Trigonometric Integrals

INTEGRALEN VAN GONIOMETRISCHE FUNCTIES

Formules:
We kennen volgende formules:

Bovendien kennen we volgende eigenschappen:

A.) $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$
B.) $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$
C.) $\cos 2x = 2 \cos^2 x - 1$ zodat $\cos^2 x = \displaystyle{ 1+\cos 2x \over 2}$
D.) $\cos 2x = 1 - 2 \sin^2 x$ zodat $\sin^2 x = \displaystyle{ 1-\cos 2x \over 2}$
E.) $\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$
F.) $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ zodat $\tan^2 x = \sec^2 x - 1$
G.) $1 + \cot^2 x = \csc^2 x$ zodat $\cot^2 x = \csc^2 x - 1$

We kennen volgende formules voor afgeleiden:

Deze leiden tot volgende integraalformules:

Volgende bijkomende formules volgen uit goniometrische eigenschappen en substitutie:

7.) $\displaystyle{ \int \tan x \, \ dx } \ = \ \ln \vert \sec x \vert + C$
8.) $\displaystyle{ \int \cot x \, \ dx } \ = \ \ln \vert \sin x \vert + C$
9.) $\displaystyle{ \int \sec x \, \ dx } \ = \ \ln \vert \sec x + \tan x\vert + C$
10.) $\displaystyle{ \int \csc x \, \ dx } \ = \ \ln \vert \csc x - \cot x \vert + C$

We steunen natuurlijk ook nog steeds op volgende basisintegralen:

$\displaystyle{ \int x^n \,dx } = \displaystyle{ {x^{n+1} \over n+1 } + C }$ , met een constante $(n \ne -1 )$
$\displaystyle{ \int { 1 \over x } \,dx } = \displaystyle{ \ln \vert x\vert + C }$
$\displaystyle{ \int e^x \,dx } = \displaystyle{ e^x + C }$
$\displaystyle{ \int k f(x) \,dx } = k \displaystyle{ \int f(x) \,dx }$ , met een constante
$\displaystyle{ \int ( f(x) \pm g(x) ) \,dx } = \displaystyle{ \int f(x) \,dx } \pm \displaystyle{ \int g(x) \,dx }$

OEFENING 1 : $\displaystyle{ \int { \sin{3x} } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 1.
OEFENING 2 : $\displaystyle{ \int { \tan{5x} } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 2.
OEFENING 3 : $\displaystyle{ \int {5 \sec{4x} \tan{4x}} \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 3.
OEFENING 4 : $\displaystyle{ \int { (\sin{x} + \cos{x})^2 } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 4.
OEFENING 5 : $\displaystyle{ \int { 3 \cos^2 5x } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 5.
OEFENING 6 : $\displaystyle{ \int { (2 + \tan{x})^2 } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 6.

OEFENING 7 : $\displaystyle{ \int { \sin^3 x } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 7.

OEFENING 8 : $\displaystyle{ \int {\cos{5x} \over 3 + \sin{5x} } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 8.
OEFENING 9 : $\displaystyle{ \int { \cos^2 {x} \over 1 + \sin{x} } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening