Discrete kansverdelingen wiskunde-interactief.be                                                                        

gelijke kansen

 

 

 

 

 

 

 

In het applet kan je het experiment 'gooien met een dobbelsteen' meerdere keren uitvoeren:

Het experiment heeft 6 mogelijke uitkomsten, alle even gelijkwaardig.
Verhoog je het aantal worpen, dan verkleint de kans op uitschieters.
De resultaten zullen de theoretische kansen benaderen.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

niet-gelijke kansen












In het applet kunnen we het experiment 'gooien met twee dobbelstenen' meerdere keren herhalen.
Als resultaat tellen we het totaal aantal ogen op de twee stenen:

Het experiment heeft 11 mogelijke uitkomsten, maar ze zijn niet alle even gelijkwaardig.
Wanneer we het blijven herhalen, zullen de resultaten de theoretische kansen benaderen.
De grootte van deze kansen vinden we door opsomming:

uitkomst mogelijkheden kans
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11
12  21
13  31  22
14  41  23  32
15  51  24  42  33
16  61  25  52  34  43
26  62  35  53  44
36  63  45  54
46  64  55
56  65
66
1/36 = 0,0278
2/36 = 0,0556
3/36 = 0,0833
4/36 = 0,111
5/36 = 0,1389
6/36 = 0,1667
5/36 = 0,1389
4/36 = 0,111
3/36 = 0,0833
2/36 = 0,0556
1/36 = 0,0278

Om een overzicht te krijgen van de verschillende uitkomsten, hun kansen, het gemiddelde resultaat, de afwijking ...
voeren we het begrip kansverdeling in

 

kansverdelingen
Voorbeeld
Je krijgt 3 meerkeuzevragen, telkens met 4 mogelijke antwoorden.
Per juist antwoord krijg je 1 punt, per fout antwoord - 0,5 punt.
- Welke score kan je verwachten als je 3 keer gokt?
- Wat is de kans op 0, 1, 2 of 3 juiste antwoorden?

Stochast
Bij de uitkomsten van dit gokexperiment hoort een getal (= de score op de vraag).
Zo krijgen we een functie.
Deze functie noemen we stochast of toevalsvariabele.
Een overzicht van wat ons gokken kan opleveren krijgen we in volgend boomdiagram:

  verloop score kans
JJJ
 
JJF
 
JFJ

JFF
 
FJJ

FJF
 
FFJ

FFF
3
 
1,5
 
1,5

0
 
1,5

0
 
0

-1,5
0,253
  
0,252 . 0,75
  
0,252 . 0,75
  
0,25 . 0,752
  
0,252 . 0,75
 
0,25 . 0,752
  
0,25 . 0,752
 
0,75
3

Kansverdeling
De verwachte score en de bijhorende kansen stellen we voor in een tabel.
We noemen deze tabel de kansverdeling van de stochast.

xi -1,5 0 1,5 3
P(X = xi)      1 . 0,753      

= 0,422

3 . 0,25 . 0,752   

= 0,422

3 . 0,252 . 0,75  

= 0,141

1 . 0,253    

= 0,016


Gemiddelde en standaardafwijking
De te verwachten score op deze meerkeuze test vinden we als volgt:
- We vermenigvuldigen alle resultaten met hun kans.
- We maken de som van deze producten.
We noemen deze waarde het gemiddelde of de verwachtingswaarde van de stochast.

Naast het gemiddelde kunnen we ook de standaardafwijking berekenen:
- De variantie is de gemiddelde kwadratische afwijking t.o.v. het gemiddelde:
  Var(X) = [-1,5 - (-0,373)]2. 0,422  +  [0 - (-0,373)]2 . 0,422  +   [1,5 - (-0,373)]2. 0,141  +   [3 - (-0,373)]2. 0,016 = 1,27
- De standaadafwijking is de vierkantswortel uit de variantie dus σ = √ Var(X) = √1,27 = 1,127

Algemeen

  een stochast met k verschillende uitkomsten heeft als:

  - kansverdeling

  uitkomst xi                  x1                   x2             ...        xk       
  kans P(X = xi)       P(X = xi)         P(X = xi)      ...    P(X = xk) 

  - gemiddelde =     k

i = 1 
 xi . pi                 
    Vermenigvuldig alle resultaten met hun kans en maak de som van deze producten.      
  - variantie Var(X) =      n

i = 1 
 fi . ( xi - E(x) )2                 
    Bereken de kwadraten van de afwijkingen t.o.v. het gemiddelde,
    vermenigvuldig ze met hun kans en tel daarna deze producten op)
     

  - standaardafwijking = σ = √ Var(X) 
    Bereken de vierkantswortel uit de variantie
 

 

 


uniforme kansverdeling
Het experiment 'werpen van een dobbelsteen' heeft 6 uitkomsten.
De uitkomsten, elk met hun kans, stellen we voor in een kansverdeling:

xi                   1        2        3        4        5        6       

P(X=xi)        1/6    1/6     1/6     1/6     1/6     1/6

De kans op elke van deze uitkomsten is gelijk: 1/6.
We spreken dan van een uniforme kansverdeling.

Algemeen:

  In een uniforme kansverdeling heeft elke waarde eenzelfde kans:    
 P( X = xi) =     1    
  n

  De kansverdeling ziet er uit als volgt:  

  xi                   x1        x2       ...       xn       

  P(X=xi)        1/n       1/n      ...       1/n  

  De verwachtingswaarde is:  

  E(X) =          x1 + x2 +  ...  + xn         
n

Bijzondere kansverdelingen zijn o.a. de binomiale verdeling en de normale verdeling.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

naar startpagina
naar sitemap
telproblemen
binomiale verdeling
normale verdeling

gelijke kansen
niet-gelijke kansen

kansverdelingen
stochast
kansverdeling
gemiddelde en st.afw.
algemeen