U-Substitution

BEREKENEN VAN INTEGRALEN DOOR SUBSTITUTIE

Methode:
Basisformules:

$\displaystyle{ \int x^n \,dx } = \displaystyle{ {x^{n+1} \over n+1 } + C }$
$\displaystyle{ \int { 1 \over x } \,dx } = \displaystyle{ \ln \vert x\vert + C }$
$\displaystyle{ \int e^x \,dx } = \displaystyle{ e^x + C }$
$\displaystyle{ \int a^x \,dx } = \displaystyle{ { a^x \over \ln a } + C }$ , met a een constante
$\displaystyle{ \int \cos x \,dx } = \displaystyle{ \sin x + C }$
$\displaystyle{ \int \sin x \,dx } = \displaystyle{ -\cos x + C }$
$\displaystyle{ \int k f(x) \,dx } = k \displaystyle{ \int f(x) \,dx }$ , met k een constante
$\displaystyle{ \int ( f(x) \pm g(x) ) \,dx } = \displaystyle{ \int f(x) \,dx } \pm \displaystyle{ \int g(x) \,dx }$

Van sommige vormen vinden we gemakkelijk de primitieve functie.
B.v. We weten dat $D \{ e^x \} = e^x$ . Hieruit volgt dan ook omgekeerd dat $\displaystyle{ \int e^x \,dx } = e^x + C$ .
Bij andere vormen ligt dat vaak veel moeilijker. Substitutie kan een moeilijk ogende vorm overzichtelijk (en oplosbaar) maken.

Substitutie:
We gaan als volgt te werk:
- We stellen een vorm (b.v. een ingewikkelde exponent van een macht) gelijk aan een nieuwe variabele u.
- We zoeken het verband tussen dx en du.
- We schrijven de integraal met de nieuwe veranderlijke u. Elke x moet nu verdwenen zijn.
- We lossen de nieuwe integraal op.

Voorbeeld 1:
$\displaystyle{ \int (2x+2) e^{ x^2 + 2x + 3 } \,dx }$ ,
De exponent van e stellen we gelijk aan u: u = x²+2x+3 .
We leiden nu linker- en rechterlid af naar x:

$\displaystyle{ { du \over dx } } = 2x+2$ .
du = (2x+2) dx .

We schrijven nu de integraal opnieuw, maar zo dat alle vormen in x verdwijnen en we enkel vormen van u overhouden.

$\displaystyle{ \int (2x+2) e^{ x^2+2x+3 } \,dx } = \displaystyle{ \int e^{ x^2+2x+3 } (2x+2) \,dx }$
$= \displaystyle{ \int e^{ u } \,du }$
= e^u + C

We kunnen nu de u-vorm opnieuw vervangen door de oorspronkelijke variabele x:

= e^x²+2x+3 + C .

Voorbeeld 2: $\displaystyle{ \int { x^2+1 \over x^3+3x } \,dx }$ .
We stellen: u = x³+3x .
We leiden af:

du = (3x²+3) dx = 3(x²+1) dx ,
(1/3) du = (x²+1) dx .

We schrijven nu de integraal opnieuw in u:

$\displaystyle{ \int { x^2+1 \over x^3+3x } \,dx } = \displaystyle{ \int { 1 \over x^3+3x } \ (x^2+1) \,dx }$
$= \displaystyle{ \int { 1 \over u } (1/3) \,du }$
$= \displaystyle{ (1/3) \int { 1 \over u } \,du }$
$= (1/3) \ln\vert u\vert + C$
$= (1/3) \ln\vert x^3+3x\vert + C$ .

OEFENING 1 : $\displaystyle{ \int { (2x+5) (x^2+5x)^7 } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 1.
OEFENING 2 : $\displaystyle{ \int { (3-x)^{10} } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 2.
OEFENING 3 : $\displaystyle{ \int \sqrt{ 7x+9 } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 3.
OEFENING 4 : $\displaystyle{ \int { x^3 \over (1+x^4)^{1/3} } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 4.
OEFENING 5 : $\displaystyle{ \int { e^{5x+2} } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 5.
OEFENING 6 : $\displaystyle{ \int { 4 \cos(3x) } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 6.
OEFENING 7 : $\displaystyle{ \int { \sin( \ln x ) \over x } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 7.
OEFENING 8 : $\displaystyle{ \int { 3x+6 \over x^2+4x-3 } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 8.
OEFENING 9 : $\displaystyle{ \int { x \ 3^{ x^2+1} } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 9.
OEFENING 10 : $\displaystyle{ \int { 3 \over x \ln x } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 10.
OEFENING 11 : $\displaystyle{ \int { \cos(5x) \over e^{ \sin(5x) } } \,dx }$ .
Klik HIER voor een gedetailleerde oplossing van oefening 11.

BEREKENEN VAN INTEGRALEN DOOR SUBSTITUTIE

Klik HIER om terug te keren naar de lijst van onderwerpen.