afgeleide functies - overzicht

machtsregel

 

 afgeleide van f(x) = xn

 Als f(x) = xn, dan is f '(x) = nx
n-1. Dit geldt voor elk reŽel getal n.
    d
    dx
    (xn)
    =nxn - 1

 

 Voorbeelden
    d
    dx
    (x3)
    =3.x2
    d
    dx
    (x - 1)
    = - x - 2
    d
    dx
    (
    1
    x
    )
    =
    d
    dx
    (x - 1)
    = -x - 2
    =
    -
    1
    x2

c . f(x)

 

  Vermenigvuldigen met een constante
 De afgeleide van c maal een functie f (x)  is gelijk aan c maal de afgeleide van f (x).
 [cf(x)]' = cf '(x).
 Voorbeelden
d
dx
(3x2  
) = 3.2x

somregel

 

  afgeleide van de som van functies
 De afgeleide van de som van  f(x) en g(x) vinden we als:
 [f(x) ± g(x)]' = f '(x) ± g '(x)
 Voorbeelden
d
dx
(3x2 + 4x - 2)
= 3.2x - 8x - 3

productregel

 

  afgeleide van het product van functies
    d
    dx
    [f . g]   = f '. g + f . g '

 In woorden:

 De afgeleide van een product is gelijk aan:
 de afgeleide van de eerste functie maal de tweede functie,
 plus de eerste functie maal de afgeleide van de tweede.

 Voorbeelden
    d
    dx
    [x2(3x- 1)] = 2x(3x- 1) + x2(3)

  De afgeleiden van f en g zijn blauw gekleurd.

 

quotiŽntregel  

 

  afgeleide van het quotiŽnt van functies
    d
    dx
    (
    f(x)
    g(x)
    ) =
     g . f' - f . g'
    g2

 In woorden:

 De afgeleide van een quotiŽnt is gelijk aan
 de noemer maal de afgeleide van de teller
 min de teller maal de afgeleide van de noemer,
 en dat alles gedeeld door het kwadraat van de noemer.

 Voorbeelden
    d
    dx
    (
      x

    x+1
    ) =
    (x+1) . 3x≤  - x≥ . 2x

    (x+1)

Natuurlijk werken we de teller verder uit.

 

 

kettingregel

 

  afgeleide van een samengestelde functie

 Als f een functie is van u en u een functie van x,
 dan vinden we de afgeleide van f als:

    d

    dx
    [f(u)] = f'(u)
    du

    dx

 In woorden:

 De afgeleide van een samengestelde functie is gelijk aan
 de afgeleide van de 'buitenste' functie, vermenigvuldigd
 met de afgeleide van de 'binnenste' functie. 

 Voorbeelden
1.
d

dx
(1+x2)3 =
3(1+x2)2
2x
 
=
6x(1+x2)2
2.
d

dx
2

(x+x2)3
=
d

dx
2.(x+x2)- 3
=
- 3(x+x2)- 4
(1+2x)
 
=
1+2x

(x+x2)4
3.
d

dx
e(x+x2) =
e(x+x2)
(1+2x)
 

log en exp. functies 

 

 afgeleiden van logaritmische and exponentiŽle functies
 met de kettingregel

 Wanneer we in het functievoorschrift niet de logaritme nemen
 van x, maar van een functie van x, of wanneer de exponent in
 een exponentiŽle  functie niet x is, maar een veelvoud van x,
 moeten we bij het afleiden de kettingregel gebruiken.

formule
afgeleide formule
d

dx
ln x   =
1

x
d

dx
ln u  =
1

u
du

dx
d

dx
alog x=
1

x ln a
d

dx
alog u =
1

u ln a
du

dx
d

dx
ex = ex
d

dx
eu = eu
du

dx
d

dx
ax = ax ln a
d

dx
au = au ln a
du

dx
 Voorbeelden
1.
d

dx
2 ln x =
2.
1

x
=
2

x
2.
d

dx
ln(2x) =
1

2x
d

dx
(2x)
=
2.
1

2x
=
1

x
3.
d

dx
3log(2x+1) =
1

(2x+1)ln 3
d

dx
(2x+1)
=
2.
1

(2x+1)ln 3
=
2

(2x+1)ln 3
4.
d

dx
ex2+1 =
ex2+1
d

dx
(x2+1)
=
2x ex2+1

naar startpagina  machtsregel   c . f(x)   som   product  quotiŽnt  kettingregel   exp.en log.functies

verder ook: afgeleiden van goniometrische functies       oefeningen  opgeloste oefeningen