Una teoria matematica

La teoria delle catastrofi (la TC) è un metodo matematico generale. Essa vuole proporre un modello descrittivo per rendere conto qualitativamente di fenomeni discontinui. Intende classificare queste discontinuità (o catastrofi) in base alle loro caratteristiche topologiche. Questa teoria è stata ideata da René Thom (nato nel 1923), professore di matematica all'Institut des Hautes Etudes Scientifiques à Bures-sur-Yvette (Francia). Già negli anni Sessanta Thom si occupava dell'elaborazione della TC, ma il vero successo egli lo ottenne nel 1972 con la pubblicazione di Stabilité Structurelle et Morphogénèse.

Nella prefazione al libro in questione troviamo questa affermazione di C.H. Waddington, professore di genetica animale all'università di Edimburgo:

I am honoured to have been invited to write a preface to Dr. René Thom's Stabilité Structurelle et Morphogénèse. I cannot claim to understand all of it; I think that only a relatively few expert topologists will be able to follow all his mathematical details; and they may find themselves less at home in some of the biology.^2.1

Il problema fondamentale è dunque: come un non-matematico potrebbe capire il ragionamento sofisticatissimo di Thom? La risposta è semplice: non può e non deve. A noi, basta conoscere quegli elementi della TC che hanno avuto applicazioni nei campi della linguistica e della semiotica.

Ritorniamo alla nostra definizione e cominciamo con l'ultima parte. Ogni catastrofe ha delle caratteristiche topologiche proprie che permettono di definirla nei termini di sette catastrofi elementari. La descrizione di una discontinuità richiede una matematizzazione di due specie di dimensioni: le dimensioni di controllo e le dimensioni di comportamento. Così si può enunciare il teorema secondo cui esistono soltanto sette tipi di catastrofi elementari per quattro variabili di controllo (o meno) e qualsiasi quantità di variabili di comportamento. Queste sono le sette catastrofi elementari:

I. LE CUSPIDI (una dimensione di comportamento)

1. la piega: una dimensione di controllo

2. la cuspide: due dimensioni di controllo

3. la coda di rondine: tre dimensioni di controllo

4. la farfalla: quattro dimensioni di controllo

II. GLI OMBELICHI (due dimensioni di comportamento)

5. l'iperbolico: tre dimensioni di controllo

6. l'elittico: tre dimensioni di controllo

7. il parabolico: quattro dimensioni di controllo^2.2

Ogni catastrofe elementare ha un suo centro organizzatore e un dispiegamento universale caratteristico. Questi due concetti matematici permettono di raggruppare i processi naturali in insiemi più vasti che costituiscono un ``linguaggio''^2.3. Questo ragionamento si riassume nelle sei tesidi Thom di cui diamo qui l'elenco:

1. Tout objet, ou toute forme physique, peut être représentée par un attracteur C d'un système dynamique dans un espace M de variables internes.
2. Un tel objet ne présente de stabilité, et de ce fait ne peut être aperçu, que si l'attracteur correspondant est structurellement stable.
3. Toute création ou destruction de formes, toute morphogénèse, peut être décrite par la disparition des attracteurs représentant les formes initiales et leur remplacement par capture par les attracteurs répresentant les formes finales. Ce processus, appelé catastrophe, peut être décrit sur un espace P de variables externes.
4. Tout processus morphologique structurellement stable est décrit par une (ou un système de) catastrophe(s) structurellement stable(s) sur P.
5. Tout processus naturel se décompose en îlots structurellement stables, les chréodes. L'ensemble des chréodes et la syntaxe multidimensionnelle qui régit leurs positions respectives constitue un modèle sémantique.
6. Si l'on considère une chréode C comme un mot de ce langage multidimensionnel; la signification de ce mot n'est autre que la topologie globale du (ou des) attracteur(s) associé(s) et celle des catastrophes qui la subissent. En particulier, pour un attracteur donné, la signification est définie par la géométrie de son domaine d'existence sur P et la topologie des catastrophes de régulation qui limitent ce domaine.^2.4

Ecco i principi matematico-topologici della TC che avranno la loro applicazione a fenomeni linguistici e semiotici. Essi basteranno per la comprensione del discorso di Thom sulla linguistica.