GeoGebra Dynamisch werkblad

Discrete kansverdelingen wiskunde-interactief.be

In het applet kunnen we het experiment 'gooien met een dobbelsteen' blijven herhalen:
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
Het experiment heeft 6 mogelijke uitkomsten, alle even gelijkwaardig.
Wanneer we het blijven herhalen, zullen de resultaten de theoretische kansen benaderen.

niet-gelijke kansen

In het applet kunnen we het experiment 'gooien met twee dobbelstenen' blijven herhalen.
Als resultaat tellen we het totaal aantal ogen op de twee stenen:
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)
Het experiment heeft 11 mogelijke uitkomsten, maar ze zijn niet alle even gelijkwaardig.
Wanneer we het blijven herhalen, zullen de resultaten de theoretische kansen benaderen.
De grootte van deze kansen vinden we door opsomming:

uitkomst	mogelijkheden	kans
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12	11 12 21 13 31 22 14 41 23 32 15 51 24 42 33 16 61 25 52 34 43 26 62 35 53 44 36 63 45 54 46 64 55 56 65 66	1/36 = 0,0278 2/36 = 0,0556 3/36 = 0,0833 4/36 = 0,111 5/36 = 0,1389 6/36 = 0,1667 5/36 = 0,1389 4/36 = 0,111 3/36 = 0,0833 2/36 = 0,0556 1/36 = 0,0278

Om een overzicht te krijgen van de verschillende uitkomsten, hun kansen, het gemiddelde resultaat, de afwijking ...
voeren we het begrip kansverdeling in

kansverdelingen
Voorbeeld
Je krijgt 3 meerkeuzevragen, telkens met 4 mogelijke antwoorden.
Per juist antwoord krijg je 1 punt, per fout antwoord - 0,5 punt.
- Welke score kan je verwachten als je 3 keer gokt?
- Wat is de kans op 0, 1, 2 of 3 juiste antwoorden?

Stochast
Bij de uitkomsten van dit gokexperiment hoort een getal (= de score op de vraag).
Zo krijgen we een functie.
Deze functie noemen we stochast of toevalsvariabele.
Een overzicht van wat ons gokken kan opleveren krijgen we in volgend boomdiagram:

	verloop	score	kans
	JJJ JJF JFJ JFF FJJ FJF FFJ FFF	3 1,5 1,5 0 1,5 0 0 -1,5	0,25³ 0,25² . 0,75 0,25² . 0,75 0,25 . 0,75² 0,25² . 0,75 0,25 . 0,75² 0,25 . 0,75² 0,75³

Kansverdeling
De verwachte score en de bijhorende kansen stellen we voor in een tabel.
We noemen deze tabel de kansverdeling van de stochast.

x_i	-1,5	0	1,5	3
P(X = x_i)	1 . 0,75³ = 0,422	3 . 0,25 . 0,75² = 0,422	3 . 0,25² . 0,75 = 0,141	1 . 0,25³ = 0,016

Gemiddelde en standaardafwijking
De te verwachten score op deze meerkeuzetest vinden we als volgt:
- We vermenigvuldigen alle resultaten met hun kans.
- We maken de som van deze producten.
E(x) = (-1,5) . 0,422 + 0 . 0,422 + 1,5 . 0,141 + 3 . 0,016 = - 0,373
We noemen deze waarde het gemiddelde of de verwachtingswaarde van de stochast.

Naast het gemiddelde kunnen we ook de standaardafwijking berekenen:
- De variantie is de gemiddelde kwadratische afwijking t.o.v. het gemiddelde:
Var(X) = [-1,5 - (-0,373)]². 0,422 + [0 - (-0,373)]². 0,422 + [1,5 - (-0,373)]². 0,141 + [3 - (-0,373)]². 0,016 = 1,27
- De standaadafwijking is de vierkantswortel uit de variantie dus σ = √ Var(X) = √1,27 = 1,127

Ook met het grafisch rekenapparaat vinden we dezelfde resultaten voor gemiddelde en standaardafwijking:

Algemeen

een stochast met k verschillende uitkomsten heeft als:

- kansverdeling

uitkomst xi x1 x2 ... xk
kans P(X = xi) P(X = xi) P(X = xi) ... P(X = xk)

- gemiddelde =

k
∑
i = 1

x_i . p_i

(vermenigvuldig alle resultaten met hun kans en maak de som van deze producten)

- variantie Var(X) = σ? =

n
∑
i = 1

f_i . ( x_i - E(x) )²

(bereken de kwadraten van de afwijkingen t.o.v. het gemiddelde en vermenigvuldig ze met hun kans
tel daarna deze producten op)

- standaardafwijking = σ = √ Var(X)
(bereken de vierkantswortel uit de variantie)

uniforme kansverdeling
Het experiment 'werpen van een dobbelsteen' heeft 6 uitkomsten.
De uitkomsten, elk met hun kans, stellen we voor in een kansverdeling:

x_i 1 2 3 4 5 6

P(X=x_i) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

De kans op elke van deze uitkomsten is gelijk: 1/6.
We spreken dan van een uniforme kansverdeling.

We kunnen deze verdeling grafisch voorstellen:
De uitkomsten plaatsen we in lijst L1, de kansen in lijst L2.

Het gemiddelde aantal ogen per worp vinden we als E(X) = 1. 1/6 + 2. 1/6 + 3. 1/6 + 4. 1/6 + 5. 1/6 + 6. 1/6 =	1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6	= 3,5
	6

Algemeen:

In een uniforme kansverdeling heeft elke waarde eenzelfde kans:

P( X = x_i) =	1
	n

De kansverdeling ziet er uit als volgt:

x_i x1 x2 ... xn

P(X=x_i) 1/n 1/n ... 1/n

De verwachtingswaarde is:

E(X) =	x1 + x2 + ... + xn
	n

Bijzondere kansverdelingen zijn o.a. de binomiale verdeling en de normale verdeling.

naar startpagina
naar sitemap
telproblemen
binomiale verdeling
normale verdeling

gelijke kansen
niet-gelijke kansen
kansverdelingen
stochast
kansverdeling
gemiddelde en st.afw.
algemeen