thales

gelijkvormigheid en stelling van Thales

stap = 0
DABD en DCBF zijn gelijkvormig:
De hoeken in a en c zijn gelijk
(= verwisselende binnenhoeken).
Hieruit:

\| AB \|	=	\| BD \|
\| CB \|	=	\| BF \|

stap = 1
we verschuiven de rechte DF

Drie evenwijdige rechten snijden de rechten AC en DF.
Uit de stelling van Thales volgen drie evenredigheden:

stap = 1:	\| AB \|	=	\| DE \|
	\| BC \|		\| EF \|

stap = 2:	\| AB \|	=	\| DE \|
	\| AC \|		\| DF \|

stap = 3:	\| AC \|	=	\| DF \|
	\| BC \|		\| EF \|

in het applet kan je het punt C verslepen

H is de hoogtelijn op de schuine zijde van een driehoek DABC.
Sleep de knop 'splits driehoek' naar rechts:
We splitsen de driehoek in 2 gelijkvormige driehoeken.
Voor de blauwe en groene zijden hierin vinden we:

a '	=	H
H	=	b '

Hieruit volgt: H² = a' . b'

de hoogte op de schuine zijde is middelevenredig tussen de
lengten van de lijnstukken waarin ze de schuine zijde verdeelt.
of nog:

H² = a' . b'
(het kwadraat van de hoogte op de schuine zijde
= het product van de stukken waarin ze de schuine zijde verdeelt)

in het applet kan je het punt C verslepen

In de driehoek DABC is a' de loodrechte projectie van
de rechthoekszijde a op de schuine zijde.
Sleep de knop 'splits driehoek' naar rechts:
Onder de driehoek DABC krijgen we een gelijkvormige driehoek.
Voor de blauwe en rode zijden hierin vinden we:

a '	=	a
a	=	c

Hieruit volgt: a² = a' . c

een rechthoekszijde is middelevenredig tussen de lengte van
haar projectie op de schuine zijde en de schuine zijde
of nog:

a² = a' . c
(het kwadraat van een rechthoekszijde
= het product van haar projectie op de schuine zijde en de schuine zijde)

in het applet kan je de punten A en C verslepen

De punten M en N verdelen de zijden [AB] en [AC] in de helft.
Het lijnstuk [MN] noemen we middenparallel van DABC.

We mogen A en C verslepen, steeds vinden we:
MN // BC en |MN| = 1/2 . |BC|

een middenparallel is evenwijdig met een zijde
en gelijk aan de helft van deze zijde

rotatie
We kunnen deze eigenschap illustreren door bovenaan van de driehoek DABC een stukje weg te knippen en het,
door het te roteren, opzij terug aan de driehoek aan te plakken:

De driehoek DABC wordt nu het parallellogram BMM'C:
Overstaande zijden van een parallellogram lopen evenwijdig, dus: [MN] // [BC]
Overstaande zijden zijn ook gelijk, dus |MM'| = |BC|.
Het lijnstuk [MN] is de helft is van de zijde [MM'] en dus: |MN| = 1/2 |BC| .

stap = 2: Bij een verschuiving blijven de lengtes gelijk, zodat:	\| AB \|	=	\| D ' E \|
	\| BC \|		\| E F ' \|