van complexe getallen
Ook het product rekenen we uit zoals het product van reële getallen:
(a + bi) . (c + di) = ac + adi +bci + bdi² met i² = -1 vinden we:
= (ac - bd) + (ad + bc)i

(a + bi) . (c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i

This is a Java Applet created using GeoGebra from www.geogebra.org - it looks like you don't have Java installed, please go to www.java.com
Rekenkundig klopt dit wel, maar op het applet is het verband tussen de coordinaten niet duidelijk.
Er is wel een eenvoudig verband tussen de moduli en de argumenten
- de modulus van het product = product van de moduli
- het argument van het product = som van de argumenten

Algemeen:

r₁. (cos θ₁ + i. sin θ₁ ) . r₂. (cos θ₂ + i. sin θ₂ ) = r₁. r₂[cos (θ₁ + θ₂)+ i. sin (θ₁ + θ₂) ]

De geldigheid van deze formule kunnen we bewijzen met de somformules uit de goniometrie.

quotiënt van complexe getallen

Om quotiënten als (a + bi) : (c + di) gebruiken we een rekentrucje:
Vermits i² = -1 krijgen we het imaginaire deel in de noemer weg door teller en noemer van de breuk
te vermenigvuldigen met het zogenaamde toegevoegde complexe getal.
Voor een getal (c + di) is dit (c - di).
Bij vermenigvuldiging krijgen we (c + di) . (c - di) = (c)² - (di)² = c² +d²

3 + 1i	=	(3 + 1i).(-1 - 2i)	=	-3 - 6i - i - 2i²	=	-3 + 2 - 6i -i	=	-1	-	7	i
-1 + 2i	=	(-1 + 2i) . (-1 - 2i)	=	(-1)² - 4i²	=	1 + 4	=	5		5

Analoog als voor het product vinden we ook voor het quotiënt een eenvoudige goniometrische schrijfwijze:

r₁. (cos θ₁ + i. sin θ₁ )	=	r₁	. [cos (θ₁ - θ₂)+ i. sin (θ₁ - θ₂) ]
r₂. (cos θ₂ + i. sin θ₂ )		r₂

- de modulus van het product = product van de moduli
- het argument van het product = som van de argumenten

De geldigheid van deze formule kunnen we ook bewijzen met de verschilformules uit de goniometrie.

naar startpagina
naar sitemap

nieuwe definitie
coördinaten
som
goniometrische vorm
product
quotiënt

oef. complexe getallen