som- en verschilformules wiskunde-interactief.be

cos(α - β )
Op een goniometrische cirkel bepalen de punten P en Q de hoeken α en β.
We kunnen de lengte van het lijnstuk |PQ| berekenen
- links: met de cosinusregel als de zijde van een willekeurige driehoek
- rechts: met de afstandsformule, want we kennen de co÷rdinaten van P en Q.
|PQ|▓ = |OP|▓  + |OQ|▓ - 2 |OP|. |OQ| . cos(α - β )
de straal van een goniometrische cirkel = 1, dus
|PQ|▓ =    1     +     1    - 2 .  1  .   1    . cos(α - β )

|PQ|▓ =    2   - 2 . cos(α - β )
|PQ|▓ = (cos α - cos β )▓  + (sin α - sin β )▓
|PQ|▓ = cos▓ α - 2.cos α. cos β + cos▓ β 
          + sin▓ α - 2.sin α. sin β + sin▓
β
we herschikken de termen:
|PQ|▓ =
cos▓ α + sin▓ α + cos▓ β + sin▓ β
            - 2.cos α. cos β  - 2.sin α. sin β

we passen de formule toe: cos▓ α + sin▓ α= 1  
|PQ|▓ = 1 + 1 - 2.cos α. cos β  - 2.sin α. sin β
|PQ|▓ = 2 - 2.cos α. cos β  - 2.sin α. sin
β
|PQ|▓ = 2 - 2.(cos α. cos β + sin α. sin β)
wanneer we beide berekeningen aan elkaar gelijkstellen, krijgen we :
2 - 2 cos(α - β ) = 2 - 2.(cos α. cos β + sin α. sin β)
- 2 cos(α - β ) = - 2.(cos α. cos β + sin α. sin β)
cos(α - β ) = cos α. cos β + sin α. sin β
meteen hebben we een formule voor het verschil van twee hoeken


 cos(α - β ) = cos α. cos β + sin α. sin
β     
 

 

 

cos(α + β )
α + β = α - (
- β )
Hierop kunnen we de verschilformule voor cosinus toepassen:
cos(α - (-β) ) = cos α. cos (-β) + sin α. sin
(-β)
Tegengestelde hoeken hebben gelijke cosinus en tegengestelde sinus:
cos(α + β ) = cos α. cos β - sin α. sin β


 cos(α + β ) = cos α. cos β - sin α. sin
β     
 

 

sin(α + β )
We steunen op de eigenschap van complementaire hoeken: sin α = cos ( π/2 - α )
sin ( α + β
) = cos  ( π/2 -( α + β ) )
We werken nu de haakjes van het rechterlid uit:
sin ( α + β ) = cos  ( π/2 - α - β ) )
We mogen haakjes invoeren als volgt:
sin ( α + β ) = cos  ( (π/2 - α) - β ) )
Hierop kunnen we de verschilformule voor cosinus toepassen:

sin ( α + β
) = cos (π/2 - α) . cos (-β) + sin (π/2 - α) . sin (-β)
We steunen opnieuw op de eigenschap van complementaire hoeken: sin α = cos ( π/2 - α )
sin ( α + β ) = sin α. cos β + cos α. sin β


 sin(α + β ) = sin α. cos β + cos α. sin
β     
 

 

sin(α - β )
α - β = α + (
- β )
Hierop kunnen we de somformule voor sinus toepassen:
sin ( α + ( - β ) ) = sin α. cos (-β) + cos α. sin (-β)
tegengestelde hoeken hebben gelijke cosinus en tegengestelde sinus

sin ( α
) = sin α. cos β + cos α. (- sin β)
sin ( α
) = sin α. cos β - cos α. sin β


 sin(α - β ) = sin α. cos β - cos α. sin
β     
 

 

overzicht som- en verschilformules


 cos(α - β ) = cos α. cos β + sin α. sin
β
 cos(α + β ) = cos α. cos β - sin α. sin
β
 sin (α - β ) = sin α. cos β - cos α. sin
β  
 sin(α + β ) = sin α. cos β + cos α. sin β   
 

 

 

formules van Simpson

We kunnen in verschillende combinaties de som- en verschilformules
bij elkaar optellen of van elkaar aftrekken:
 

                      sin(α + β ) = sin α. cos β + cos α. sin β
                  +  sin(α - β ) = sin α. cos β - cos α. sin β
 sin(α + β ) + sin(α - β ) = sin α. cos β + cos α. sin β + sin α. cos β - cos α. sin β

zodat:
sin(α + β ) + sin(α - β ) = 2 . sin α. cos β

 

                      sin(α + β ) =    sin α. cos β + cos α. sin β
                  -   sin(α - β ) = - sin α. cos β + cos α. sin β
 sin(α + β ) -  sin(α - β ) = sin α. cos β + cos α. sin β - sin α. cos β + cos α. sin β

zodat:
sin(α + β ) - sin(α - β ) = 2 . cos α. sin β

 

                      cos(α + β ) = cos α. cos β - sin α. sin β
                  +   cos(α - β ) = cos α. cos β + sin α. sin β
 cos(α + β ) + cos(α - β ) = cos α. cos β - sin α. sin β + cos α. cos β + sin α. sin β

zodat:
cos(α + β ) + cos(α - β ) = 2 . cos α. cos β

 

                      cos(α + β ) =    cos α. cos β - sin α. sin β
                  -    cos(α - β ) = - cos α. cos β - sin α. sin β
 cos(α + β ) -  cos(α - β ) = cos α. cos β - sin α. sin β - cos α. cos β - sin α. sin β

zodat:
cos(α + β ) - cos(α - β ) = - 2 . sin α. sin β

We stellen nu α + β = x  en α - β = y.
Optellen en aftrekken van beide gelijkstellingen geeft als resultaat:

+  α + β = x
(α - β = y)
     -  α + β = x
(α - β = y)
   2α    = x + y                2β = x - y
     α    = x + y                  β = x - y
                 2                             2

De vier eerdere formules met α en β kunnen we nu schrijven met x en y:

overzicht Simpson

sin x +  sin y  = 2 sin x + y . cos x - y
  2   2
sin x  -  sin y  = 2 cos x + y .  sin x - y
  2   2
cos x + cos y = 2 cos x + y . cos x - y
  2   2
cos x - cos y = - 2 sin x + y .  sin x - y
  2   2

 

 

naar startpagina
naar sitemap
goniometrische getallen

cos(α - β )
cos(α + β )
sin(α + β )
sin(α - β )

overzicht som en verschil
formules van Simpson
overzicht Simpson