GeoGebra Dynamisch werkblad

transformaties en matrices wiskunde-interactief.be

Een punt wordt bepaald door coördinaten.
Een punt P met als x-coördinaat 3 en als y-coördinaat 2 noteren we als P (3, 2)

We kunnen deze coördinaatsgetallen nu ook noteren in een kolommatrix: P[	3	]
	2

Transformaties kunnen we nu uitvoeren door matrixvermenigvuldiging.
Als transformatiematrix gebruiken we een vierkante matrix 2 x 2.
De vermenigvuldiging verloopt als volgt:

[	a11	a12	] . [	x	] = [	a11.x + a12. y	]
	a21	a22		y		a21. x + a22. y

Het komt er dus op aan die matrices te zoeken die het gewenste resultaat hebben op de coördinaten.
Zo kunnen we herschalen, roteren en verschuiven.

schaling

v.b.: Welke transformatiematrix verandert een matrix P[	x	] in een matrix Q [	2x	] ?
	y		2y

We vinden als voorwaarde:
a11. x + a12. y = 2x
a21. x + a22. y = 2y

Hieraan wordt steeds voldaan als:
a11 = a12 =
a21 = a22 =

Je kan het uitproberen op onderstaande applet:
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

We kunnen de coördinaten van een matrix P [

x
y

]herschalen met factor s door de matrixvermenigvuldiging:

[	s	0	] . [	x	]
	0	s		y

rotatie

v.b.: Welke transformatiematrix kan een punt P laten draaien over een hoek α rond de oorsprong?
In een goniometrische cirkel (straal is 1) vinden we:
- de x-coördinaat van een punt P = cosinus van overeenkomende hoek
- de y-coördinaat van een punt P = sinus van overeenkomende hoek

Een willekeurig punt P (x, y) in het vlak kunnen we dan ook steeds schrijven als P (r. cos α, r. sin α)

Het punt P roteren over een hoek β betekent dat het punt P (r. cos α, r. sin α) moet getransformeerd worden
in het punt Q ( r. cos(α + β ) , r. sin(α + β ) )
De factor r speelt hier dus geen rol

De juiste formulering van de transformatiematrices kunnen we afleiden uit de som- en verschilformules:

cos(α - β ) = cos α. cos β + sin α. sin β
cos(α + β ) = cos α. cos β - sin α. sin β
sin (α - β ) = sin α. cos β - cos α. sin β
sin(α + β ) = sin α. cos β + cos α. sin β

a11. r. cos α + a12. r. sin α =r. cos α. cos β - r. sin α. sin β
a21. r. cos α + a22. r. sin α = r. sin α. cos β + r. cos α. sin β

Hieraan wordt steeds voldaan als:
a11 = β a12 = β
a21 = β a22 = β

Je kan het nagaan op onderstaande applet:
Sorry, the GeoGebra Applet could not be started. Please make sure that Java 1.4.2 (or later) is installed and active in your browser (Click here to install Java now)

We kunnen een punt P [

x
y

]roteren over een hoek β door de matrixvermenigvuldiging:

[	cos β	- sin β	] . [	x	]
	sin β	cos β		y

verschuiving of translatie

v.b.: Welke transformatiematrix verandert een matrix P[	x	] in een matrix Q [	x + Tx	] ?
	y		y + Ty

We vinden als voorwaarde:
a11. x + a12. y = x + Tx
a21. x + a22. y = y + Ty

We zien in het matrixproduct dat de coördinaatsgetallen x en y steeds vermenigvuldigd worden.
Het is op deze manier onmogelijk om ze met een constante te vermeerderen.
Een oplossing bestaat erin zowel de coördinatenmatrix als de transformatiematrix uit te breiden.
We vullen de coördinaten van een punt aan met een extra getal 1, dat geen enkele geometrische betekenis heeft.

v.b.: Welke transformatiematrix verandert een matrix P[	x	] in een matrix Q [	x + Tx	] ?
	y		y + Ty
	1		1

We vinden als voorwaarde:
a11. x + a12. y + a13. 1 = x + Tx
a21. x + a22. y + a23. 1 = y + Ty
a31. x + a32. y + a33. 1 = 1

Hieraan wordt steeds voldaan als:
a11 =        a12 =        a13 =
a21 =        a22 =        a23 =
a31 =        a32 =        a33 =

We kunnen een punt P [

x
y
1

]horizontaal over een afstand Tx en verticaal over een afstand Ty verschuiven :

met de vermenigvuldiging [

1    0    Tx
0    1    Ty
0    0     1

] . [

x
y
1

]

De uitbreiding van de dimensie van de matrices om verschuivingen mogelijk te maken,
trekken we nu ook door voor schaling en rotatie.
- In de coördinaten van punten gebruiken we steeds een extra cijfer 1
- de transformatiematrices voor schaling en rotatie breiden we uit met een extra rij en kolom
bestaande uit nullen, behalve het element a33 = 1

overzicht

Als transformatiematrices in het vlak vinden we

We kunnen de coördinaten van een matrix P [

x
y
1

]herschalen met factor s door de matrixvermenigvuldiging:

[	s	0 0	] . [	x	]
	0 0	s 0 0 1		y 1

We kunnen een punt P [

x
y

]roteren over een hoek β door de matrixvermenigvuldiging:

[	cos β	- sin β 0	] . [	x	]
	sin β 0	cos β 0 0 1		y 1

We kunnen een punt P [

x
y
1

]horizontaal over een afstand Tx en verticaal over een afstand Ty verschuiven :

met de vermenigvuldiging [

1    0    Tx
0    1    Ty
0    0     1

] . [

x
y
1

]

transformaties in de ruimte
Een punt P in de ruimte krijgt nu een extra z-coördinaat.
De kolommatrix die we gebruiken krijgt dus een extra rij.

We noteren dus: P[	x	]
	y z 1

Het is nu niet moeilijk de matrices te bepalen voor transformaties in de ruimte.
We moeten gewoon de dimensie van de matrices uitbreiden.
We krijgen als overzicht:

We kunnen de coördinaten van een matrix P [

x
y
z
1

]herschalen met factor s door de matrixvermenigvuldiging:

[	s	0 0 0	] . [	x	]
	0 0 0	s 0 0 0 s 0 0 0 1		y z 1

roteren kunnen we nu zowel rond de x-as, rond de y-as en rond de z-as.
We vinden als rotatiematrices over een hoek β

rond de x-as

[	1	0 0 0	]
	0 0 0	cos β sin β 0 - sin β cos β 0 0 0 1

rond de y-as

[	cos β	0 sin β 0	]
	0 - sin β 0	1 0 0 0 cos β 0 0 0 1

rond de z-as

[	cos β	sin β 0 0	]
	- sin β 0 0	cos β 0 0 0 1 0 0 0 1

We kunnen een punt P [

x
y
z
1

]verschuiven volgens x-, y- en z-as met een afstand van respectievelijk Tx, Ty en Tz

met de vermenigvuldiging [

1    0     0    Tx
0    1     0    Ty
0    0     0     1

] . [

x
y
z
1

]

naar startpagina
naar sitemap
matrices

in het vlak
schaling
rotatie
verschuiving
in de ruimte