loodrechte stand wiskunde-interactief.be

criterium loodrechte stand
De cosinus van een hoek van 90 is gelijk aan 0.
Twee vectoren, verschillend van 0, staan dus loodrecht op elkaar als hun scalair product gelijk is aan 0.

normaalvector van een vlak
Een normaalvector van een vlak is een vector die loodrecht staat op dat vlak.
Het vlak α door het punt (2, 2, 3) en met als stel richtingsgetallen (3, 2, 1) en (1, -2, 1)
heeft als vergelijking α ↔  4x - 2y - 8z + 20 = 0
Dat wil zeggen dat we de coordinaten van een willekeurig punt P (x, y, z) mogen invullen in deze vergelijking.

Het vlak α is evenwijdig met het vlak α0 met als vergelijking 4x - 2y - 8z= 0  
Dit vlak loopt door de door de oorsprong want 4 . 0 - 2 . 0 - 8 . 0 = 0

De uitdrukking '4x - 2y - 8z' kan je ook lezen als de scalaire vermenigvuldiging van de puntvector
(x , y, z) van het vlak en de puntvector (4, -2, -8).
4x - 2y - 8z= 0 betekent dan niet meer of minder dan dat deze vectoren loodrecht staan op elkaar.
De vector n:(4, -2, -8) is dus een normaalvector van het vlak α0 en dus ook van α.
Vermits ook k . (4, -2, -8) eenzelfde richting bepaalt, is het eenvoudig een normaalvector van een vlak te bepalen.
In het zwart zie je dat ook de vector a:(-2, 1, 4) een normaalvector is van het vlak.

   
   Een vector   
   
  n

 = k . ( u, v, w ) is steeds een normaalvector van het vlak ux + vy +wz + t = 0      
  




loodrechte stand van twee rechten
Door een punt P (4, 4, 1) loopt
- een rechte met als richtingsgetallen (2, -3, 2)
- een rechte met als richtingsgetallen (1, 2, 2)
Beide rechten staan loodrecht op elkaar.
Wanneer je beide richtingsvectoren scalair met elkaar vermenigvuldigt, krijg je:

2 . 1 + (-3) . 2 + 2 . 2 = 0
Het scalair product van beide richtingsvectoren is gelijk aan 0.


   Met als richtingsgetallen
   (a1, b1, c1)   en (a2, b2, c2)  
 wordt de voorwaarde:                         

   De twee rechten door P staan loodrecht op elkaar als a1 . a2 + b1 . b2 + c1 . c2  = 0            
   





loodrechte stand van een rechte en een vlak
Een vlak α heeft als vergelijking α↔ x - y + 2z - 3 = 0 .
We weten dat de richtingsgetallen k . (1, -1, 2) een normaalvector definieren op dit vlak.
Een rechte met deze richtingsgetallen staat dus loodrecht op het vlak.

De rechte door P(4, 4, 1) met als richtingsgetallen (2, -2, 4) staat dus loodrecht op het vlak α.

want:           2  =   -2  =   4
          1 -1 2


                                                      →
   Een rechte met richtingsvector R (a, b, c) en een rechte met vergelijking ux + vy + wz + t = 0      
  staan loodrecht op elkaar als:
          a   =   b   =   c
          u v w       waarbij u, v en w verschillen van 0. 





loodrechte stand van twee vlakken
De vlakken α en β staan loodrecht op elkaar.
α ↔ 2x - 3y + 2z = 15
β ↔ x + 2y + 2z = -4

Dit is logisch want het product van hun normaalvectoren is 0.
2 . 2 + (-3). 2 + 2 . 2 =0
En als de nomaalvectoren van twee vlakken loodrecht staan, staan ook de vlakken loodrecht.


  Twee vlakken u1x + v1y +w1z + t1 = 0   en  
u2x + v2y +w2z + t2 = 0  staan loodrecht op elkaar als      
   
u1. u2 + v1 . v2 + w1 . w2 = 0
  


















 

naar startpagina
naar sitemap
scalair product
afstand
hoeken

norm van een vector
scalair product
meetkundige betekenis
loodrechte stand

oefeningen