Home
geschiedenis
formules
bewijzen
weetjes
het getal
kwis
poëzie
literatuur
links
news

Bewijzen

Verschillende eigenschappen kunnen aan p worden toegeschreven.

Klik op de bullets om meer detail te bekomen

  • Pi is irrationeel
    • Een irrationeel getal is een getal dat niet kan uitgedrukt worden door de breuk van twee gehele getallen
    • Bewezen door Lambert in 1771
    • kort en bondig

      • Veronderstel p is rationeel Þ $ a,b gehele getallen zodat p = a/b

      • Voor eender welk natuurlijk getal n definiëren we de functies f en F als volgt

        f(x) = xn(a-bx)n/n!

        F(x) = f(x) + ... + (-1)jf(2j)(x) + ... + (-1)nf(2n)(x)

      • f en F hebben dan volgende eigenschappen :
        1. f is a polynoom met coëfficiënten die gehele getallen zijn, buiten de factor 1/n!
        2. f(x) = f(p-x)
        3. 0 <= f(x) <= pnan/n! voor 0 <= x <= p
        4. Voor 0 <= j < n, de j-de afgeleide van f is nul bij 0 en p
        5. Voor n <= j, de j-de afgeleide van f is een geheel getal bij 0 en p (afgeleid uit (1)en(2))
        6. F(0) en F(p) zijn gehele getallen (afgeleid uit (4) en (5))
        7. F + F '' = f
        8. (F '·sin - F·cos)' = f·sin   (afgeleid uit (7))
      • Bijgevolg is de integraal over f·sin van 0 tem p een geheel getal
        Voor n echter groot genoeg is zegt (3) dat de integraal zich tussen 0 en 1 moet bevinden.
        Dit kan niet, dus is de veronderstelling verkeerd en is p irrationeel
    • iets anders en stap voor stap

      • We veronderstellen weer dat p rationeel is
        Þ         p2 is ook rationeel
        Þ$ a,b gehele getallen zodat p2 = a/b

      • Vermits lim(n®¥) (an/n!) = 0 volgt $ M > 0 zodat als N >= M, aN/N! < 1/p, of p·aN/N! < 1

      • Definieer de functie f(x) = xN·(1-x)N/N!
        dit geeft voluit : f(x) = 1/N! · (cN xN + cN+1 xN+1 + ··· + c2N x2N) waar elke cN is een geheel getal.
        Voor gehele getallen k zodat N <= k <= 2N vindt men f(k)(x) = (1/N!)·å(n=k..2N){[n!/(n-k)!]·cn·x(n-k)}

      • Merk op dat f(0)(x) = (-1)0·f(0)(1-x) vermits f(x) = xN·(1-x)N/N!=(1-x)N·xN/N! = f(1-x)
        Veronderstel nu dat voor een geheel getal k : f(k)(x) = (-1)k·f(k)(1-x) Þ
            f(k+1)(x) = d/dx[f(k)(x)] Þ
            f(k+1)(x) = d/dx[(-1)k·(-1)·f(k+1)(x)] Þ
            f(k+1)(x) = (-1)(k+1)·f(k+1)(x)
        De formule is dus juist voor positieve gehele getallen.
        Voor waarden van k zodat 0£k<N is elke term in f(k)(0) = 0 en f(k)(1) = (-1)k·f(k)(0) = 0
        Voor waarden van k zodat N£k£2N heeft enkel de eerste term geen positieve macht van x. Hieruit volgt dat f(k)(0) = k!·ck/N! een geheel getal is want k >= N. 
        f(k)(1)=f(k)(0) is bijgevolg ook een geheel getal.

      • Definieer nu de functie F(x) = bN·å(j=0..N){(-1)j·p(2(N-j))·f(2j)(x)} = å(j=0..N){(-1)j·a(N-j)·bj·f(2j)(x)}
        F(0) en F(1) zijn allebei gehele getallen en F(0) + F(1) dus ook

      • Definieer nu de functie g(x) = F'(x)·sin(p.x) - p·F(x)·cos(p.x)
        g'(x) = F"(x)·sin(p·x) + p·F'(x)·cos(p·x) - p·F'(x)·cos(p·x) + p2·F(x)·sin(p·x)
        g'(x) = [F"(x) + p2·F(x)]·sin(p·x)
        Nu is
        F(x) = bN·[p2N·f(x) - p2N-2·f"(x) + p2N-4·f(4)(x) - ··· + (-1)j·f(2N)(x)] en
        F"(x) = bN·[p2N·f"(x) - p2N-2·f(4)(x) + p2N-4·f(6)(x) - ··· + (-1)j·f(2N+2)(x)] en
        p2·F(x) = bN·[p2N+2·f(x) - p2N·f"(x) + p2N-2·f(4)(x) - ··· + (-1)j·p2·f(2N)(x)]
        Vermits f(x) een polynoom is van 2N-de graad is f(2N+2)(x) = 0 voor alle x dus
        F"(x) + p2·F(x) = bN·p2N+2·f(x) dus
        g'(x) = bN·p2N+2·f(x)·sin(p·x) = [aN/p(2n)]·p2N+2·f(x)·sin(p·x) = p2·aN·f(x)·sin(p·x)

      • Vermits g(x) een continue functie is in [0,1] en g'(x) bestaat in ]0,1[ bestaat er een c Î ]0,1[ waarvoor g(1) - g(0) = g'(c). Nu is g(1) = F'(1)·sinp - p·F(1)(-1) = p·F(1) en g(0) = F'(0)·sin0 - p·F(0)(1) = -p·F(0) dus g(1) - g(0) = p·[F(1) + F0)] en dus p·[F(1)+F(0)] = p2·aN·f(x)·sin(p·c) en dus F(1) + F(0) = p·aN·f(c)·sin(p·c)
        Vermits 0<c<1, 0<sin(p·c)<1 en 0<1-c<1. Vermits f(c) = cN·(1-c)N/N! volgt hieruit dat 0<p·aN·f(c)<p·aN/N!<1
        Hieruit volgt dat 0<p·aN·f(c)·sin(p·c)<1 en dus 0<F(0)+F(1)<1 zodat er een geheel getal tussen 0 en 1 moet zijn. Dit is niet het geval Þ  p is irrationeel

  • Pi is transcendentaal
    • Een transcendentaal getal is een getal dat geen oplossing is van een (eindige) polynoom met gehele getallen
    • Bewezen door Lindemann in 1882
  • Pi is normaal in het tientallig stelsel ?
    • Een normaal getal in basis 10 is een irrationeel getal waarbij elk getal tussen 0 en 9 evenveel voorkomt
      Dit blijkt inderdaad (statistisch) te kloppen bij de decimalen die reeds berekend werden
      Een getal is normaal indien het normaal is in elke basis
    • Dit is bij mijn weten nog niet bewezen, de kans om in de geschiedenisboeken terecht te komen ligt hier voor u open
  • Pi is geen Liouville getal
    • Een irrationeel getal b is een Liouville getal indien voor elke n gehele getallen p en q bestaan zodat 0 < |b-p/q|< 1/qn
    • Bewezen door Mahler in 1953

Notatie f(k)(x) = k-de afgeleide van de functie f(x)