n-demachtswortels uit -1 wiskunde-interactief.be

Het kwadraat van een negatief getal levert een positief getal op.
De vergelijking x2 = -1 heeft dus geen oplossingen... tenzij men naast de reële getallen nieuwe getallen uitvindt.
In de 16e eeuw waren wiskundigen dichtbij de stap om deze nieuwe getallen toe te laten, maar er was nog veel
scepsis. Gaan we dan b.v. voor x4 = -1 nog een nieuw soort getal uitvinden en houdt het dan ooit op.
In de 17e eeuw groeide de overtuiging dat er slechts een nieuw getal nodig was.
Zo ontstond het getal i dat gedefinieerd werd als het getal waarvan het kwadraat gelijk was aan -1.
Omdat men zich dit getal niet kon voorstellen, noemde men dit getal 'het imaginair getal i'.

Over complexe getallen leerde je intussen:
- Je kunt complexe getallen voorstellen in een assenstelsel met een reële en een imaginaire as.
- Naast cartesische coordinaten, kan je complexe getallen ook benoemen met een modulus en een argument.
- om complexe getallen te vermenigvuldigen, vermenigvuldig je de moduli en tel je de argumenten op.

Deze kennis gebruiken we om vergelijkingen van het type xn = -1 op te lossen.

x4 = -1
Als x4 = -1, dan moet x2 gelijk zijn aan i of -i.
Vanuit die gelijkheid kan je de vergelijking algebraisch oplossen.
 

Je kunt het probleem ook meetkundig bekijken.
x4 = -1 kan je schrijven als x . x . x . x = -1.
Complexe getallen vermenigvuldig je door hun moduli te vermenigvuldigen en hun argumenten op te tellen.
-1 schrijf je als het complexe getal -1 + o i en ligt op een eenheidscirkel met als modulus 1 en argument 180°.

We zoeken een complex getal zo dat de 4e macht van zijn modulus gelijk is aan 1.
Dat kan enkel als ook die modulus 1 is. Het getal x ligt dus ook op de eenheidscirkel.

We zoeken een complex getal met een argument zo dat 4x zijn argument gelijk is aan -1.
Zo kom je uit op een hoek van 45°, waarvan we de cosinus en sinus kennen..
 
We controleren in een applet zowel meetkundig als algebraisch of dat klopt.

 

Maar dit getal is niet de enige oplossing van de vergelijking.
4 . 45° = 180°, maar een punt op een goniometrische cirkel is niet uniek bepaald.
Het punt (-1, 0) komt meer algemeen overeen met een hoek van 180° + n. 360° (met n een natuurlijk getal).
Dus omgekeerd zouden we oplossingen moeten vinden voor volgende hoeken:

  180°
  540° = 180° + 360°
  900° = 180° + 2 . 360°
1260° = 180° + 3 . 360°    
  180° : 4 =   45°
  540° : 4 = 135°
  900° : 4 = 225°
1260° : 4 = 315°

Merk op dat de vier complexe wortels de hoekpunten vormen van een vierkant.




x3 = -1

Elk reeel getal heeft 1 reele oneven wortel.
In dit geval is het duidelijk dat x = -1 een oplossing is van de vergelijking.
Maar zijn er ook geen extra complexe oplossingen?
We proberen weer de meetkundige oplossing uit.
Een hoek gelijk aan 180° : 3 = 60° zou dan kunnen dienen als argument.
We kennen cosinus en sinus van 60° en kunnen dus berekenen of de oplossing klopt.
En analoog bekijken we welke andere hoeken voldoen.

  180°
  540° = 180° + 360°
  900° = 180° + 2 . 360°  
  180° : 3 =   60°
  540° : 3 = 180°
  900° : 3 = 300°

De drie complexe wortels vormen nu de hoekpunten vormen van een gelijkzijdige driehoek.




 

 

 

x6 = -1

Benaderen we het probleem meetkundig, dan kan een hoek gelijk aan 180° : 6 = 30° dienen als argument.
We kennen cosinus en sinus van 30°, dus we kunnen weer berekenen of de oplossing klopt.
Daarna bekijken we of ook volgende hoeken voldoen

  180°
  540° = 180° + 360°
  900° = 180° + 2 . 360°
1260° = 180° + 3 . 360°  
1620° = 180° + 4 . 360° 
1980° = 180° + 5 . 360°   
  180° : 6 =   30°
  540° : 6 =   90°
  900° : 6 = 150°
1260° : 6 = 210°
1620° : 6 = 270°
1980° : 6 = 330°

Je verwachtte het vermoedelijk al: de zes complexe wortels vormen de hoekpunten van een regelmatige zeshhoek.

 

 

x5 = -1

Net zoals x3 = -1 heeft ook deze vergelijking -1 als enige reele wortel, maar daar laten we het natuurlijk niet bij.
We vermoeden dat er ook dit keer extra complexe wortels zullen verschijnen.
180° : 5 = 36°.
Het is een hoek waarvan we niet zomaar cosinus of sinus van kennen, maar hoeft geen probleem te zijn.
We hebben intussen voldoende bagage om de vergelijking meetkundig op te lossen.

  180°
  540° = 180° + 360°
  900° = 180° + 2 . 360°
1260° = 180° + 3 . 360°  
1620° = 180° + 4 . 360°    
  180° : 5 =   36°
  540° : 5 = 108°
  900° : 5 = span class="style3">1180°
1260° : 5 = 252°
1620° : 5 = 324°

 

 


 

algemeen
vergelijkingen van de vorm xn = -1 (met n een natuurlijk getal)
- hebben steeds 1 reele wortel als n oneven is en geen reele wortel als n even is,
- hebben steeds n wortels, als we ook de complexe wortels meerekenen.
- Deze wortels vormen de hoekpunten van een regelmatige n-hoek in het complexe vlak.
- Het complexe getal met modulus 1 en argument 180° : n is steeds een wortel.
- De argumenten van andere wortels vind je als 180°/n + (360°/n) . k (met k van 1 tot n-1).
- Je kunt de complexe wortels noteren als cos (argument) + sin (argument) i.

Honderden jaren worstelde de wiskunde met het oplossen van vergelijkingen.
Het loslaten van de meetkunde losgelaten en het abstract gaan denken had tot nieuwe inzichten geleid.
Maar de meetkundige link tussen meetkunde en de klasse van complexe getallen leiden in de 19e eeuw tot
nieuwe inzichten. Elke vergelijking blijkt gekoppeld aan een bepaald symmetrisch object.
Zo kon men eindelijk bewijzen dat er geen formule mogelijk was die elke vijfdegraadsvergelijking oplost.
Het bestuderen van symmetrie opende een totaal nieuwe piste in het bestuderen van vergelijkingen.

 

 

 

 

 

naar startpagina/span>
naar sitemap

x4 = -1
x3 = -1
x6 = -1
x5 = -1
algemeen

oef. complexe getallen