Integration by Partial Fractions

BEREKENEN VAN INTEGRALEN DOOR SPLITSEN IN PARTIËELBREUKEN

Methode:
OPTELLEN VAN BREUKEN
Deze methode is gebaseerd op de regel voor het optellen van breuken: B.v.: $\displaystyle{ {1 \over 2} + {1 \over 3} } = \displaystyle{ {3 \over 6} + {2 \over 6} } = \displaystyle{ 5 \over 6 }$

Omgekeerd kunnen we ook de breuk $\ \displaystyle{ 5 \over 6 } \$ schrijven als $\displaystyle{5 \over 6} = \displaystyle{ {1 \over 2} + {1 \over 3} }$ .

Deze methode kunnen we ook gebruiken in breuken met de veranderlijke . B.v.:

$\displaystyle{ {2 \over x+1} - {1 \over x} } = \displaystyle{ {2 \over x+1}\Big({x \over x}\Big) - {1 \over x}\Big({x+1 \over x+1}\Big) }$
$= \displaystyle{ {2x \over x(x+1) } - {x+1 \over x(x+1) } }$
$= \displaystyle{ 2x-x-1 \over x^2+x }$
$= \displaystyle{ x-1 \over x^2+x }$

OMGEKEERD: SPLITSEN VAN BREUKEN IN EEN SOM:
Ook hier kunnen we omgekeerd de breuk $\ \displaystyle{ x-1 \over x^2+x } \$ schrijven als $\displaystyle{ x-1 \over x^2+x } = \displaystyle{ {2 \over x+1} - {1 \over x} }$ .
Maar hoe kunnen we de b.v. breuk $\ \displaystyle{ 6 \over x^2-1 }$ splitsen? We kunnen de noemer ontbinden: $\displaystyle{ 6 \over x^2-1 } = \displaystyle{ 6 \over (x-1)(x+1) }$ .
We nemen nu aan dat er een en bestaan, zo dat $\ \ \ \ \ \ \displaystyle{ 6 \over (x-1)(x+1) } = \displaystyle{ { A \over x-1 } + { B \over x+1 } }$ .

VOORWAARDE:
We kunnen aantonen dat zulke constanten steeds bestaan voor rationale functies van de vorm $\ \displaystyle{ p(x) \over q(x) } \$ onder volgende voorwaarden:

1. zowel $\ p(x) \$ als $\ q(x) \$ zijn veeltermen
2. de graad van $\ p(x) \$ is kleiner dan de graad van $\ q(x) \$ .

VOORBEELD
Laten we proberen. We hebben: $\ \ \ \ \ \ \displaystyle{ 6 \over (x-1)(x+1) } = \displaystyle{ { A \over x-1 } + { B \over x+1 } }$
We brengen beide breuken op gelijke noemer:

$= \displaystyle{ {A \over x-1}\Big({x+1 \over x+1}\Big) + {B \over x+1}\Big({x-1 \over x-1}\Big) }$
$= \displaystyle{ {A(x+1) \over (x-1)(x+1)} + {B(x-1) \over (x-1)(x+1)} }$
$= \displaystyle{ A(x+1) + B(x-1) \over (x-1)(x+1) }$

zodat:

$\displaystyle{ 6 \over (x-1)(x+1) } = \displaystyle{ A(x+1) + B(x-1) \over (x-1)(x+1) }$ .

Voor de tellers krijgen we dan de vergelijking: $\ \ \ \ \ \ 6 = A(x+1) + B(x-1)$ .
Het rechterlid kunnen we beschouwen als een functie van x, die gelijk is aan 6, en dit voor alle waarden van .

Kiezen we bijvoorbeeld $\ \ \ x=1$ , dan krijgen we
Zo vinden we dat .

Kiezen we $\ \ \ x=-1$ , dan krijgen we

Zo vinden we dat .
We kunnen dus de breuk $\ \displaystyle{ 6 \over (x-1)(x+1) \ }$ als volgt splitsen in zogenaamde partieelbreuken: $\displaystyle{ 6 \over (x-1)(x+1) } = \displaystyle{ {3 \over x-1} + {-3 \over x+1} }$ .

OPMERKINGEN:
De keuzes $\ \ \ x=1$ and $\ \ \ x=-1$ hebben we natuurlijk gekozen omdat ze om beurt een term 0 maken.
Is de graad van p(x) gelijk of groter dan de graad van q(x), dan delen we eerst teller door noemer. B.v.:

$\displaystyle{ 4x^3-3x+5 \over x^2-2x } = 4x+8 +\displaystyle{ 13x+5 \over x^2-2x }$ ,

We vertrekken van volgende regels voor afgeleiden

a.) $D (\sin x) = \cos x$
b.) $D (\tan x) = \sec^2 x$
c.)

Verder steunen we natuurlijk ook nog steeds op volgende basisintegralen

$\displaystyle{ \int x^n \,dx } = \displaystyle{ {x^{n+1} \over n+1 } + C }$ , met een constant $(n \ne -1 )$
$\displaystyle{ \int { 1 \over x } \,dx } = \displaystyle{ \ln \vert x\vert + C }$
$\displaystyle{ \int { 1 \over x^2+a^2 } \,dx } = \displaystyle{ {1 \over a} \arctan {x \over a} + C }$
$\displaystyle{ \int k f(x) \,dx } = k \displaystyle{ \int f(x) \,dx }$ , met een constant
$\displaystyle{ \int ( f(x) \pm g(x) ) \,dx } = \displaystyle{ \int f(x) \,dx } \pm \displaystyle{ \int g(x) \,dx }$

OEFENING 1 : $\displaystyle{ \int { 1 \over x^2-4 } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 1.
OEFENING 2 : $\displaystyle{ \int { 2x+3 \over x^2-9 } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 2.
OEFENING 3 : $\displaystyle{ \int { 2-x \over x^2+5x } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 3.
OEFENING 4 : $\displaystyle{ \int { x^2-1 \over x^2-16 } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 4.
OEFENING 5 : $\displaystyle{ \int { x^4+x^3+x^2+1 \over x^2+x-2 } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 5.
OEFENING 6 : $\displaystyle{ \int { x^2+x-1 \over x(x^2-1) } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 6.
OEFENING 7 : $\displaystyle{ \int { x+7 \over x^2(x+2) } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 7.
OEFENING 8 : $\displaystyle{ \int { x^5+1 \over x^3(x+2) } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 8.
OEFENING 9 : $\displaystyle{ \int { x^2-x+1 \over (x+1)^3 } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 9.
OEFENING 10 : $\displaystyle{ \int { x^3+4 \over (x^2-1)(x^2+3x+2) } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 10.
OEFENING 11 : $\displaystyle{ \int { x^3+2x-1 \over (x^2-x-2)^2 } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 11.
OEFENING 12 : $\displaystyle{ \int { \sec^2 x \over \tan^3 x - \tan^2 x } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 12.
OEFENING 13 : $\displaystyle{ \int{ x^3+8 \over (x^2-1)(x-2) } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 13.
OEFENING 14 : $\displaystyle{ \int { e^x \over (e^x-1)(e^x+3) } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 14.

BEREKENEN VAN INTEGRALEN DOOR SPLITSEN IN PARTIËELBREUKEN

Klik HIER om terug te keren naar de lijst van onderwerpen.