Home
geschiedenis
formules
bewijzen
weetjes
het getal
kwis
pozie
literatuur
links
news

Bewijzen


Verschillende eigenschappen kunnen aan p worden toegeschreven.

Klik op de bullets om meer detail te bekomen

  • Pi is irrationeel
    • Een irrationeel getal is een getal dat niet kan uitgedrukt worden door de breuk van twee gehele getallen
    • Bewezen door Lambert in 1771
    • kort en bondig
      • Veronderstel p is rationeel $ a,b gehele getallen zodat p = a/b

      • Voor eender welk natuurlijk getal n definiren we de functies f en F als volgt

        f(x) = xn(a-bx)n/n!

        F(x) = f(x) + ... + (-1)jf(2j)(x) + ... + (-1)nf(2n)(x)

      • f en F hebben dan volgende eigenschappen :
        1. f is a polynoom met cofficinten die gehele getallen zijn, buiten de factor 1/n!
        2. f(x) = f(p-x)
        3. 0 <= f(x) <= pnan/n! voor 0 <= x <= p
        4. Voor 0 <= j < n, de j-de afgeleide van f is nul bij 0 en p
        5. Voor n <= j, de j-de afgeleide van f is een geheel getal bij 0 en p (afgeleid uit (1)en(2))
        6. F(0) en F(p) zijn gehele getallen (afgeleid uit (4) en (5))
        7. F + F '' = f
        8. (F 'sin - Fcos)' = fsin   (afgeleid uit (7))
      • Bijgevolg is de integraal over fsin van 0 tem p een geheel getal
        Voor n echter groot genoeg is zegt (3) dat de integraal zich tussen 0 en 1 moet bevinden.
        Dit kan niet, dus is de veronderstelling verkeerd en is p irrationeel
    • iets anders en stap voor stap
      • We veronderstellen weer dat p rationeel is
        p2 is ook rationeel
        $ a,b gehele getallen zodat p2 = a/b

      • Vermits lim(n) (an/n!) = 0 volgt $ M > 0 zodat als N >= M, aN/N! < 1/p, of paN/N! < 1

      • Definieer de functie f(x) = xN(1-x)N/N!
        dit geeft voluit : f(x) = 1/N! (cN xN + cN+1 xN+1 + + c2N x2N) waar elke cN is een geheel getal.
        Voor gehele getallen k zodat N <= k <= 2N vindt men f(k)(x) = (1/N!)(n=k..2N){[n!/(n-k)!]cnx(n-k)}

      • Merk op dat f(0)(x) = (-1)0f(0)(1-x) vermits f(x) = xN(1-x)N/N!=(1-x)NxN/N! = f(1-x)
        Veronderstel nu dat voor een geheel getal k : f(k)(x) = (-1)kf(k)(1-x)
            f(k+1)(x) = d/dx[f(k)(x)]
            f(k+1)(x) = d/dx[(-1)k(-1)f(k+1)(x)]
            f(k+1)(x) = (-1)(k+1)f(k+1)(x)
        De formule is dus juist voor positieve gehele getallen.
        Voor waarden van k zodat 0k<N is elke term in f(k)(0) = 0 en f(k)(1) = (-1)kf(k)(0) = 0
        Voor waarden van k zodat Nk2N heeft enkel de eerste term geen positieve macht van x. Hieruit volgt dat f(k)(0) = k!ck/N! een geheel getal is want k >= N. 
        f(k)(1)=f(k)(0) is bijgevolg ook een geheel getal.

      • Definieer nu de functie F(x) = bN(j=0..N){(-1)jp(2(N-j))f(2j)(x)} = (j=0..N){(-1)ja(N-j)bjf(2j)(x)}
        F(0) en F(1) zijn allebei gehele getallen en F(0) + F(1) dus ook

      • Definieer nu de functie g(x) = F'(x)sin(p.x) - pF(x)cos(p.x)
        g'(x) = F"(x)sin(px) + pF'(x)cos(px) - pF'(x)cos(px) + p2F(x)sin(px)
        g'(x) = [F"(x) + p2F(x)]sin(px)
        Nu is
        F(x) = bN[p2Nf(x) - p2N-2f"(x) + p2N-4f(4)(x) - + (-1)jf(2N)(x)] en
        F"(x) = bN[p2Nf"(x) - p2N-2f(4)(x) + p2N-4f(6)(x) - + (-1)jf(2N+2)(x)] en
        p2F(x) = bN[p2N+2f(x) - p2Nf"(x) + p2N-2f(4)(x) - + (-1)jp2f(2N)(x)]
        Vermits f(x) een polynoom is van 2N-de graad is f(2N+2)(x) = 0 voor alle x dus
        F"(x) + p2F(x) = bNp2N+2f(x) dus
        g'(x) = bNp2N+2f(x)sin(px) = [aN/p(2n)]p2N+2f(x)sin(px) = p2aNf(x)sin(px)

      • Vermits g(x) een continue functie is in [0,1] en g'(x) bestaat in ]0,1[ bestaat er een c ]0,1[ waarvoor g(1) - g(0) = g'(c). Nu is g(1) = F'(1)sinp - pF(1)(-1) = pF(1) en g(0) = F'(0)sin0 - pF(0)(1) = -pF(0) dus g(1) - g(0) = p[F(1) + F0)] en dus p[F(1)+F(0)] = p2aNf(x)sin(pc) en dus F(1) + F(0) = paNf(c)sin(pc)
        Vermits 0<c<1, 0<sin(pc)<1 en 0<1-c<1. Vermits f(c) = cN(1-c)N/N! volgt hieruit dat 0<paNf(c)<paN/N!<1
        Hieruit volgt dat 0<paNf(c)sin(pc)<1 en dus 0<F(0)+F(1)<1 zodat er een geheel getal tussen 0 en 1 moet zijn. Dit is niet het geval   p is irrationeel

  • Pi is transcendentaal
    • Een transcendentaal getal is een getal dat geen oplossing is van een (eindige) polynoom met gehele getallen
    • Bewezen door Lindemann in 1882
  • Pi is normaal in het tientallig stelsel ?
    • Een normaal getal in basis 10 is een irrationeel getal waarbij elk getal tussen 0 en 9 evenveel voorkomt
      Dit blijkt inderdaad (statistisch) te kloppen bij de decimalen die reeds berekend werden
      Een getal is normaal indien het normaal is in elke basis
    • Dit is bij mijn weten nog niet bewezen, de kans om in de geschiedenisboeken terecht te komen ligt hier voor u open
  • Pi is geen Liouville getal
    • Een irrationeel getal b is een Liouville getal indien voor elke n gehele getallen p en q bestaan zodat 0 < |b-p/q|< 1/qn
    • Bewezen door Mahler in 1953

Notatie f(k)(x) = k-de afgeleide van de functie f(x)