Men heeft de breuken uitgevonden omdat men wilde dat men voor elk geheel getal een omgekeerde kon aanwijzen. Daardoor werden vele problemen eenvoudiger.
Als we willen dat elke veeltermvergelijking een oplossing heeft, dan moeten we de reele getallen uitbreiden tot het grotere veld van de complexe getallen en vele uitdrukkingen worden homogener.
a + b i
'+' en i zijn voorlopig enkel symbolen.
We noemen 'a' het reele deel en 'b i' het imaginaire deel van het complex getal.
Vb :
(2 , 4.6) of 2 + 4.6i ;
(0 , 5) of 0 + 5i ;
(-5 , 36/7) of -5 + (36/7)i ;
In plaats van 0 + bi, schrijven we 5i.
In plaats van a + 0i, schrijven we a.
In plaats van 0 + 1i, schrijven we i.
De verzameling van alle complex getallen is C.
Een complex getal heeft een voorstelling in het vlak.
Neem een orthonormaal assenstel en laat met elk complex getal a+bi het punt P(a,b) overeenkomen
Punt P is een voorstelling van het complex getal. P noemt men ook het beeldpunt van het complex getal.
Als we nu het vlak beschouwen als de verzameling van alle voorstellingen, of van alle
vertegenwoordigers, van de complexe getallen, dan spreken we van 'het vlak van Gauss'.De beeldpunten van de reele getallen 'a' liggen op de x-as. Daarom zeggen we dat de x-as de reele as is.
De beeldpunten van de 'zuiver imaginaire getallen' 'bi' liggen op de y-as. Daarom zegt men dat de y-as de zuiver imaginaire as is.
|
a + bi = c + di |
|
(a + bi) + (a'+ b'i) = (a + a') + (b + b')i |
Vb. (2 + 3i) + (4 + 5i) = 6 + 8i
Als (a + bi) correspondeert met vector P in het vlak van Gauss en (a' + b'i)
correspondeert met vector P', dan hebben we :
co(P)=(a,b) en co(P')=(a',b')
=> co(P + P')=(a,b) + (a',b')
=> co(P + P')=(a + a',b + b')
Dus P + P' is de vector welke correspondeert met de som van de twee complexe getallen.
Het optellen van complexe getallen correspondeert met het optellen van vectoren in het vlak van Gauss
We defieren het product van 2 complexe getallen op een eigenaardige wijze.
(a,b).(c,d)=(ac - bd,ad + bc)
Vb. : (2 + 3i).(1 + 2i)=(-4 + 7i)
Verder zullen we een meetkundige betekenis geven aan deze vermenigvuldiging. Het belang van deze eigenaardige definitie staat in verband met :
(0,1).(0,1)=(-1,0) of anders geschreven
|
i.i = -1 of i2 = -1. |
Hier zien we het belang van de eigenaardige definitie van product:
Het reele negatieve getal -1 heeft i als een vierkantswortel!
We schrijven a + 0i als a. We schrijven 0 + 1i als i.
a . i = (a + 0i)(0 + 1i) = (0 + ai) = ai
We zien dat het product a . i hetzelfde is als de notatie a i.
We schrijven a + 0i als a. We schrijven 0 + bi als bi.
Dan is (a) + (bi) = (a + 0i) + (0 + bi) = a + bi
We zien dat de som van a en bi hetzelfde is als de notatie a + b i .
Omdat (a + bi)+((-a) + (-b)i) = 0 + 0i , noemen we (-a) + (-b)i het tegengestelde van a + bi.
We schrijven dit tegengestelde van (a + bi) als -(a + bi).
Dus, het tegengestelde van bi is (-b)i = -bi
(a + bi) - (c + di) = (a + bi) + (-c + (-d)i).
Dus,
(a + bi) - (c + di)=((a - c) + (b - d)i
en a + (-b)i=a - bi
------
a + bi = conj(a + bi) = a - bi ( conj komt van conjugate = toegevoegd )
|
______
Vb : 2 + 3i = 2 - 3i
We definieren modulus of absolute waarde van a + bi als sqrt(a2 + b2) .
We schrijven deze modulus van a + bi als |a + bi|.
Als P de vertegenwoordiger is van a + bi in het vlak van Gauss, dan is de afstand van O naar P juist de modulus van a + bi.
Vb: |3 + 4i| = 5
Steunend op de distributiviteit en gelet op i.i=-1, krijgen we :
| (a + bi).(c + di) = ac + adi + bci - bd = (ac - bd) + (ad + bc)i |
(2+3i). (5 - 2 i) = 16 + 11i
i.(3-i).i = -3 + i
Om (a + bi) te delen door (c + di), vermenigvuldigen we teller en noemer met het toegevoegd complex getal van de noemer.
(a + bi) (a + bi)(c - di)
-------- = -------------------
(c + di) ((c + di)(c - di))
(ac + bd) + i(bc - ad)
= -----------------------
(c2 + d2)
(ac + bd) (bc - ad)
= --------- + i-----------
(c2 + d2) (c2 + d2)
|
16+11i ------ = 2 + 3i 5 - 2i 15-7i ----- = -7 - 15 i i
Men kan aantonen dat er in C geen andere vierkantswortels uit a bestaan.
Als b een strikt negatief reeel getal is, dan is -b is strikt positief reeel getal en -b heeft dan 2 vierkantswortels. We noemen ze c en -c.
Dus -b = c2 = (-c)2 ; maar dan is b = (ic)2 = (-ic)2
| i. sqrt(-b) en -i. sqrt(-b) zijn de 2 vierkantswortels uit het negatieve getal b. |
Vb :
3i en -3i zijn de 2 vierkantswortels uit -9.
i en -i zijn de 2 vierkantswortels uit -1.
a.i en -a.i zijn de 2 vierkantswortels uit -a2.
a.b.i en -a.b.i zijn de 2 vierkantswortels uit - a2b2.
Men kan aantonen dat er in C geen andere vierkantswortels uit b bestaan.
We zoeken reele waarden voor x en y zo dat
(x + iy)(x + iy) = a + ib (1)
<=> x2 - y2 + 2xyi = a + bi (2)
<=> x2 - y2 = a en 2xy = b (3)
Omdat b niet 0 is , y niet 0 is
<=> x2 - y2 = a en x = b/(2y)
b2 b
<=> ---- - y2 = a en x = ---- (4)
4y2 2y
De eerste vergelijking uit (4) geeft ons y en de tweede geeft de overeenkomstige x-waarde.
stel t = y2 in de eerste vergelijking van (4) dan komt er na enig gereken
4t2 + 4at - b2 = 0 (5)
Noem r = modulus van a + bi
De discriminant = 16(a 2+ b2) = 16r2
We noemen de wortels t1 en t2. Er komt
<=> t1 = (- a + r)/2 en t2 = (- a - r)/2 (6)
Daar y reeel is en r > a is, zal t1 groter zijn dan 0 en dit geeft ons de waarden van y.
y1 = sqrt((r - a)/2) en y2 = -sqrt((r - a)/2) (7)
De overeenkomstige x waarden zijn
x1 = b/(2.y1) and x2 = b/(2.y2) (8)
Merk op dat de gevonden oplossingen tegengestelde complexe getallen zijn.
Dus Elk niet reeel complex getal heeft twee tegengestelde complexe vierkantswortels.
Ze kunnen berekend worden met behulp van (7) en (8).
|
De twee vierkantswortels uit a+bi zijn (x +yi) en -(x +yi) met y = sqrt((r - a)/2) en x = b/(2.y) Hierin is r de modulus van a + bi Er is een tweede methode om de twee vierkantswortels te vinden. Deze methode wordt iets verder op deze pagina voorgesteld. |
Vb1. We berekenen de vierkantswortels uit 3 + 4i.
|3 + 4i| = 5 ; y = sqrt((5 -3)/2) = 1 en x = 4/2 = 2 de vierkantswortels uit 3 + 4i zijn 2 + i en -2 - iVb2. We berekenen de vierkantswortels uit 6 + 8i
|6 + 8i| = 10 ; y = sqrt((10 - 6)/2) = sqrt(2)
en x = 8/(2 sqrt(2)) = 2 sqrt(2)
de vierkantswortels uit 6 + 8i zijn
(2 sqrt(2) + sqrt(2)i) en -(2 sqrt(2) + sqrt(2)i)
We weten reeds dat r = sqrt(a2 + b2) de modulus is van a + bi.
We noteren die modulus als |a+bi|.
We weten ook dat het punt P(a,b) in het vlak van Gauss een voorstelling is van a + bi.
Het snijpunt S van [OP met de goniometrische cirkel is S( cos(t) , sin(t) ).
Dat getal t, een aantal radialen, noemen we een argument van a + bi.
We zeggen een argument omdat ook t + 2.k.pi argumenten zijn. Hier en in alle volgende uitdrukkingen van die vorm stelt k een geheel getal voor.
|
a + ib = r (cos(t) + i sin(t)) |
r(cos(t) + i sin(t)) noemen we de goniometrische voorstelling van a+bi.
Voorbeeld :
i = 1(cos(pi/2) + i sin(pi/2))
1+i = sqrt(2).( cos(pi/4) + i sin(pi/4) )
3+4i = 5 ( cos(0.927295218002) +i sin(0.927295218002) )
r(cos(t) + i sin(t)) = r'(cos(t') + i sin(t'))
<=> r = r' en t = t' + 2.k.pi
Voorbeeld:
r(cos(t) + i sin(t)) = sqrt(2).( cos(pi/4) + i sin(pi/4) )
<=> r = sqrt(2) en t = pi/4 + 2.k.pi
r(cos(t) + i sin(t)).r'(cos(t') + i sin(t')) = rr'(cos(t).cos(t') - sin(t)sin(t') + i cos(t)sin(t') +i sin(t)cos(t')) = rr'(cos(t+t') + i sin(t + t'))Regel: Om twee complexe getallen te vermenigvuldigen, vermenigvuldigen we de moduli en we tellen de argumenten op.
Deze regel is vanzelfsprekend uitbreidbaar voor een product van meerdere complexe getallen.
Oefening:
Teken de complexe getallen c1=1+i en c2=2-i in het vlak van Gauss.
Teken ook het product c3=3+i.
Meet van elk van die getallen de modulus en stel vast dat |c1|.|c2| = |c3|
Meet van elk van die getallen het argument en stel vast dat
het argument van c1 + het argument van c2 = het argument van c3.
Voorbeeld
5 ( cos(1.2) + i sin(1.2) ) * 4 ( cos(-0.2) + i sin(-0.2) ) = 20 (cos(1)+ i sin(1))
|
r(cos(t) + i sin(t)). r'(cos(t') + i sin(t')) = r r'(cos(t+t') + i sin(t + t')) |
Teken in het vlak van Gauss een complex getal c (vector) en vermenigvuldig dit complex getal met i. Stel vast dat het resultaat ook ontstaat door c in positieve zin te roteren, om O, over een rechte hoek.
Teken twee complexe getallen met modulus 1 en construeer het product.
| Het toegevoegde van r(cos(t) + i sin(t)) is r(cos(-t) + i sin(-t)) |
Teken twee toegevoegde complexe getallen. Construeer het product. Stel vast dat het product reeel is.
Bewijs dat het product van twee toegevoegde getallen altijd reeel is.
1 r(cos(t) - i sin(t))
-------------------- = ----------------------------------------
r(cos(t) + i sin(t)) r(cos(t) + i sin(t)).r(cos(t)- i sin(t))
r(cos(t) - i sin(t)) 1
= ---------------------- = -.(cos(-t) + i sin(-t))
r2 r
Regel: Om een complex getal te inverteren nemen we het inverse van de modulus en het tegengestelde
van het argument.
1 1
-------------------- = -.(cos(-t) + i sin(-t))
r(cos(t) + i sin(t)) r
|
Teken een complex getal en zijn inverse in het vlak van Gauss.
r(cos(t) + i sin(t)) 1
----------------------- = r(cos(t) + i sin(t)).----------------------
r'(cos(t') + i sin(t')) r'(cos(t') + i sin(t'))
1
= r(cos(t) + i sin(t)) . ---(cos(-t') + i sin(-t'))
r'
r
= - .(cos(t - t') + i sin(t - t')
r'
Regel: Om twee complex getallen te delen, delen we de moduli en we maken het verschil van de argumenten.
Met deze regel hebben we een meetkundige interpretatie van het quotient van complexe getallen.
r(cos(t) + i sin(t)) r ----------------------- = - .(cos(t - t') + i sin(t - t') r'(cos(t') + i sin(t')) r' |
Voorbeeld:
5 ( cos(1.2) + i sin(1.2) ) ---------------------------- = 1.25 ( cos(1.4) + i sin(1.4) ) 4 ( cos(-0.2) + i sin(-0.2))
|
( r (cos(t) + i sin(t)) )n = rn .(cos(nt) + i sin(nt)) |
Voorbeeld: ( 2( cos1.2 + i sin1.2 ) )5 = 32( cos 6 + i sin 6 )
Bereken (1+i)5 ; (omvorm eerst 1+i naar goniometrische vorm)
|
(cos(t) + i sin(t))n = cos(nt) + i sin(nt) |
(r(cos(t) + i sin(t)))-n = (1/r)n (cos(-t) + i sin(-t))n = (1/r)n (cos(-nt) + i sin(-nt))Voorbeeld: (cos(0.1) + i sin(0.1))-10 = (cos(-1) + i sin(-1)) = (cos(1) - i sin(1))
c en c' zijn 2 complexe getallen
We schrijven conj(c) voor het toegevoegde van c.
Met vorige formules is het gemakkelijk aan te tonen dat
conj(c.c') = conj(c).conj(c') (uitbreidbaar voor n factoren) conj(c/c') = conj(c)/conj(c') conj(c + c') = conj(c) + conj(c') |c.c'| = |c|.|c'| (uitbreidbaar voor n factoren) |c/c'| = |c|/|c'| |
(c')n = c
<=> (r')n (cos(nt') + i sin(nt')) = r(cos(t) + i sin(t))
<=> (r')n = r en nt' = t + 2k.pi
<=> r'= positieve nde machtswortel uit r en t' = t/n + 2 k pi/n
Daar we r en t kennen, is het eenvoudig r' en de verschillende waarden van t' te berekenen.
Als we deze resultaten bekijken in het vlak van Gauss, dan zien we juist n verschillende wortels uit c. De beeldpunten vormen de hoekpunten van een regelmatige veelhoek.
|
Een complex getal c = r(cos(t) + i sin(t)) heeft juist n n-de machtswortels. Het spreekt vanzelf dat ook op deze manier de twee vierkantswortels uit een complex getal kunnen berekend worden.
Een complex getal c = r(cos(t) + i sin(t)) heeft juist 2 vierkantswortels. |
Voorbeeld 1
We berekenen de vierkantswortels uit (-32 + 32.sqrt(3).i)
De modulus is r = 64. Het argument is (2.pi/3).
De vierkantswortels zijn 8(cos(pi/3) + i sin(pi/3)) en -8(cos(pi/3) + i sin(pi/3))
Voorbeeld 2
We berekenen de zesde machtswortels uit (-32 + 32.sqrt(3).i)
De modulus is r = 64. Het argument is (2.pi/3).
De wortels zijn 2( cos(pi/9 + 2 k pi/6) + i sin(pi/9 + 2 k pi/6) ) met k = 0,1,..,5
In het vlak van Gauss krijgen we een regelmatige zeshoek.
Oefening:
Discriminant = -4. De twee wortels uit die discriminant zijn 2i en -2i.
De twee wortels van de vierkantsvergelijking zijn -1 + i en -1 -i.
We moeten de vierkantswortels vinden uit 3 + 4i.
De modulus is 5; het argument is 0.9273
The vierkantswortels hebben modulus 2.2360 en argument 0.463647 of -0.463647.
De twee wortels van de vierkantsvergelijking zijn 2+i and -2-i.
Discriminant = 4.
De twee wortels van de vierkantsvergelijking zijn i en i-2.
De som is -(2-i)/i = 1 + 2i
Het product is (3 -2i)/i = -2 -3i
| 1 -i 1+i 1
i | i 0 i-1
--------------------------
1 0 1+i i
Het quotient is x2 +1+i en de rest is i
x3 - i x2 + (1+i)x +1 | x - i
x3 - i x2 |________________
----------------------- x2 + (1+i)
(1+i)x +1
(1+i)x -i + 1
--------------
i
Het quotient is x2 +1+i en de rest is i
We vervangen x door (-2i) in x3- c x2 + (1+i)x +1
We vinden 4 c + 6 i + 3. Deze rest moet 0 zijn.
c = -3/2 i - 3/4
| Elke veeltermvergelijking met complexe coefficienten met graad n > 0, heeft juist n wortels in C. |
Bewijs:
We geven een bewijs voor n=3, maar de methode is algemeen.
Zij P(x)=0 de vergelijking.
Met d'Alembert zeggen we dat P(x)=0 minstens 1 wortel heeft in C.
Vandaar P(x)=0 <=> (x-b)Q(x)=0 met Q(x) van graad 2.
Met d'Alembert zeggen we dat Q(x)=0 minstens 1 wortel heeft in C.
Vandaar P(x)=0 <=> (x-b)(x-c)Q'(x)=0 met Q'(x) van graad 1.
Met d'Alembert zeggen we dat Q'(x)=0 minstens 1 wortel heeft in C.
Vandaar P(x)=0 <=> (x-b)(x-c)(x-d)Q"(x)=0 met Q"(x) van graad 0. Q"(x) is een constante a.
Vandaar P(x)=0 <=> a(x-b)(x-c)(x-d)=0 .
Zo zien we dat P(x)=0 juist 3 wortels heeft.
Opm : Men kan aantonen dat de wortels van een veeltermvergelijking niet afhangen
van de volgorde waarin ze gekozen worden.
| Als c een wortel is van een veeltermvergelijking met reele coefficienten, dan is conj(c) ook een wortel |
P(x) = a x3 + b x2 + d x + e
Daar c een wortel is van P(x) = 0 , hebben we
a c3 + b c2 + d c + e = 0
=> conj(a c3 + b c2 + d c + e)= 0
=> a conj(c)3 + b conj(c)2 + d conj(c)+ e = 0
=> conj(c) is een wortel van P(x) = 0.
Toepassing :
Zoek een vierkantsvergelijking met reele coefficienten zodat 2 -3i een wortel is.
Oplossing:
Als de vierkantsvergelijking reele coefficienten heeft
moet het toegevoegde complex getal 2+3i ook een wortel zijn.
De som van de wortels is dan 4 en het product is 13. De gevraagde vierkantsvergelijking is
x2 -4x + 13 = 0.
P(x) = a x5 + bx4 + cx3 + dx2 + ex + f We ontbinden deze veelterm: P(x) = a(x-g)(x-h)(x-i)(x-j)(x-k) Dan P(x) = a(x5 - (g+h+i+j+k)x4 + ...+(-1)5 g h i j k) Vandaar , -a(g+h+i+j+k) = b en a((-1)5 g h i j k) = f De som van de wortels is -b/a Ze is geldig voor elke veeltermvergelijking ! Het product van de wortels is (-1)5 f/a Voor een veeltermvergelijking a xn + b xn-1 + ... + l van graad n hebben we Het product van de wortels is (-1)n l/a .Voorbeeld:
