GeoGebra Dynamisch werkblad

Binomiale verdeling wiskunde-interactief.be

We nemen als voorbeeld een meerkeuzevraag.
- Je hebt 4 mogelijke antwoorden.
- Bij een juist antwoord krijg je 1 punt.
- Bij een fout antwoord krijg je - 0,5 punten.

Er zijn maar twee mogelijkheden: juist of fout.
De kansverdeling ziet er uit als volgt:

x_i -0,5 1
P(X=x_i) 3/4 (=0,75) 1/4 (=0,25)

De verwachtingswaarde is:
E(X) = (-0,5) . 0,75 + 1. 0,25 = -0,125

Met het GRM:

Algemeen:

Een uniforme kansverdeling heeft heeft precies twee uitkomsten (vaak is dat JUIST of FOUT):
Met als kans op JUIST = p, wordt de kansverdeling:

x_i FOUT JUIST
P(X=x_i) q = 1-p p

binomiale verdeling
Kansverdeling
Wanneer eenzelfde Bernoulliverdeling een aantal keer herhaald wordt, spreken we van een binomiale verdeling.
zoals b.v. het 3 keer na elkaar gokken op meerkeuzevragen met 4 mogelijke antwoorden.
Bekijken we even terug de kansboom en de kansverdeling:

	verloop	score	kans
	JJJ JJF JFJ JFF FJJ FJF FFJ FFF	3 1,5 1,5 0 1,5 0 0 -1,5	0,25³ 0,25² . 0,75 0,25² . 0,75 0,25 . 0,75² 0,25² . 0,75 0,25 . 0,75² 0,25 . 0,75² 0,75³

x_i	-1,5	0	1,5	3
P(X = x_i)	1 . 0,75³ = 0,422	3 . 0,25 . 0,75² = 0,422	3 . 0,25² . 0,75 = 0,141	1 . 0,25³ = 0,016

Wat is bijvoorbeeld de kans om twee keer juist te antwoorden?

- de kans op JJF is	1 . 1 . 3 = 3	maar ook bij FJJ en JFJ antwoorden we twee keer juist.
	4 4 4 16

- We moeten dus (	1	)² . (	3	)¹ vermenigvuldigen met 3.
	4		4

- 3 is het aantal plaatsen waarop de twee juiste antwoorden kunnen staan op 3 mogelijkheden = C	2	= 3
	3

We kunnen het voorbeeld nu verder uitbreiden naar bijvoorbeeld 6 meerkeuzevragen:
De mogelijkheden om 2 juiste antwoorden te hebben zijn nu:
JJFFFF - JFJFFF - JFFJFF - JFFFJF - JFFFJ
FJJFFF - FJFJFF - FJFFJF - FJFFFJ
FFJJFF - FFJFJF - FFJFFJ
FFFJJF - FFFJFJ
FFFFJJ

Het aantal mogelijkheden = C	2	= 15
	6

De kans op 2 juiste antwoorden op 6 vragen = C	2	. (	1	)² . (	3	)⁴ = 0,2966
	6		4		4

Algemeen:

Bij een binomiaalverdeling
- met n deelexperimenten
- elk met een kans p op succes

is de kans op x keer succes op n pogingen = P( X = x) = C	x	. p^x . (1-p)^n-x
	n

Je kan deze berekening uitvoeren op onderstaand applet:

staafdiagram
In een staafdiagram kunnen we voor elke waarde van de stochast de kans uitzetten:
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

Gemiddelde en standaardafwijking
We kunnen ook formules afleiden voor gemiddelde en standaardafwijking:

Een binomiale verdeling van n deelexperimenten, elk met een kans p op succes heeft als
- gemiddelde of verwachtingswaarde E(X) = n . p

- variantie Var(X) = n . p . (1 - p)
standaardafwijking σ = √ Var(X)

Overzicht

Bij een binomiaalverdeling
- met n deelexperimenten
- elk met een kans p op succes

is de kans op x keer succes op n pogingen = P( X = x) = C	x	. p^x . (1-p)^n-x
	n

Hieruit vinden we als kansverdeling:

x_i

0 1 2 ... n

P(X=x_i)

C	0	. p⁰ (1- p)ⁿ C	1	. p¹ . (1 - p)^n-1 C	2	. p² . (1 - p)^n-2 ... C	n	. pⁿ . (1 - p)⁰
	n		n		n		n

Het gemiddelde van een binomiale verdeling
E(X) = n . p

De standaardafwijking van een binomiale verdeling
σ = √ (n . p . (1 - p) )

binomiale verdeling en GRM
Bij een binomiale verdeling met n deelexperimenten, elk met een kans p op succes.
Rekenvoorbeeld:
10 meerkeuzevragen, elk met 4 mogelijke antwoorden (de kans op succes is dus 0,25)

kans op k keer succes op n pogingen	kans op hoogstens k keer succes op n pogingen
binompdf (n, p, k) kans op 2 keer succes op 10 pogingen = 0,28 of 28%	binomcdf (n, p, k) kans op hoogstens 5 keer succes = 0,98 of 98%

galton bord
Francis Galton (1822?1911) ontwierp het Bord van Galton of quincunx.

Het bord bestaat uit verschillende rijen pinnen.
Het aantal pinnen verhoogt per rij steeds met 1.
Een balletje dat naar beneden valt,
botst eerst op de eerste pin,
hetzij naar links, hetzij naar rechts.
Zo gaat het rij na rij.
De kans dat een balletje naar links of rechts botst, is gelijk,
dus telkens 50% of 1/2.

Wat is nu de kans dat het in een bepaald bakje terechtkomt?

David Little (Mathematics Department Penn State University Eberly College of Science ) maakte een applet
waarin je een experiment met een Galtonbord kan volgen.
Je kan het aantal rijen pinnen (en het bijhorend aantal bakjes) zelf instellen.
Bij klikken op een willekeurig bakje zie je het totaal aantal balletjes in het bakje en de bijhorende kans.
Met de pijltoetsen kan je van bakje naar bakje gaan.
Het applet toont dan ook de kans om binnen een bepaald interval te belanden.
Bakjes binnen het interval worden groen gekleurd.

Bekijken we het nu even theoretisch:

Het balletje belandt onderaan in een bakje na 5 keer botsen op een pin.
Het valt in bakje 1 na als het 1 keer naar rechts valt (en 4 keer naar links).

Die ene keer naar rechts kan de 1e, de 2de ... de 5e pin zijn. Zo zijn er C	1	= 5 mogelijkheden voor bakje 1
	5

Met de binomiaalformule berekenen we de kans voor vakje 1 De kans op 1 keer naar rechts vallen op 5 pogingen = P( X = 1) = C	1	. (1/2)¹ . (1/2)⁴ =	5	= 0,156
	5		32

Eenzelfde berekening maken we voor de andere bakjes. De kansverdeling wordt dan:

x_i	0 1 2 3 4 5
P(X=x_i)	1	= 0,03	5	= 0,156	10	= 0,313	10	= 0,313	5	= 0,156	1	= 0,03
	32		32		32		32		32		32

Algemeen: n rijen pinnen geeft n pogingen De kans hierbij op k keer naar rechts botsen op n pogingen = P( X = k) = C	k	. (1/2)n
	n

Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

naar startpagina
naar sitemap
telproblemen
kansverdelingen

Bernoulliverdeling
binomiale verdeling
kansverdeling
staafdiagram
gemiddelde en st.afw.
overzicht
GRM
toepassing: galton bord