driehoek van Pascal wiskunde-interactief.be
 

aantal combinaties

- Hoeveel combinaties van 4 elementen kan je maken uit een verzameling van 6?
  In het rooster kies je horizontaal het vakje p= 4 en verticaal n= 6. Je vindt dat het 15 combinaties zijn.
- De helft van het rooster is leeg: p ≤ n  (je kan niet meer elementen nemen dan je er hebt).
- We herkennen in de driehoek ook enkele eigenschappen van combinaties:

C n  = 1  We vinden deze waarden op de diagonaal van het rooster (p = n)
n
C 0  = 1  We vinden deze waarden op de eerste kolom van het rooster (p = 0)
n
n/p 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0 1                              
1 1 1                            
2 1 2 1                          
3 1 3 3 1                        
4 1 4 6 4 1                      
5 1 5 10 10 5 1                    
6 1 6 15 20 15 6 1                  
7 1 7 21 35 35 21 7 1                
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1              
9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1            
10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1          
11 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1        
12 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1      
13 1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1    
14 1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1  
15 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1

 

 

 

 

 

 

 

vormingswet:

De som van twee willekeurige getallen naast elkaar vinden we steeds onder het rechtse getal:
3 + 3 = 6         6 + 15 = 21        9 + 36 = 45         21 + 7 = 28
Beginnend met kolom 0 (overal 1) kunnen we de hele tabel verder opbouwen.

n/p 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
0 1                              
1 1 1                            
2 1 2 1                          
3 1 3 3 1                        
4 1 4 6 4 1                      
5 1 5 10 10 5 1                    
6 1 6 15 20 15 6 1                  
7 1 7 21 35 35 21 7 1                
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1              
9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1            
10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1          
11 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1        
12 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1      
13 1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1    
14 1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1  
15 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1

 

 

 

 

 

 

 

 

binomium van Newton

(a + b )0 = 1
(a + b )1 = 1a  +   1b
(a + b )2 = 1a2  + 2ab  +    1b2
(a + b )3 = 1a3  + 3a2b  +  3ab2  +  1b3

Kijk eens naar de driehoek van Pascal...
Je kan meteen hogere machten uitwerkingen zonder formules te leren!
In het applet vind je de uitwerking van  (a + b )n tot n = 10.

Voor de exponenten van a en b:
- de exponent van a start van n en daalt tot 0
- de exponent van b start van 0 en stijgt tot n

 

 

 

 

 

 

 

 

 

som van de getallen op een rij

n/p 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15  
0 1          

som van alle getallen op deze rij =

 1
1 1 1                             2
2 1 2 1                           4
3 1 3 3 1                         8
4 1 4 6 4 1                       16
5 1 5 10 10 5 1                     32
6 1 6 15 20 15 6 1                   64
7 1 7 21 35 35 21 7 1                 128
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1               256
9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1             512
10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1           1024
11 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1         2048
12 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1       4096
13 1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1     8192
14 1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1   16384
15 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1 32768

De som van alle getallen van rij n is steeds gelijk aan 2n.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

machten van 11

We vullen achteraan de opeenvolgende machten van 11 in.
Kijk dan eens naar de driehoek van Pascal...
Vanaf rij 5 krijg je getallen met 2 of meer cijfers. Vergelijk met de machten van 11.

n/p 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15  
0 1          

opeenvolgende machten van 11:  110=

 1
1 1 1                           111= 11
2 1 2 1                         112= 121
3 1 3 3 1                       113= 1331
4 1 4 6 4 1                     114= 14641
5 1 5 10 10 5 1                   115= 161051
6 1 6 15 20 15 6 1                 116= 1771561
7 1 7 21 35 35 21 7 1               117= 19487171
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1             118= 214358881
9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1           119= 2357947691
10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1         1110= ...
11 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1       1111= ...
12 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1     1112= ...
13 1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1   1113= ...
14 1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1 1114= ...
15 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1 ...

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

som boven een rij

Boven rij 0 is geen rij: de som van alle getallen in de tabel, boven rij 0 = 0.
De som van alle getallen boven rij 1 = 1  (enkel de 1 van rij 0).
De som van alle getallen boven rij 2 = 3  (1+1+1).
De som van alle getallen boven rij 3 = 7  (1+1+1+1+2+1).
...

n/p 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15  
0 1          

som van alle getallen boven deze rij =

 0
1 1 1                             1
2 1 2 1                           3
3 1 3 3 1                         7
4 1 4 6 4 1                       15
5 1 5 10 10 5 1                     31
6 1 6 15 20 15 6 1                   63
7 1 7 21 35 35 21 7 1                 127
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1               255
9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1             511
10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1           1023
11 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1         2047
12 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1       4095
13 1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1     8191
14 1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1   16383
15 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1 32767

De som van alle getallen boven rij n = 2n - 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

priemgetallen of niet

Vul achter elke rij van de tabel in met ja of neen of het rijnummer een priemgetal is.

n/p 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15  
0 1          

is het rijnummer een priemgetal?

  
1 1 1                             ja
2 1 2 1                           ja
3 1 3 3 1                         ja
4 1 4 6 4 1                       neen
5 1 5 10 10 5 1                     ja
6 1 6 15 20 15 6 1                   neen
7 1 7 21 35 35 21 7 1                 ja
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1               neen
9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1             neen
10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1           neen
11 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1         ja
12 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1       neen
13 1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1     ja
14 1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1   neen
15 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1 neen

Kijk nu eens naar de getallen van deze (buiten de cijfers 1).  Raar (?) maar waar:
Als het rijnummer een priemgetal is, zijn alle getallen van deze rij (buiten de 1) veelvouden van dat rijnummer!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

rij van Fibonacci

Bereken de som van de getallen van elke diagonaal en noteer achteraan het getal in het gekleurde vakje.

n/p 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15  
0 1          

som van alle getallen op de opeenvolgende diagonalen =

 1
1 1 1                             1
2 1 2 1                           2
3 1 3 3 1                         3
4 1 4 6 4 1                       5
5 1 5 10 10 5 1                     8
6 1 6 15 20 15 6 1                   13
7 1 7 21 35 35 21 7 1                 21
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1               34
9 1 9 36 84 126 126 84 36 9 1             55
10 1 10 45 120 210 252 210 120 45 10 1           89
11 1 11 55 165 330 462 462 330 165 55 11 1         144
12 1 12 66 220 495 792 924 792 495 220 66 12 1        
13 1 13 78 286 715 1287 1716 1716 1287 715 286 78 13 1      
14 1 14 91 364 1001 2002 3003 3432 3003 2002 1001 364 91 14 1    
15 1 15 105 455 1365 3003 5005 6435 6435 5005 3003 1365 455 105 15 1  

De rij die je zo verkrijgt is gekend als ' de rij van Fibonacci'.
Fibonnacci was een Italiaans wiskundige uit Pisa, die in 1202 de rij publiceerde als de oplossing van het 'konijnenprobleem'.
Meer over deze fascinerende rij en het konijnenprobleem op de pagina Fibonacci en het konijnenprobleem

 

 

 

 

 

 

 

 

kwadraten

Vanaf kolom twee verschijnen met een eenvoudig rekensommetje opeenvolgende kwadraten van natuurlijke getallen.
Je kan voor elke kolom een dergelijke formule vinden, die voor heel de kolom geldt.
Voor elke volgende kolom heb je in je formule telkens één getal meer nodig.

kolom 2:
de som van twee opeenvolgende getallen van de kolom
is steeds een kwadraat

deze getallen in kolom 2 zijn de zogenaamde driehoeksgetallen:
Met hoeveel bolletjes maak je telkens een groter driehoekje?
 

 kolom 3:
als je een getal aftrekt van het getal, twee rijen lager,
krijg je steeds een kwadraat
 

 kolom 4:
als je vier opeenvolgende getallen vermenigvuldigt met
de coëfficiënten 1, -1, -1 en 1, en ze daarna optelt
krijg je steeds een kwadraat

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ringen
De driehoek van Pascal wordt ook vaak voorgesteld als een gelijkbenige driehoek.
Het is niet zo handig om het aantal combinaties af te lezen, maar er verschijnen nu nog andere eigenschappen:

Elk getal in de driehoek wordt omringd door 6 getallen.
Het product van deze getallen is steeds een kwadraat.

Zo bv.: 
1 . 1 . 5 . 10 . 6 . 3 = 900 = 302
8 . 9 . 45 . 120 . 84 . 28 = 914 457 600 = 302402
6 . 15 . 35 . 56 . 28 . 7 = 34 574 400 = 58802.

Sla je in een ring telkens een getal over, dan is bovendien het
product van dit drietal gelijk aan het product van de andere drie..

 

 

 

 

 

 

 

veelvouden

Raster je in de driehoek alle veelvouden van een getal, dan verkrijg je merkwaardige patronen.
Laat je de veelvouden wit en kleur je de andere getallen, dan krijg je:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

naar startpagina
naar sitemap
naar telproblemen

aantal combinaties 
 vormingswet
binomium van Newton
 som van getallen op een rij
 machten van 11
 som boven een rij
 priemgetal of niet
  rij van Fibonacci
kwadraten
ringen
veelvouden