Integration By Parts

BEREKENEN VAN INTEGRALEN DOOR PARTIËLE INTEGRATIE

Methode:

De methode van partiële integratie vertrekt van de regels voor afgeleiden:
De afgeleide van een functie

schrijven we als

.
B.v.: van een

, is de afgeleide

.

Omgekeerd, bij het bepalen van primitieve functies, zoeken we de functie die als afgeleide de gegeven functie oplevert.
B.v.: als $du = 2x \ dx$ vinden we de vorm .
We kennen nu als regel voor de afgeleide van een product: d( u . v ) = d(u) . v + u . d(v).
Hieruit vinden we :

en hieruit:

$\displaystyle{ { \int u \, dv } = uv - { \int v \, du } }$ .

Met deze regel kunnen we sommige 'hopeloze' integralen herschrijven in veel beter hanteerbare exemplaren.
We gebruiken hierbij volgende regels voor afgeleiden:

a.) $D (\sin x) = \cos x$
b.) $D (\cos x) = - \sin x$
c.) $D (\ln x) = \displaystyle{ 1 \over x }$
d.)
e.) $D (\arcsin x) = \displaystyle{ 1 \over \sqrt{ 1-x^2 } }$
f.) $D (\arctan x) = \displaystyle{ 1 \over 1 + x^2 }$

Verder steunen we natuurlijk ook op volgende basisintegralen :

$\displaystyle{ \int x^n \,dx } = \displaystyle{ {x^{n+1} \over n+1 } + C }$ , met een constante $(n \ne -1 )$
$\displaystyle{ \int { 1 \over x } \,dx } = \displaystyle{ \ln \vert x\vert + C }$
$\displaystyle{ \int e^x \,dx } = \displaystyle{ e^x + C }$
$\displaystyle{ \int \cos x \, \ dx } \ = \ \sin x + C$
$\displaystyle{ \int \sin x \, \ dx } \ = \ - \cos x + C$
$\displaystyle{ \int k f(x) \,dx } = k \displaystyle{ \int f(x) \,dx }$ , met een constante
$\displaystyle{ \int ( f(x) \pm g(x) ) \,dx } = \displaystyle{ \int f(x) \,dx } \pm \displaystyle{ \int g(x) \,dx }$

OEFENING 1 : $\displaystyle{ \int { x e^x } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 1.
OEFENING 2 : $\displaystyle{ \int { x \sin x } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 2.
OEFENING 3 : $\displaystyle{ \int { x \ln x } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 3.
OEFENING 4 : $\displaystyle{ \int { x \cos {3x} } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 4.
OEFENING 5 : $\displaystyle{ \int { \ln x \over x^5 } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 5.
OEFENING 6 : $\displaystyle{ \int { \arcsin 3x } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 6.
OEFENING 7 : $\displaystyle{ \int { \ln x } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 7.
OEFENING 8 : $\displaystyle{ \int { 2x \arctan x } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 8.
OEFENING 9 : $\displaystyle{ \int { x^2 e^{3x}} \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 9.
OEFENING 10 : $\displaystyle{ \int { x^3 \ln{5x} } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 10.
OEFENING 11 : $\displaystyle{ \int { (\ln x)^2 } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 11.
OEFENING 12 : $\displaystyle{ \int {(\ln x)^3 } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 12.
OEFENING 13 : $\displaystyle{ \int{ x\sqrt{x + 3} } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 13.
OEFENING 14 : $\displaystyle{ \int { x \sin x \cos x } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 14.
OEFENING 15 : $\displaystyle{ \int { \Big( { \ln x \over x} \Big)^2} \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 15.
OEFENING 16 : $\displaystyle{ \int { x^5 e^{x^3} } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 16.
OEFENING 17 : $\displaystyle{ \int { x^3 \cos{(x^2)}} \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 17.

OEFENING 18 : $\displaystyle{ \int { x^7 \sqrt{5 + 3x^4} } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 18.
OEFENING 19 : $\displaystyle{ \int { x^3 \over (x^2 + 5)^2 } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 19.
OEFENING 20 : $\displaystyle{ \int{ e^{6x} \sin{(e^{3x})} } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 20.
OEFENING 21 : $\displaystyle{ \int { x^3 e^{x^2} \over (x^2 + 1)^2 } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 21.
OEFENING 22 : $\displaystyle{ \int { e^x \cos x } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 22.
OEFENING 23 : $\displaystyle{ \int { \sin {3x} \cos{5x}} \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 23.

Klik HIER om terug te keren naar de lijst van onderwerpen.