Home
geschiedenis
formules
bewijzen
weetjes
het getal
kwis
pozie
literatuur
links
news

Formules


verschillende methodes bestaan om p te berekenen

  • Algoritmes

    • Gauss-Legendre algoritme

      • Initile waarden
        a = 1
        b = 1/sqrt(2)
        t = 1/4
        x = 1
      • Herhaal het volgende tot het verschil tussen a en b de gewenste precisie bereikt
        y = a
        a = (a+b)/2
        b = sqrt(by)
        t = t - x(y-a)2
        x = 2x
      • p is ongeveer ((a+b)2) / (4t)
      • Convergentie : # iteraties =~ log2 (# cijfers)
      • c-programma
    • Borchardt-Pfaff algoritme

      • Initile waarden
        a0 = 2sqrt(3)
        b0 = 3
      • Herhaal het volgende
        an+1 = (2anbn)/(an+bn)
        bn+1 = sqrt(an+1bn)
      • p ligt ergens tussen b en a
    • Borwein algoritme

      • Initile waarden
        x0 = sqrt(2)
        p
        0 = 2 + sqrt(2)
        y1 = 21/4
      • Herhaal het volgende
        xn+1 = 1/2[xn1/2 + xn-1/2] , n >= 0
        yn+1 = (ynxn1/2 + xn-1/2)/(Yn + 1) , n >= 1
        p
        n = pn-1(xn + 1)/(yn + 1) , n >= 1
      • p is ongeveer pn
      • Convergentie : pn - p < 10^(-2n+1) , n > 1
    • Ramanujan algoritme I

      • Initile waarden
        a
        0 = 6 - 4sqrt(2)
        z0 = sqrt(2) - 1
      • Herhaal het volgende
        zn+1 = {1 - [1 - (zn)4]1/4} / {1 + [1 - (zn)4]1/4}
        a
        n+1 = (1 + zn+1)4an - 22n+3zn+1[1 + zn+1 + (zn+1)2]
      • p is ongeveer 1/an
      • Convergentie : 0 < an - 1/p < 4n+2e^(-2p4n)
        Dit is een 4de-orde convergentie : elke iteratie geeft 4 keer meer correcte cijfers
    • Ramanujan algoritme II

      • Initile waarden
        s0 = 5 (sqrt(5) - 2)
        a0 = 1/2
      • Herhaal het volgende
        x = 5/sn - 1
        y = (x-1)2 + 7
        z = [(x/2)(y + sqrt(y2 - 4x3)]1/5
        sn+1 = 25 / [(z + (x/z) + 1)2 sn]
        an+1 = (sn2 an) - 5n { (sn2 - 5)/2 + sqrt[sn (sn2 - 2sn + 5)] }
      • p is ongeveer 1/an
      • Convergentie : 0 < an - 1/p < 16 . 5n . e^(-p.5n)  
        Dit is een 5de-orde convergentie : elke iteratie geeft 5 keer meer correcte cijfers
  • Formules

    • p/4

      p

       = 4arctan(

      1

      ) - arctan (

      1

      )
      4 5 239

      p

      = arctan (1)
      4

      ... zie hier

  • Reeksen

    • Franois Vite 2/p (1593)

      2

       =  

      sqrt(2)

         

      sqrt(2 + sqrt(2))

         

      sqrt(2 + sqrt(2 + sqrt(2)))

       
      p 2 2 2
    • Wallis p/2 (1655)

      p = 22446688

      2

      13355779

    • Brouncker 4/p (1658)

      4

       = 1 + 

      12

      p 2 + 

      32

      2 + 

      52

      2 + 

      72

      2 + 

      92

      2 +
    • Newton p/6 (1665)

      p

       = 

      1

       + 

      1

        ( 

      1

       )  + 

      13

        ( 

      1

       ) + 

      135

        ( 

      1

       ) +
      6 2 2 323

      24

      525 246 727
    • Gregory arctan (1671)

      arctan(x) = x -

      x3

       + 

      x5

       - 

      x7

       +  
      3 5 7  
    • Leibnitz p/4 (1674)

      p

      =

      1

      -

      1

      +

      1

      -

      1

       +
      4 1 3 5 7
    • Euler p2/6 (1748)

      p2

       = 

      1

       + 

      1

       + 

      1

       + 

      1

       +
      6 12 22 32 42
    • Ramanujan 1/p I

      1

       = 

      sqrt(8)

        [

      (4.0)! (1103 + 263900)

      +

      (4.1)! (1103 + 26390 1)

       + ]
      p 9801 (0!)4 39640 (1!)4 39641
    • Ramanujan 1/p II

      1

       = 12 (n=0..)  { (-1)n

      (6n)!

        

      13591409 + n545140134

       }
      p (n!)3 (3n)! (6403203)(n+1/2)

      c programma

    • Ramanujan 1/p III

      1

       = 12 (n=0..)  { (-1)n

      (6n)!

        

      A + nB

       }
      p (n!)3 (3n)! C(n+1/2)
      met
      A = 212175710912  sqrt(61) + 1657145277365
      B = 13773980892672  sqrt(61) + 107578229802750
      C = [5280  (236674 + 30303  sqrt(61))]3
    • Ramanujan ...

      • steeds sneller convergerende, maar steeds complexere reeksen kunnen met de methode van Ramanujan gevonden worden, voor meer uitleg zie hier.
        Zie hier voor nog andere formules van deze merkwaardige Indir.
    • Bailey-Borwein-Plouffe p

      p = (n=0..){(

      4

      -

      2

      -

      1

      -

      1

      ).(

      1

      )n}
      8.n+1 8.n+4 8.n+5 8.n+6 16

      Deze reeks laat toe de n-de hexadecimaal te berekenen zonder de vorige
      c-programma

    • p/2

      p

       = 1 +

      1

      (

      1

      ) +

      13

      (

      1

      ) +

      135

      (

      1

      ) +
      2 2 3 24 5 246 7
    • 4/p

      4

       = 1 + 

      1

      (

      1

      )2

      1

      (

      13

      )2

      1

      (

      135

      )2 +
      p 2 2 3 24 4 246
    • p4/90

      p4

       = 

      1

       + 

      1

       + 

      1

       + 

      1

       +
      90 14 24 34 44
    • p3/32

      p3

       = 

      1

       - 

      1

       + 

      1

       - 

      1

       +
      32 13 33 53 73
    • p2/12

      p2

       = 

      1

       + 

      1

       + 

      1

       - 

      1

       +

      1

      -
      12 12 22 32 42 52
    • p/2

      p

       = 

      3

        

      5

        

      7

        

      11

        

      13

        

      17

        

      19

        

      23

       
      2 2 6 6 10 14 18 18 22
  • Statistische methodes

    • Monte Carlo methode

      • x,y ]-1,1[ P( (x2 + y2) < 1 ) = p/4
      • indien men N keer een getal x en y kiest tussen -1 en 1 en daarbij x2 + y2 M keer kleiner is dan 1 kan is p @ 4M/N
      • Java demonstratie
    • De naald van Buffon

      • Neem een tafel met parrallelle lijnen op een afstand d van elkaar en een naald met lengte L. Indien je de naald laat vallen kan deze wel of niet een lijn op de tafel kruisen. De kans dat de naald een lijn kruist = 2L/(pd)
      • Indien men de naald dus N keer laat vallen en ze de lijnen M keer kruist dan is p @ 2LN/dM (als d en L even groot zijn dan blijft enkel 2N/M over !)
      • Java demonstratie