|
telproblemen-groeperingen wiskunde-interactief.be |
"Op hoeveel manieren kan je ..."
Er is niet zo maar één methode of formule om dergelijke vragen te beantwoorden.
Er zijn namelijk verschillende manieren waarop we elementen kunnen groeperen.
Deze manieren uit elkaar houden is meteen het hoofdprobleem van de zogenaamde
combinatieleer.
We overlopen hoe we deze verschillende manieren kunnen herkennen,
en hoe we voor
elke manier het aantal groeperingen kunnen berekenen.
productverzamelingen
Uit elk emmertje neem je één balletje.
Op hoeveel verschillende manieren kan dat?
Wat zijn productverzamelingen:
Wat is nu typisch aan dergelijke groeperingen, die we productverzamelingen noemen:
Je neemt uit verschillende verzamelingen telkens één element. |
Aantal elementen van een productverzameling:
- Uit het eerste emmertje kunnen we twee verschillende balletjes nemen.
| Aantal n-tallen in de productverzameling A x B x C
... N :
#(A x B x C ... N) = #A . #B . #C
. ... . #N |
De Franse schrijver Raymond Queneau in 1961 de gedichtenbundel 'Cent mille milliards de poèmes'. Moeten we deze grootspraak wel letterlijk nemen? Is dit niet onmogelijk? Het was niet eens een krachttoer... De bundel werd gevormd door horizontale strookjes . Per versregel kon de lezer zijn keuze maken uit 10 strookjes. Samen vormden de 14 regels een sonnet. Het totaal aantal mogelijke gedichten bedroeg zo: 10 . 10 . 10 . ... . 10 (14 factoren) Dit is inderdaad 1014.of honderdduizend miljard... probeer het zelf maar eens uit: Stel zelf je sonnet samen |
trekken met teruglegging:
Ook het telkens trekken (met teruglegging) van één element uit eenzelfde
verzameling
kan je bekijken als een productverzameling.
| Je trekt 3 balletjes. Je legt telkens het getrokken balletje terug. Op hoeveel verschillende manieren kan dat?
Je kan het probleem zien |
faculteiten
In telproblemen kom je regelmatig berekeningen tegen van een vorm als 6 . 5 .
4 . 3 . 2 . 1
We noteren deze bewerking symbolisch als 6! en
lezen ze als '6 faculteit'.
Algemeen:
n faculteit = n . (n - 1) . ... . n n faculteit is het product van alle opeenvolgende natuurlijke getallen van 1 tot en met n deze definitie geldt voor n ∈ |N \ {0, 1} aanvullend definiëren we 1! = 1 en ook 0! = 1 |
Uit de kom met gekleurde balletjes plaats je de mooiste kleur op 1
en de tweede mooiste kleur op 2. Op hoeveel manieren kan je dat?
Wat zijn variaties:
Een variatie is een rangschikking van p elementen uit een verzameling van n elementen. |
| - Voor de keuze van de mooiste kleur hebben we 4
mogelijkheden. - Welke kleur we ook kozen, voor de tweede mooiste kleur hebben we 3 mogelijkheden. In totaal geeft dit 12 mogelijkheden 4 . 3 . Wiskundig kunnen we dit ook schrijven met faculteiten : 12 = 4 . 3 = 4! / 2! of nog: 4! / (4 - 2 )! |
 |
Aantal variaties - algemene
formule
Hoeveel variaties van p elementen kunnen we vormen uit n gegeven elementen?
In het applet bouwen we een boomstructuur op vanuit 4 gegeven elementen:
| Het aantal variaties van 2 elementen uit 4 gegeven elementen noteren we als V | 2 | (of V4,2). We vinden als resultaat 12. |
| 4 |
Algemeen:
Aantal variaties van p elementen uit een verzameling
van n elementen:
|
Je neemt alle balletjes en plaatst ze bovenaan in volgorde .
Op hoeveel verschillende manieren kan je dat?
Wat zijn permutaties:
We zeggen daarom:Een permutatie is een rangschikking van alle elementen uit een verzameling. |
Aantal permutaties:
- Voor de keuze van het eerste balletje hebben we 4 mogelijkheden.
Aantal permutaties uit een verzameling van n elementen = n ! |
Uit de kom met gekleurde balletjes leg je twee balletjes in het emmertje ernaast.
Op hoeveel manieren kan je dat?
Wat zijn combinaties:
We zeggen daarom:Een combinatie is een deelverzameling van p elementen uit een verzameling van n elementen. |
Aantal combinaties:
- Met rood als eerste balletje hebben we
als
mogelijkheden: rood-geel,
rood-groen en
rood-wit.
- Met geel als eerste balletje, zouden we b.v.
geel-rood kunnen schrijven.
Maar geel-rood is het zelfde als rood-geel. We mogen het dus
niet dubbel tellen.
Het aantal combinaties kunnen we nu niet meer noteren als een product,
Door te tellen vinden we wel dat het aantal combinaties 6 is.
aantal combinaties - algemene formule
Hoeveel variaties van p elementen kunnen we vormen uit n gegeven elementen?| Het aantal combinaties van 2 elementen uit 4 gegeven elementen noteren we als C | 2 | (of C4,2). We vinden als resultaat 6. |
| 4 |
Algemeen:
Het aantal combinaties wordt enkel bepaald door de samenstelling,
niet door de volgorde.
We vinden steeds:
# combinaties (p uit n) = # variaties (p uit n) /
# permutaties uit p
Met de formules voor variaties en permutaties vinden we algemeen:
Aantal combinaties van p elementen uit een
verzameling van n elementen:
|
|
|
|
|
 |
In de driehoek van Pascal lezen we het aantal mogelijke
combinaties af. Maar de driehoek vertoont heel wat onverwachte eigenschappen. |
 |
800 jaar geleden leerde hij rekenen zoals de Arabieren . Maar hij werd beroemd met een konijnenprobleem. |
 |
Achter een van de drie deuren zit een hoofdprijs. Hou het hoofd koel en verhoog je kansen! |
 |
Hoe liggen je kansen op de Lotto? En kan je meer dan één keer winnen met één biljet? |
 |
Alle getallen zijn fout! Proficiat, U wint drie keer je inzet. Je hebt drie juiste getallen! Pech, volgende keer beter... |
 |
Welke kaartcombinaties zijn er? Wat zijn de kansen? |
 |
Hoe kan men spelen? Wat is de winstverwachting? |
externe links
Ben je geboeid door merkwaardige eigenschappen van getallen?
Of ben je er nog niet van overtuigd dat getallen kunnen verrassen door hun
merkwaardige eigenschappen?
Klik in beide gevallen nu op volgende link:Meer over de driehoek van Pascal.
zowel studiemateriaal als oefeningen vind je op:
overzicht kansrekenen (wiswijzer-Nederland):
met veel voorbeelden en oefeningen
beantwoorde vragen over telproblemen op wisfaq-Nederland
Gricha's
vragenbank:
kies 'combinatieleer' of kansrekenen
|
groeperingen |
|
Lotto, konijnen en andere
toepassingen |