Integration of Rational Functions, Resulting in Logarithmic or Arctangent Functions

BEREKENEN VAN INTEGRALEN VAN RATIONALE FUNCTIES
MET BEHULP VAN LOGARITMISCHE OF CYCLOMETRISCHE FUNCTIES

Methode:

We kennen volgende formules voor afgeleiden:
$\displaystyle{ D \{ \ln \vert x\vert \} = { 1 \over x } }$ ,
$\displaystyle{ D \{ \arctan x \} = { 1 \over 1+x^2 } }$
Deze leiden tot volgende integraalformules :

$\displaystyle{ \int { 1 \over x } \,dx } = \ln \vert x\vert + C$ ,
$\displaystyle{ \int { 1 \over 1+x^2 } \,dx } = \arctan x + C$ .

Ook de integraal $\displaystyle{ \int { 1 \over a^2+x^2 } \,dx }$ komt regelmatig voor. We kunnen deze vorm gemakkelijk herleiden tot bovenstaande vorm:
$\displaystyle{ \int { 1 \over a^2+x^2 } \,dx } = \displaystyle{ \int { 1 \over a^2(1+(x^2/a^2)) } \,dx }$ $= \displaystyle{ { 1 \over a^2}\int { 1 \over 1+(x/a)^2 } \,dx }$ .
Met u= x/a vinden we du = (1/a) dx of (a)du = dx .
De integraal wordt dan

$\displaystyle{ { 1 \over a^2} \int { 1 \over 1+(x/a)^2 } \,dx } = \displaystyle{ { 1 \over a^2} \int { 1 \over 1+(u)^2 } \, (a)du }$

$= \displaystyle{ { a \over a^2} \int { 1 \over 1+u^2 } \, du }$

$= \displaystyle{ { 1 \over a} \int { 1 \over 1+u^2 } \, du }$

$= \displaystyle{ (1/a) \arctan u + C }$

$= \displaystyle{ (1/a) \arctan(x/a) + C }$ .

We krijgen dan als variant van regel 1 :

3. $\displaystyle{ \int { 1 \over a^2+x^2 } \,dx } = \displaystyle{ (1/a) \arctan(x/a) + C }$

We kennen ook de methode van het volkomen kwadraat. Zo kunnen we x²+6x schrijven als x²+6x = (x²+6x+9) - 9 = (x+3)² - 9 .
Algemeen: om een kwadraat x²+Bx aan te vullen: deel B door 2 en kwadrateer het: (B/2)²=B²/4. Tel B²/4 bij en trek het ook af, zodat:
x²+Bx = (x²+Bx+B²/4) - B²/4 = (x+(B/2))² - B²/4 .

Onthou verder de volgende basisintegralen :

$\displaystyle{ \int x^n \,dx } = { x^{n+1} \over n+1 } + C$ , met n is een constante verschillend van -1,

$\displaystyle{ \int k f(x) \,dx } = k \displaystyle{ \int f(x) \,dx }$ , met k is een constante

$\displaystyle{ \int ( f(x) \pm g(x) ) \,dx } = \displaystyle{ \int f(x) \,dx } \pm \displaystyle{ \int g(x) \,dx }$ .

OEFENING 1 : $\displaystyle{ \int { 3+x^2 \over x } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 1.
OEFENING 2 : $\displaystyle{ \int { 7 \over x+5 } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 2.
OEFENING 3 : $\displaystyle{ \int { 3 \over x^2+4 } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 3.
OEFENING 4 : $\displaystyle{ \int { x \over x^2+4 } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 4.
OEFENING 5 : $\displaystyle{ \int { x^3 \over x+2 } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 5.
OEFENING 6 : $\displaystyle{ \int { x^4+x^3 \over x^2+1 } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 6.
OEFENING 7 : $\displaystyle{ \int { 1 \over x (3+ \ln x ) } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 7.
OEFENING 8 : $\displaystyle{ \int { 7 - \ln x \over x (3+ \ln x) } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 8.
OEFENING 9 : $\displaystyle{ \int { 1 \over x^2+4x+5 } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 9.
OEFENING 10 : $\displaystyle{ \int { 1 \over 2x^2+12x+68 } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 10.

OEFENING 11 : $\displaystyle{ \int { 1 \over \sqrt{x} (x+9) } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 11.
OEFENING 12 : $\displaystyle{ \int { \sin (2x) \over 1 + \cos (2x) } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 12.
OEFENNG 13 : $\displaystyle{ \int { \cos x \over 1 + \sin^2 x } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 13.
OEFENING 14 : $\displaystyle{ \int { e^{2x} \over 1 + e^{2x} } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 14.
OEFENING 15 : $\displaystyle{ \int { e^x \over 1 + e^{2x} } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 15.

BEREKENEN VAN INTEGRALEN VAN RATIONALE FUNCTIES MET BEHULP VAN LOGARITMISCHE OF CYCLOMETRISCHE FUNCTIES

Methode:

Klik HIER om terug te keren naar de lijst van onderwerpen.

BEREKENEN VAN INTEGRALEN VAN RATIONALE FUNCTIES
MET BEHULP VAN LOGARITMISCHE OF CYCLOMETRISCHE FUNCTIES