goniometrische getallen wiskunde-interactief.be                                                          

zijden in een rechthoekige driehoek







goniometrische getallen in een rechthoekige driehoek
In een rechthoekige driehoek definiŰren we sinus, cosinus en tangens
als het quotiŰnt van lengtes van de zijden van deze driehoek:

 
  In een rechthoekige driehoek definiŰren we
  de goniometrische getallen van een scherpe hoek als volgt:   
 
sinus = lengte van de overstaande rechthoekszijde
lengte van de schuine zijde
 
cosinus = lengte van de aanliggende rechthoekszijde
lengte van de schuine zijde
 
tangens = lengte van de overstaande rechthoekszijde
lengte van de aanliggende rechthoekszijde
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

goniometrische cirkel
We stellen georiŰnteerde hoeken voor in een goniometrische cirkel.
Het assenstelsel verdeelt de cirkel in vier kwadranten.

- het middelpunt is
- de
straal =   
-
tegenuurwijzerzin is   
 
        
         
 

Op de cirkel lezen we 360o af op dezelfde plaats als

 

sin(α) lezen we af als de van P op de goniometrische cirkel  .
cos(α) lezen we af als de
van P op de goniometrische cirkel .
cos(α) en sin(α) zijn nooit kleiner dan
 en nooit groter dan

    ≤ cos α ≤
≤ sin α  ≤
 
Ook de tangens kunnen we aflezen:Verleng het lijnstuk [OP] tot de verticale vanuit het punt (1,0).
De y-co÷rdinaat van dit snijpunt is de waarde van de tangens van de hoek die overeenkomt met het beeldpunt P.
Want: in de 2 gelijkvormige driehoeken kunnen we schrijven:
tan(α)  =    sin(α)
1 cos(α)

Maak de hoek α gelijk aan 90o en lees de tangens af: tangens 90o blijkt niet gedefinieerd...
Logisch natuurlijk, want cos 90o = 0  en wie deelt door 0 ...

 

 

 

enkele hoeken in een tabel

 

 

 

 

 

 

 

 

basisformule
In de goniometrische cirkel vormt OAP een rechthoekige driehoek.
Voor de rechthoekszijden vinden we 
|OA| = cos (α) en  |AP| = sin (α)
De schuine zijde komt overeen met de straal van de cirkel:
|OP| = 1
Volgens de stelling van Pythagoras krijgen we: |OA|2 + |AP|2 = |OP|2
Met de goniometrische getallen wordt dit: cos2 (α) sin2 (α) = 1
We noemen dit de basisformule van de goniometrie.
 

 

 

 

 

overzicht


Definitie van goniometrische getallen:
In een rechthoekige driehoek definiŰren we de volgende goniometrische getallen van een scherpe hoek:
- sinus = lengte van de overstaande rechthoekszijde / lengte van de schuine zijde
- cosinus = lengte van de aanliggende rechthoekszijde / lengte van de schuine zijde
- tangens = lengte van de overstaande rechthoekszijde / lengte van de aanliggende rechthoekszijde
 

Goniometrische cirkel:
Een goniometrische cirkel is een cirkel met:
- middelpunt de oorsprong (0,0)
- straal = 1
Tegenuurwijzerzin is positief.

Een volledige cirkelomtrek komt overeen met 360o of  2π  radialen
Het beeldpunt P van een hoek A komt ook overeen met het beeldpunt van A+ k . 360o (met k een geheel getal).     
 


Goniometrische getallen in een goniometrische cirkel:
- sinus = y-co÷rdinaat van het overeenkomstige beeldpunt op de goniometrische cirkel
- cosinus = x-co÷rdinaat van het overeenkomstige beeldpunt op de goniometrische cirkel
- tangens : verleng het lijnstuk oorsprong - beeldpunt op de cirkel tot aan de verticale vanuit het punt (1,0).
  Op deze verticale lees je nu de waarde van de tangens af als de y-co÷rdinaat van dit snijpunt.

Tangens is niet bepaald als de cosinus 0 wordt (zoals 90o en 270o).
 


Basisformule:

 cos2  α +  sin2  α  = 1
 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

naar startpagina
naar sitemap
som-en verschilformules

rechthoekige driehoek 
gon. getallen

goniometrische cirkel 
enkele hoeken in tabel

basisformule
overzicht 

oefeningen