GeoGebra Dynamisch werkblad

ge?ienteerd lijnstuk
Een geori?teerd lijnstuk

is een lijnstuk met een beginpunt A en een eindpunt B.
Dergelijke lijnstukken noemen we vectoren.
Vectoren worden veel gebruikt in het rekenen met krachten en bewegingen.

Geori?teerde lijnstukken met eenzelfde lengte, richting en zin bepalen dezelfde vector.
We kunnen een vector ook aanduiden met een kleine letter:

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
opmerking: de vector

noemen we de nulvector.

som van vectoren
Het optellen van vectoren doen we grafisch als volgt:
- geval 1: het eindpunt van de eerste vector is het beginpunt van de tweede vector:
De somvector heeft als:
beginpunt = het beginpunt van de eerste vector
eindpunt = het eindpunt van de tweede vector
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

- geval 2: de twee vectoren hebben eenzelfde beginpunt:
We tekenen een parallellogram met de twee vectoren als zijde.
De som vinden we als de diagonaal van dit parallellogram.
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

- geval 3: de ligging van de twee vectoren is willekeurig:
Een van de twee vectoren verschuiven we,
zodat de twee vectoren hetzelfde beginpunt hebben.
Met een parallellogram vinden we de somvector.
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

veelvoud van vectoren
Het product van een vector

met een re?l getal r is een vector r .

met
- dezelfde richting als

- dezelfde zin als

als r >0 en tegengestelde zin als r < 0
- als lengte = | r | . de lengte van

opm:
voor r = 0 vinden we 0.

r .

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

puntvectoren
Met een punt O als oorsprong, bepaalt elk punt P een vector.
De vector

noemen we een puntvector.

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

co?rdinaten van een puntvector
In een orthogonaal assenstelsel
- staan de assen loodrecht op elkaar
- zijn de eenheden op de assen gelijk aan de lengte-eenheid
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

noemen we de eenheidsfactoren.
Elke willekeurige vector

kunnen we schrijven als de som van veelvouden van deze eenheidsfactoren:

→ → →

OP = x₁. E_x + x₂ . E_y

x₁en x₂ vormen de co?dinaat van de vector

→

co( P ) = ( x₁, x₂ )

co?rdinaten van een som van vectoren
Bekijk de co?dinaten van de drie vectoren in het applet.
Het verband is niet moeilijk te vinden.
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

→ → →

C = (x_A+ x_B) E_x + (y_A+ y_B) . E_y

de co?dinaat van de som van vectoren = de som van de co?dinaten van de vectoren

→ → → →

co( A + B ) = co( A ) + co( B )

co?rdinaten van een vector
De vector

kunnen we schrijven als het verschil van twee puntvectoren.
Bekijk de co?dinaten van de drie vectoren in het applet.
Het verband is niet moeilijk te vinden.
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

→ → →

C = (x_B- x_A) E_x + (y_B- y_A) . E_y

de co?dinaat van een vector = het verschil van de co?dinaten van eind- en beginpunt

→ → → → →

co( AB) = co( A - B ) = co( B ) - co( A )

norm van een vector
De lengte van

noteren we als ||

|| .
Deze is gelijk aan |AB| (=de lengte van het lijnstuk AB).
De lengte van een vector noemen we de norm van een vector:

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

scalair product van vectoren
Het scalair product van twee vectoren wordt gedefinieerd als:
het product van de normen van de twee vectoren en de cosinus van de hoek tussen beide vectoren
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

→ → → → → →

A . B = A . B . cos ( α ) met α = de hoek tussen A en B

met behulp van de formules uit de driehoeksmeting vinden we ook als eenvoudige formule:

→ →

A . B = x_A . x_B + y_A. y_B

opmerking:
om 2 willekeurige vectoren scalair te vermenigvuldigen verschuiven we ze eerst tot puntvectoren

loodrechte stand van vectoren
Verschuif de eindpunten van de twee vectoren zo dat de vectoren loodrecht op elkaar staan.
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
We zien: het scalair product van 2 loodrechte vectoren is steeds = 0.
Dit is ook logisch, want cos (90?) = 0