Formules
verschillende methodes bestaan om p te berekenen
-
Algoritmes
-
Gauss-Legendre algoritme
- Initiële waarden
a = 1
b = 1/sqrt(2)
t = 1/4
x = 1 - Herhaal het volgende tot het verschil tussen a en b de gewenste
precisie bereikt
y = a
a = (a+b)/2
b = sqrt(b·y)
t = t - x·(y-a)2
x = 2·x - p is ongeveer ((a+b)2) / (4·t)
- Convergentie : # iteraties =~ log2 (# cijfers)
- c-programma
- Initiële waarden
-
Borchardt-Pfaff algoritme
- Initiële waarden
a0 = 2·sqrt(3)
b0 = 3 - Herhaal het volgende
an+1 = (2·an·bn)/(an+bn)
bn+1 = sqrt(an+1·bn) - p ligt ergens tussen b en a
- Initiële waarden
-
Borwein algoritme
- Initiële waarden
x0 = sqrt(2)
p0 = 2 + sqrt(2)
y1 = 21/4 - Herhaal het volgende
xn+1 = 1/2·[xn1/2 + xn-1/2] , n >= 0
yn+1 = (yn·xn1/2 + xn-1/2)/(Yn + 1) , n >= 1
pn = pn-1·(xn + 1)/(yn + 1) , n >= 1 - p is ongeveer pn
- Convergentie : pn - p < 10^(-2n+1) , n > 1
- Initiële waarden
-
Ramanujan algoritme I
- Initiële waarden
a0 = 6 - 4·sqrt(2)
z0 = sqrt(2) - 1 - Herhaal het volgende
zn+1 = {1 - [1 - (zn)4]1/4} / {1 + [1 - (zn)4]1/4}
an+1 = (1 + zn+1)4·an - 22n+3·zn+1·[1 + zn+1 + (zn+1)2] - p is ongeveer 1/an
- Convergentie : 0 < an
- 1/p < 4n+2·e^(-2·p·4n)
Dit is een 4de-orde convergentie : elke iteratie geeft 4 keer meer correcte cijfers
- Initiële waarden
-
Ramanujan algoritme II
- Initiële waarden
s0 = 5 (sqrt(5) - 2)
a0 = 1/2 - Herhaal het volgende
x = 5/sn - 1
y = (x-1)2 + 7
z = [(x/2)·(y + sqrt(y2 - 4·x3)]1/5
sn+1 = 25 / [(z + (x/z) + 1)2 · sn]
an+1 = (sn2 · an) - 5n · { (sn2 - 5)/2 + sqrt[sn · (sn2 - 2·sn + 5)] } - p is ongeveer 1/an
- Convergentie : 0 < an
- 1/p < 16 . 5n .
e^(-p.5n)
Dit is een 5de-orde convergentie : elke iteratie geeft 5 keer meer correcte cijfers
- Initiële waarden
-
-
Formules
- p/4
p
= 4·arctan( 1
) - arctan ( 1
) 4 5 239 p
= arctan (1) 4 ... zie hier
- p/4
-
Reeksen
-
François Viète 2/p (1593)
2
= sqrt(2)
· sqrt(2 + sqrt(2))
· sqrt(2 + sqrt(2 + sqrt(2)))
· ··· p 2 2 2 -
Wallis p/2 (1655)
p = 2·2·4·4·6·6·8·8 ··· 2
1·3·3·5·5·7·7·9 ···
-
Brouncker 4/p (1658)
4
= 1 + 12
p 2 + 32
2 + 52
2 + 72
2 + 92
2 + ··· -
Newton p/6 (1665)
p
= 1
+ 1
· ( 1
) + 1·3
· ( 1
) + 1·3·5
· ( 1
) + ··· 6 2 2 3·23 2·4
5·25 2·4·6 7·27 -
Gregory arctan (1671)
arctan(x) = x - x3
+ x5
- x7
+ ··· 3 5 7 -
Leibnitz p/4 (1674)
p
= 1
- 1
+ 1
- 1
+ ··· 4 1 3 5 7 -
Euler p2/6 (1748)
p2
= 1
+ 1
+ 1
+ 1
+ ··· 6 12 22 32 42 -
Ramanujan 1/p I
1
= sqrt(8)
· [ (4.0)! · (1103 + 26390·0)
+ (4.1)! · (1103 + 26390 · 1)
+ ··· ] p 9801 (0!)4 · 3964·0 (1!)4 · 3964·1 -
Ramanujan 1/p II
1
= 12 · å(n=0..¥) { (-1)n · (6·n)!
· 13591409 + n·545140134
} p (n!)3 · (3·n)! (6403203)(n+1/2) -
Ramanujan 1/p III
1
= 12 · å(n=0..¥) { (-1)n · (6·n)!
· A + n·B
} p (n!)3 · (3·n)! C(n+1/2) met A = 212175710912 · sqrt(61) + 1657145277365 B = 13773980892672 · sqrt(61) + 107578229802750 C = [5280 · (236674 + 30303 · sqrt(61))]3 -
Ramanujan ...
-
Bailey-Borwein-Plouffe p
p = å(n=0..¥){( 4
- 2
- 1
- 1
).( 1
)n} 8.n+1 8.n+4 8.n+5 8.n+6 16 Deze reeks laat toe de n-de hexadecimaal te berekenen zonder de vorige
c-programma -
p/2
p
= 1 + 1
( 1
) + 1·3
( 1
) + 1·3·5
( 1
) + ··· 2 2 3 2·4 5 2·4·6 7 -
4/p
4
= 1 + 1
( 1
)2 + 1
( 1·3
)2 + 1
( 1·3·5
)2 + ··· p 2 2 3 2·4 4 2·4·6 -
p4/90
p4
= 1
+ 1
+ 1
+ 1
+ ··· 90 14 24 34 44 -
p3/32
p3
= 1
- 1
+ 1
- 1
+ ··· 32 13 33 53 73 -
p2/12
p2
= 1
+ 1
+ 1
- 1
+ 1
- ··· 12 12 22 32 42 52 -
p/2
p
= 3
· 5
· 7
· 11
· 13
· 17
· 19
· 23
· ··· 2 2 6 6 10 14 18 18 22
-
-
Statistische methodes
-
Monte Carlo methode
- x,y Î ]-1,1[ Þ P( (x2 + y2) < 1 ) = p/4
- indien men N keer een getal x en y kiest tussen -1 en 1 en daarbij x2 + y2 M keer kleiner is dan 1 kan is p @ 4·M/N
- Java demonstratie
-
De naald van Buffon
- Neem een tafel met parrallelle lijnen op een afstand d van elkaar en een naald met lengte L. Indien je de naald laat vallen kan deze wel of niet een lijn op de tafel kruisen. De kans dat de naald een lijn kruist = 2·L/(p·d)
- Indien men de naald dus N keer laat vallen en ze de lijnen M keer kruist dan is p @ 2·L·N/d·M (als d en L even groot zijn dan blijft enkel 2N/M over !)
- Java demonstratie
-