vectoren wiskunde-interactief.be


georiŰnteerd lijnstuk
Een georiŰnteerd lijnstuk is een lijnstuk met een beginpunt A en een eindpunt B.
Dergelijke lijnstukken noemen we vectoren.
Vectoren worden veel gebruikt in het rekenen met krachten en bewegingen.

GeoriŰnteerde lijnstukken met eenzelfde lengte, richting en zin bepalen dezelfde vector.
We kunnen een vector ook aanduiden met een kleine letter:

opmerking: de vector  = noemen we de nulvector.
 

 

 

som van vectoren
Het optellen van vectoren doen we grafisch als volgt:
geval 1: het eindpunt van de eerste vector is het beginpunt van de tweede vector:
De somvector heeft als:
beginpunt = het beginpunt van de eerste vector
eindpunt = het eindpunt van de tweede vector


geval 2: de twee vectoren hebben eenzelfde beginpunt:
We tekenen een parallellogram met de twee vectoren als zijde.
De som vinden we als de diagonaal van dit parallellogram.


geval 3: de ligging van de twee vectoren is willekeurig:
Een van de twee vectoren verschuiven we,
zodat de twee vectoren hetzelfde beginpunt hebben.
Met een parallellogram vinden we de somvector.

 

veelvoud van vectoren
Het product van een vector met een reŰel getal r is een vector r . met
- dezelfde richting als 
- dezelfde zin als     als r >0  en tegengestelde zin als r < 0
- als lengte = | r | . de lengte van

opm: voor r = 0 vinden we 0. =
r . =

 

 

 

 

puntvectoren
Met een punt O als oorsprong, bepaalt elk punt P een vector.
De vector  noemen we een puntvector.

 

 

 

 

co÷rdinaten van een puntvector
In een orthogonaal assenstelsel
- staan de assen loodrecht op elkaar
- zijn de eenheden op de assen gelijk aan de lengte-eenheid

en noemen we de eenheidsvectoren.
Elke willekeurige vector kunnen we schrijven als de som van veelvouden van deze eenheidsvectoren:

 →              →            →
OP = x1 . Ex + y1 . Ey

  x1 en y1 vormen de co÷rdinaat van de vector.    

       →            
co( P ) = ( x1 , y1 )
 



co÷rdinaten van een som van vectoren
Bekijk de co÷rdinaten van de drie vectoren in het applet.
Het verband is niet moeilijk te vinden.

→                     →                         →
C = (xA + xB) Ex + (yA + yB)  . Ey

 De co÷rdinaat van de som van vectoren = de som van de co÷rdinaten van de vectoren.     

       →    →             →             →
co( A + B ) = co( A ) + co( B )
 

 

 

co÷rdinaten van een vector
De vector kunnen we schrijven als het verschil van twee puntvectoren.
Bekijk de co÷rdinaten van de drie vectoren in het applet.
Het verband is niet moeilijk te vinden.

→                     →                         →
C = (xB - xA) Ex + (yB - yA)  . Ey

 De co÷rdinaat van een vector = het verschil van de co÷rdinaten van eind- en beginpunt.         

       →              →    →             →            →
co( AB) = co( A - B ) = co( B ) - co( A )
 

 

 

 

norm van een vector
De lengte van noteren we als |||| .
Deze is gelijk aan |AB|  (=de lengte van het lijnstuk AB).
De lengte van een vector noemen we de norm van een vector:


 

 

 

scalair product van vectoren
Het scalair product van twee vectoren wordt gedefinieerd als:
het product van de normen van de twee vectoren en de cosinus van de hoek tussen beide vectoren

→   →      →  →                                                                     →     →
A . B  = A . B  . cos ( α )        met α  = de hoek tussen A en B

 Met behulp van de formules uit de driehoeksmeting vinden we ook als eenvoudige formule:    

→  →    
A . B  = xA . xB + yA . yB

 opmerking:
 Om 2 willekeurige vectoren scalair te vermenigvuldigen verschuiven we ze eerst tot puntvectoren.   
 

 

 

loodrechte stand van vectoren
Verschuif de eindpunten van de twee vectoren zo dat de vectoren loodrecht op elkaar staan.

We zien: het scalair product van 2 loodrechte vectoren is steeds = 0.
Dit is ook logisch, want cos (90o) = 0

 

 

naar startpagina
naar sitemap

georiŰnteerd lijnstuk
som van vectoren
veelvoud van vectoren
puntvectoren
co÷rdinaten van puntvector
co÷rdinaat van som
co÷rdinaat van vector
norm van vector
scalair product vectoren
loodrechte stand

oefeningen