kegelsneden wiskunde-interactief.be

kegelsneden
Een vlak snijdt een kegel. Hoe de doorsnede er uitziet kan je in volgend applet uitproberen.
Je kunt het vlak verschuiven en draaien naar alle kanten.
Je kunt ook een tweede kegel tonen die omgekeerd op de eerste geplaatst is.
Probeer als doorsnede volgende resultaten te vinden:
- een cirkel
- een ellips
- een parabool
- een hyperbool
- een punt
- een rechte


 

 

 

 

de cirkel
De cirkel is de meetkundige plaats van alle punten die op eenzelfde afstand liggen van een gegeven punt.

Uit de voorwaarde van de meetkundige plaats leiden we de vergelijking van een cirkel af.

Voor de afstand r tussen twee punten P(x1, y1) en Q(x2, y2) vinden we:
(x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 = r2

Voor een punt P(x, y) op een gegeven afstand van de oorsprong (0, 0) wordt dit:
(x - 0)2 + (y - 0)2 = r2    
of nog: De vergelijking van een cirkel met als middelpunt de oorsprong en als straal r wordt:


x2 + y2 = r2

 

 

 

 

parabool
Een parabool is de meetkundige plaats van de punten met volgende eigenschap:


  De afstanden tot een gegeven punt F (het
brandpunt) zijn gelijk aan      
  de afstand tot een gegeven lijn l (de
richtlijn).   
 

Versleep de schuifknop en bepaal de baan van de punten P1 en P2 op de parabool.
Verslep nu ook het punt F en ga na hoe de ligging van F de vorm van de parabool bepaalt.

 

 

 

 


ellips
Een ellips is de meetkundige plaats van de punten met volgende eigenschap:


  De som van de afstanden tot twee vaste punten F1 en F2 (de
brandpunten) is constant.   
 

Vergelijking van een ellips
We passen de omschrijving van de meetkundige plaats toe op onderstaande tekening.

De afstand tussen gegeven punten F1 en F2 = 2c
De som van de afstanden van een punt P(x,y) op de ellips tot de punten F1  en F2 = 2a..

Voor een willekeurig punt P op de ellips vinden we met de hulp van Pythagoras:



de afstand tussen de punten P en F1 =
de afstand tussen de punten P en F2 =

De som van beide afstanden moet gelijk zijn aan 2a, zodat:

 

Door kwadrateren en herschikken van termen kunnen we deze voorwaarde omvormen.
Als algemene vergelijking van een ellips vinden we zo:

 
     x + y =1
  a b

    a vinden we terug als de afstand die op de x-as wordt afgesneden.
    b vinden we terug als de afstand die op de y-as wordt afgesneden.    
    c is de halve afstand tussen de brandpunten en voldoet aan de vergelijking c = a - b     
 

Een ellips met samenvallende brandpunten wordt een cirkel.
Die verkrijgen we door op de  x-as en de y-as gelijke afstanden af te snijden.
(a = b = de straal r van de cirkel).
Voor de vergelijking van de cirkel betekent dat:

x + y =1
r r

x + y = r

En deze vergelijking herken je natuurlijk als de vergelijking van een cirkel met de oorsprong als middelpunt.

Ellipspasser:
De Nederlandse wiskundige Frans van Schooten ontwierp in de 17e eeuw een ellipspasser. 
In een vierkante grondplaat worden haaks op elkaar twee kruisende sleuven gemaakt.
In de twee sleuven ligt een glijdend klosje. Op de klosjes wordt een lat bevestigd, die de klosjes verbindt.
Aan het eind van de lat is een potlood bevestigt waarmee de ellips getekend wordt.

 

 

 

 

 

 

 

hyperbool
Een hyperbool is de meetkundige plaats van de punten met volgende eigenschap:


  Het verschil van de afstanden tot twee vaste punten F1 en F2 (de
brandpunten) is constant.   
 

Vergelijking van een hyperbool
We passen de omschrijving van de meetkundige plaats toe op onderstaande tekening.

De afstand tussen gegeven punten F1 en F2 = 2c
Het verschil van de afstanden van een punt P(x,y) op de hyperbool tot de punten F1  en F2 = 2a..

Voor een willekeurig punt P op de hyperbool vinden we met de hulp van Pythagoras:

 

de afstand tussen de punten P en F1 =
de afstand tussen de punten P en F2 =

Het verschil van beide afstanden moet gelijk zijn aan 2a, zodat:

- = 2a

Verder uitwerken van deze voorwaarde levert volgende algemene vergelijking op:

 
     x -   y =1
  a b

    a vinden we terug als de afstand die de twee takken op de x-as afsnijden.    
    c is de halve afstand tussen de brandpunten en voldoet aan de vergelijking c = a + b     
 

 

 

 

 

 

algemene vergelijking van een kegelsnede

wanneer we een dubbele kegel snijden door een vlak
verschijnen parabolen, ellipsen en hyperbolen.
We noemen ze daarom kegelsneden.

Wanneer het snijdend vlak door de top van de kegel gaat,
is het resultaat een punt of 2 snijdende rechten.
We spreken dan van ontaarde kegelsneden.


De verschillende types van kegelsneden kunnen we in n algemene vergelijking schrijven.
In een cartesiaans assenstelstel is een kegelsnede altijd van de vorm

ax + h xy + b y + 2g x + 2f y + c = 0, een kwadratische vergelijking in twee variabelen x en y.

als h2 = ab, stelt de vergelijking een parabool voor;
als h2 < ab, stelt de vergelijking een ellips voor;
als h2 > ab, stelt de vergelijking een hyperbool voor;
als a = b en h = 0, stelt de vergelijking een cirkel voor;
als a + b = 0, stelt het een rechthoekige hyperbool voor.

als b =f = 0, dan ontaardt de kegelsnede in twee snijdende rechten,
als c =0, dan ontaardt de kegelsnede in een punt
.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

naar startpagina
naar sitemap

kegelsneden
de cirkel
parabool
ellips
vergelijking van ellips
hyperbool
vergelijking van hyperbool
algemene vergelijking 

oefeningen