Fibonacci

Je bestudeert manuscripten, verricht baanbrekend werk in diverse gebieden van de wiskunde en schrijft belangrijke werken. Uiteindelijk haal je, onder je bijnaam, de rand van de geschiedenisboeken met de vraag hoeveel konijnen er op het einde van het jaar zullen zijn, als je start met één paar... Dat is, kort samengevat, het lot van Leonardo Pisano. MCLXX of 1170 Hij werd geboren rond 1170 in Pisa. Zijn vader vertegenwoordigt de handelsbelangen van de Pisaanse kooplieden in noord-Afrika. Leonardo krijgt een degelijk onderricht. Terwijl men in Europa nog rekent met Romeinse cijfers, hadden de Arabieren van de Indiërs het systeem overgenomen waarbij een de waarde van een cijfer afhangt van zijn plaats in een getal. Zo kan in 1170 de 1 zowel voor 1000 als voor 100 staan. "Toen ik ingeleid werd in de kunst van de Indische negen symbolen, plezierde me deze kunst boven alles" schrijft hij. In zijn Liber Abaci  beschrijft hij het gebruik van deze cijfers. Hij legt uit hoe kooplieden prijzen, rente en opbrengst kunnen berekenen, en met de vele verschillende munten kunnen rekenen die gebruikt werden in de landen rond de Middellandse Zee.

Konijnenprobleem
Fibonacci hield zich ook graag bezig met het mathematiseren van allerhande problemen en vraagstukjes:
"Een spin klimt dagelijks een bepaalde hoogte op een muur en glijdt 's nachts een stukje terug. Wanneer geraakt hij boven?"
"Een hond jaagt achter een haas. De snelheid van beide vergroot lineair. Wanneer haalt de hond de haas in?"
Het zijn vraagstukjes die je nu nog terugvindt in handboeken.
Fibonacci wordt echter vooral vereenzelvigd met het zogenaamde konijnenprobleem:
"Een man plaatste een paar konijnen in een ommuurde ruimte. Een paar konijnen is na een maand geslachtsrijp en werpt daarna elke maand
een nieuw paar. Hoeveel paar konijnen heb je dan na een jaar?"
Deze aantallen vormen de rij van Fibonacci.
We stellen een stamboom op voor de eerste zes maanden:

 

rij van Fibonacci
Voor de twaalf maanden krijgen we:

We stellen vast dat de som van twee opeenvolgende getallen telkens het volgende getal oplevert.
Het lijkt merkwaardig maar is eigenlijk niet zo onlogisch:
Elk aantal konijnenparen (blauw of geel) in een bepaalde maand zorgt twee maand later voor evenveel extra paren.
Samen met het aantal van de volgende maand geven dus ze het totaal aantal twee maand later.
(op de stamboom kan je dit duidelijk nagaan).

eigenschappen en links
Het konijnenprobleem is wiskundig leuk, maar toch vrij kunstmatig:
- alle paren blijven in leven
- ze werpen telkens juist één mannetje en één wijfje
- alle worpen gebeuren gelijktijdig en telkens juist na één maand.

Toch vinden we de rij van Fibonacci terug in de natuur.
De rij is ook wiskundig merkwaardig. Ze verschijnt ze in de driehoek van Pascal, en ook de gulden snede duikt op.
Deze merkwaardige eigenschappen van de rij inspireerden velen.
Een zoektocht op het internet naar Fibonacci levert snel heel wat materiaal op.
Twee uitstekende links:

De rij van Fibonacci en de Gulden Snede (Engels)
De rij van Fibonacci in diverse toepassingen(Nederlands)