Exponentiele en Logaritmische functies

Exponentiele functies
- Definitie
- Grafiek en eigenschappen
Logaritmische functies
Het getal e
Afleiden van logaritmische functies
Afgeleide van een exponentiele functie
- Belangrijke formules
- Afgeleiden berekenen van exponentiele functies ; voorbeelden
Afgeleide van een reele macht van x
Afgeleide van u^v
- Afgeleiden van u^v ; voorbeelden
Limieten en de l'Hospital
Uitgewerkte oefeningen

Exponentiele functies

Grafiek en eigenschappen

f(x) = een exponentiele functie met a > 1.
g(x) = een exponentiele functie met 0 < a < 1.

Uit de grafieken zien we dat

het domein is R
het bereik is de verzameling van de strikt positieve getallen
de functie is continu in zijn domein
de functie is stijgend voor a > 1 en dalend als 0 < a < 1
de x-as is een horizontale asymptoot

Voorbeelden:

 
y = 3^x  ; y = 0.5^x ; y = 10^0.2x-1

Logaritmische functies

Definitie en basiseigenschappen

Neem a > 0 en verschillend van 1 . Daar de exponentiele functie

 
f : R -> R : x -> a^x

ofwel stijgt ofwel daalt is de inverse functie gedefinieerd. Deze inverse functie heet de logaritmische functie met grondtal a. We noteren ze

 
        log_a(x)

        log₁₀(x) wordt kortweg geschreven als  log(x)

Dus,

log_a(x) = y <=> a^y = x

Het domein van de logaritmische functie is de verzameling van de strikt positieve getallen en het bereik is R.
Voorbeelden:

 
         log₂(8) = 3 ;  log₃(sqrt(3)) = 0.5 ; log(0.01) = -2

Uit de definitie volgt onmiddellijk dat

voor x > 0 hebben we a^log_a(x) = x en voor alle x hebben we log_a(a^x) = x

Voorbeeld: log(10^2x+1) = 2x+1

Grafiek

f(x) = een logaritmische functie met a > 1.
g(x) = een logaritmische functie met 0 < a < 1.

Uit de grafieken leiden we af dat

het bereik is R
het domein is de verzameling van de strikt positieve getallen
de functie is continu in zijn domein
de functie is stijgend als a > 1 en dalend als 0 < a < 1
de y-as is verticale asymptoot

Voorbeelden:

 
log₂(x) ; log(2x+4) ; log_0.5(x)

Eigenschappen

In de volgende 3 eigenschappen hebben alle logaritmische functies een grondtal a > 0. Voor de eenvoud van notatie laten we het grondtal voorlopig weg.

log(x.y) = log(x) + log(y)
Bewijs :

 
Zij     log(x.y) = u dan  a^u  = x.y    (1)

Zij     log(x) = v  dan   a^v  = x      (2)

Zij     log(y) = w  dan   a^w  = y      (3)

Uit (1) , (2) en (3)

        a^u  = a^v  . a^w

=>     a^u  = a^{v + w}

=>      u = v + w

Dus,

log_a(x.y) = log_a(x) + log_a(y)

Op dezelfde wijze toont men aan dat

log_a(x/y) = log_a(x) - log_a(y)

Voor elke reele r hebben we :

log_a(x^r ) = r.log_a(x)

Voorbeelden:

 
  log(x² y³) = 2 log(x) + 3 log(y)

  log(x² / y³) = 2 log(x) - 3 log(y)

  log( x^y )= y log(x)

       1
  log ------ = log(1) - log((xy)³) = -3log(xy) = -3 (log(x)+log(y))
      (xy)³

  log(2x) + log(3x) = log(6x²)

  3log(x) + a log(x) = (3+a) log(x) = log(x^3+a)

  0.5 log(x) = log(sqrt(x))

Toon aan dat x^log(y) / y^log(x) = 1

De opgave impliceert dat x en y positief zijn, daardoor kunnen we schrijven:

 
   x^log(y) / y^log(x) = 1
<=>
   x^log(y) = y^log(x)
<=>
   log( x^log(y) ) = log( y^log(x) )
<=>
   log(y).log(x) = log(x).log(y)

Veranderen van het grondtal van een logaritmische functie

Soms kan het nuttig zijn om het grondtal van een logaritmische functie te wijzigen.
Stelling : Voor elk strikt positief reeel getal a en b, verschillend van 1, hebben we

1 log_a(x) =( -------) . log_b(x) log_b(a)

Bewijs:
tonen aan dat

 
 log_b(a) . log_a(x) =  log_b(x)

Zij  log_b(a) = u  dan b^u  = a         (1)

Zij  log_a(x) = v  dan a^v  = x (2)

Zij  log_b(x) = w  dan b^w  = x (3)

Uit (2) en (3) hebben we

        a^v  = b^w

Steunend op  (1)

         b^u.v = b^w
dus,
        u.v  = w


=>   log_b(a) . log_a(x) =  log_b(x)

Het berekenen van beelden van een logaritmische functie met een rekentoestel

Voorbeelden:

 
   log(12.5) = 1.0969

   log₂(12) = log(12)/log(2) = 3.58496

   log(1/154)= -log(154) = -2.1875

   log₇(0.5¹⁴) = 14 log(0.5)/log(7) = -4.9869

   log(-12.4) is niet gedefinieerd

Logaritmische schaal

Plot men een functie , die een vergelijking heeft die gebracht kan worden in de vorm y = 10^ax+b , met een logaritmische schaal op de y-as, dan wordt de grafiek een rechte met rico a.
Plot men een functie , die een vergelijking heeft die gebracht kan worden in de vorm y = log(a.x^p) , met een logaritmische schaal op de x-as, dan wordt de grafiek een rechte met rico p.
Plot men een functie , die een vergelijking heeft die gebracht kan worden in de vorm y = a.x^p , met een logaritmische schaal op de x-as en op de y-as, dan wordt de grafiek een rechte met rico p.

Het getal e

Een speciale limiet omtrent de afgeleide van de exponentiele functie

We proberen de afgeleide functie van de exponentiele functie te berekenen

 
        f(x) = a^x

Steunend op de definitie van de afgeleide kunnen we schrijven

 
                     (f(x+h)-f(x))
        f'(x) = lim ---------------
               h->0        h

                     a^x+h - a^x
              = lim ------------
                h->0     h

                     a^x (a^h  - 1)
              = lim -----------
                h->0     h

                        (daar a^x  constant is ten opzichte van  h )

                          (a^h  - 1)
              = a^x  . lim -----------
                     h->0     h

Nu is ,
             (a^h  - 1)
        lim ----------- is een constante welke alleen van het grondtal a afhangt.
        h->0     h

Men kan aantonen dat er een uniek grondtal a bestaat zo dat die limiet juist 1 is.
Deze heel speciale waarde van a noemen we het getal e.
Dus,

 
             (e^h  - 1)
        lim ----------- = 1
        h->0     h

Het getal e als limiet

De uitdrukking

 
             (e^h  - 1)
        lim ----------- = 1
         0       h

betekent dat voor heel heel kleine waarden van h geldt:

 
        e^h  - 1  is bijna gelijk aan  h

<=>     e^h   is bijna gelijk aan  h +1

<=>     e is  bijna gelijk aan (1 + h)^1/h

Dus,

e = lim (1 + h)^1/h = 2.718 28... 0

Of, als we stellen t = 1/h

e = lim (1 + 1/t)^t = 2.718 28... infty

Het getal e speelt in de wiskunde een enorm belangrijke rol. We beginnen reeds die rol toe te kennen door te vermelden dat de exponentiele functie met vergelijking y = e^x veel eigenschappen toepassingen heeft.

Definitie van ln(x)

De logaritmische functie met grondtal e wordt genoteerd ln(x). Dus,

log_e(x) = ln(x)

Omvormen van een exponentiele functie met grondtal a naar een exponentiele functie met grondtal e

In de toegepaste wiskunde worden exponentiele functies met een grondtal verschillend van e weinig gebruikt.
Dit komt omdat een exponentiele functie met een grondtal a kan omgezet worden naar een exponentiele functie met grondtal e.
We tonen nu aan hoe een willekeurige exponentiele functie kan omvormd worden tot een exponentiele functie met grondtal e.

Zij verder a een vast strikt positief getal.

 
  a^k  = e^r  <=> ln(a^k) = r <=> r = k.ln(a)

Dan is

 (a^k)^x  = (e^r)^x  <=>   r = k.ln(a)  voor alle x

of ook

  a^kx  = e^rx  <=>   r = k.ln(a)  voor alle x

De functies A.a^kx en A.e^rx zijn identieke functies als en slechts als r = k.ln(a)

Voorbeeld:

Afgezien van de afrondingsfout van de getallen geldt :

 
    14 . 3^2.7x  is dezelfde functie als 14 . e^2.97x

    6 . (0.25)^-x  is dezelfde functie als 6 . e^1.39x

Het werken met de laatste uitdrukkingen hebben tal van voordelen bij algebraisch rekenwerk.

Zo is het product van de twee functies uit vorig voorbeeld veel eenvoudiger uit te werken als we schrijven
14 e^{2.97 x} 6 e^{1.39 x} in plaats van 14 3^2.7x 6 (0.25)^-x.

Halveringswaarde van een exponentiele functie

Neem de functie e^-rx met r > 0. Het is een dalende functie.
We geven aan x een vaste startwaarde a. We hebben dan het beeld y₁ = e^-ra.
Voor hogere x-waarden vinden we kleinere beelden.
We laten de x-waarde vanaf a met een waarde h stijgen. Dus x varieert van a tot a+h. y₂ = e^-r(a+h) < y₁.

We onderzoeken nu voor welke h het beeld y₂ de helft is van het beeld y₁.

 
      y₂ = (1/2) y₁

<=>   e^-r(a+h) = (1/2)  e^-ra

<=>   e^-ra  e^-rh = (1/2)  e^-ra

<=>          e^-rh = (1/2)

<=>      - rh = ln(1/2)

<=>      - rh = ln(1) -ln(2)

<=>       - rh = -ln(2)

<=>        h = ln(2)/r

Als we de x-waarde met ln(2)/r vermeerderen, dan zal het beeld van e^-rx gedaald zijn tot de helft van zijn startwaarde. Merkwaardig hierbij is dat ln(2)/r onafhankelijk is van die gekozen startwaarde a.

Dit betekent dat het beeld gehalveerd wordt als men een willekeurige startwaarde van x vermeerdert met ln(2)/r.

Daarom heet ln(2)/r de halveringswaarde van de functie e^-rx.

Voorbeeld: Neem de functie y = e^-0.5x

De halveringswaarde is ln(2)/0.5 = 1.386

Oefening: plot de grafiek en merk op dat, als men een startwaarde van x met 1.386 verhoogt, het beeld gehalveerd wordt.

Afleiden van logaritmische functies

Afgeleide van een logaritmische functie

In volgend deeltje hebben alle logaritmische functies grondtal a. Voor de eenvoud van notatie laten we het grondtal tijdelijk weg.

 
Zij f(x) = log(x) , dan

                     (f(x+h)-f(x))
        f'(x) = lim ---------------
               h->0        h

                     (log(x+h)-log(x))
<=>     f'(x) = lim -------------------
               h->0        h

                     log( (x+h)/x )
<=>     f'(x) = lim -------------------
               h->0        h

                     1
<=>     f'(x) = lim --- . log( (x+h)/x )
               h->0  h

<=>     f'(x) = lim  log( (x+h)/x )^1/h
               h->0

<=>     f'(x) = lim  log( (x+h)/x )^1/h
               h->0

<=>     f'(x) = lim  log(1 + h/x)^1/h
               h->0

<=>     f'(x) = lim  log((1 + h/x)^x/h )^1/x
               h->0

<=>     f'(x) = lim  (1/x).log(1 + h/x)^x/h
               h->0

<=>     f'(x) =(1/x). lim  log(1 + h/x)^x/h
                      h->0

<=>     f'(x) =(1/x). lim  log(1 + h/x)^x/h
                     h/x->0


<=>     f'(x) =(1/x).log  lim  (1 + h/x)^x/h
                         h/x->0


<=>     f'(x) =(1/x).log(e)


<=>     f'(x) =(1/x).ln(e)/ln(a)

<=>     f'(x) =(1/x)/ln(a)

                   1
<=>     f'(x) = ----------
                 x. ln(a)

Belangrijke Formules

Zij u een afleidbare functie van x.

d 1 -- log_a(x) = ---------- dx x. ln(a) d 1 -- log_a(u) = ---------- . u' dx u. ln(a) d 1 -- ln(x) = --- dx x d 1 -- ln(u) = ---.u' dx u

Het berekenen van afgeleiden van logaritmische functies ; voorbeelden

 
  y = ln(2x²+6)

  y' = (1/(2x²+6)). 4x
---------------------------

  y = ln²(x)

  y' = 2 ln(x) . (1/x)
---------------------------

  y = ln(1/x)

  y'= x.(-1/x²) = -1/x
---------------------------

  y = ln(ln(x))

  y'= (1/ln(x)) . (1/x)
---------------------------

  y = x³ ln(x)

  y'= (3x²).ln(x) + (x³).(1/x) = (3x²).ln(x) + x²
---------------------------

  y = log₃(x²)

  y'= (1/(x².ln(3)).(2x) = 2/(x ln(3))
---------------------------

  y = ln(x)/x


       x.(1/x) - ln(x)       1 - ln(x)
  y'= ------------------ = ------------
           x²                x²
---------------------------

  y = ln(sqrt(2x²+x))

  we herschrijven y

  y = 0.5 ln(2x²+x)

            4x+1
  y'= 0.5 ----------
           2x²+x
---------------------------

  y = sqrt(ln(x²))

         1
  y'= --------------- .(2/x)
      2 sqrt(ln(x²))

Afgeleide van een exponentiele functie

 
Zij f(x) = a^x, dan zijn  log_a(a^x ) en  x identieke  functies.
Ze hebben dus dezelfde afgeleide
Dus,

           1
        ---------- .(a^x )' = 1
        a^x .ln(a)


        d
<=>    ---(a^x ) = a^x .ln(a)
        dx

Belangrijke formules

Zij u een afleidbare functie van x.

d ---(a^x ) = a^x .ln(a) dx d --(e^x ) = e^x dx d --(a^u ) = a^u .ln(a).u' dx d --(e^u ) = e^u .u' dx

Afgeleiden berekenen van exponentiele functies ; voorbeelden

 
  y = x.e^-5x

  y'= e^-5x + x.(-5)e^-5x
---------------------------

  y = 3^2x

  y'=  3^2x ln(3) 2 =  3^2x ln(9)
---------------------------

  y = e^x/x²

       x² e^x - e^x 2x
  y'= ------------------
           x⁴
       e^x (x-2)
    = ------------
          x³
---------------------------

  y = (3e)^x

  y'=  (3e)^x ln(3e) =  (3e)^x (ln3 +lne) = (3e)^x (ln3 + 1)

---------------------------
  y = arcsin(2^x)

        2^x ln(2)
  y'= -----------------
       sqrt(1-2^2x)

Afgeleide van een reele macht van x

 
Zij f(x) = x^r met r een reeel getal.

   x^r = e^r.ln(x)
=>
   d
   --(x^r) = e^r.ln(x).(r.ln(x))'
   dx

           = x^r.r.(1/x)

           = r.x^r-1

Dus,

Voor elk reeel getal r, hebben we

 
   d
   --(u^r) = r.u^r-1.u'
   dx

Afgeleide van u^v

Zij u = f(x) en v = g(x), dan

 
   u^v = e^v.ln(u)

   d
   --(u^v) = e^v.ln(u).(v.ln(u))'
   dx

           = u^v . (v' ln(u) + v.(1/u).u'

           = v u^v-1 u' + u^v.ln(u).v'

 
   d
   --(u^v) = v u^v-1 u' + u^v.ln(u).v'
   dx

Afgeleiden van u^v ; voorbeelden

 
  y = x^x

  y'= x^x ln(x) + x x^x-1 = x^x (1 + ln(x))
---------------------------

  y = (ln(x))^2x

  y'= (ln(x))^2x ln(ln(x)).2 + 2x.(ln(x))^2x-1 (1/x)
---------------------------

  y = (e^x)^x

  we herschrijven y:  y = e^x²

  y'=  e^x² 2x

Limieten en de l'Hospital

We geven enkele voorbeelden van het gebruik dan de regel van de l'Hospital

 
             ln(x)           1/x
        lim ------- =  lim ------- = 0
       infty   x      infty   1

 
              xⁿ         n.x^n-1
        lim ------ = lim ---------
       infty  e^x           e^x

             n.(n-1)x^n-2
      = lim --------------
               e^x

      = ...

              n!
      = lim ------  = 0
              e^x

 
                            ln(x)        1/x
        lim x ln(x) =   lim ------ = lim ------ = - lim x = 0
         0                   1/x        -1/x²

 
        lim x^x = lim e^x.ln(x) = e^{lim x.ln(x)}
         0        0

        en door vorig voorbeeld

        = e⁰ = 1

 
        lim (cos(x))^1/x
         0

        = lim e^{(1/x).ln(cos(x))}
           0

        = e^{lim (1/x).ln(cos(x))}


      maar  lim (1/x).ln(cos(x))
             0
                 ln(cos(x))
        = lim ---------------
           0        x
               -sin(x)/cos(x)
        = lim ---------------- = 0
           0       1

Dus,      lim (cos(x))^1/x = e⁰ = 1
         0

 
      lim ( x ln(e + 1/x) -x )
    infty


    = lim  x ( ln(e + 1/x) - 1)


            ln(e + 1/x) - 1
    = lim  -----------------
                 1/x

              -1/x²
    = lim -------------------
          (e + 1/x) . (-1/x²)

    = 1/e

De limieten van functies van de vorm u^v waarbij u en v functies van x zijn, kunnen ook via een omweg berekend worden. De omweg bestaat hierin dat we eerst de limiet berekenen van de natuurlijke logaritme van de gegeven functie. Eenmaal dit klaar is, passen we de omgekeerde bewerking toe op het resultaat

We berekenen de volgende limiet voor x --> + oneindig

 
      lim  x^1/x

Eerst berekenen we

 
      lim ln( x^1/x ) = lim (1/x) ln(x)  = lim  ln(x)/x    ( geval oneindig / oneindig)

         met  de l'Hospital

     = lim 1/x = 0

De oorspronkelijke limiet is dan e⁰ = 1

We berekenen de volgende rechter limiet voor x --> 0 .

 
 lim ( tan(x) )^x

Eerst berekenen we

 
  lim ln ( tan(x) )^x = lim x.ln(tan(x))   ( geval 0.oneindig )

         ln (tan(x))
  = lim --------------    ( geval oneindig / oneindig)
             1/x

         met  de l'Hospital

              - x²
  = lim --------------------
         tan(x) cos²(x)

             x²
  = - lim ----------
           tan(x)

             x
  = - lim --------- . x  = 1.0 = 0
            tan(x)

De oorspronkelijke limiet is dan e⁰ = 1.

We berekenen de volgende rechter limiet voor x --> 0 .

 
  lim sin(x)^sin(x)

Eerst berekenen we

 
  lim ln sin(x)^sin(x)


= lim sin(x) ln(sin(x))    ( geval 0.oneindig )

          ln(sin(x)
= lim ----------------       ( geval oneindig / oneindig)
        ( 1/ sin(x))


         met  de l'Hospital


       ( 1/ sin(x)).cos(x)
= lim -------------------------
       (-1/ sin²(x)) . cos(x)


       ( 1/ sin(x))
= lim -----------------
       (-1/ sin²(x))


= - lim sin(x)  = 0

De oorspronkelijke limiet is dan e⁰ = 1.

Uitgewerkte oefeningen

Opgeloste oefeningen over exponentiele en logaritmische functies vind je via deze link

Engelse tutorial op het net over dit onderwerp

Exponentiele and Logaritmische functies (pdf -- 10 paginas)

MATH-abundance - tutorial

Zend alle vragen, foutmeldingen en opmerkingen naar jcinfo@telenet.be
Het onderwerp of subject van de mail moet het woord 'wiskunde' bevatten omdat andere mails weggefilterd worden.