Home
geschiedenis
formules
bewijzen
weetjes
het getal
kwis
poëzie
literatuur
links
news

Geschiedenis


De eerste waardes van p, waaronder de bijbelse waarde van 3, zijn bijna zeker gevonden door metingen.
Lange tijd werd er van uitgegaan dat Babyloniërs in Mesopotanië voor de oppervlakte van een cirkel drie keer het kwadraat van de straal namen. In 1936 echter heeft men in Susa, een paar honderd kilometer van Babylon, een aantal kleitabletten gevonden waar vanuit één van deze kleitabletten kan worden afgeleid dat de schrijver de waarde 3 1/8 heeft gebruikt om de oppervlakte van een cirkel uit te rekenen. In het Egyptische Rhind Papyrus, van ongeveer 1650 BC werd 4(8/9)2 = 3.16 gebruikt als waarde voor p. In de Bijbeltekst uit 1 Koningen 7:23 wordt het metaalwerk van de tempel van Salomo's paleis beschreven waarbij 3 als waarde van p wordt genomen.

2000 BC Babyloniërs 3 1/8
1650 BC Egypte 3.16
1200 BC China 3
550 BC Bijbel 3

De eerste theoretische berekening werd uitgevoerd door Archimedes van Syracuse (287-212 BC). Hij verkreeg de benadering 223/71 < p < 22/7 mbv veelhoeken kleiner en groter dan een cirkel.

Met behulp van dezelfde theoretische methode als Archimedes zijn Ptolemy, Tsu Ch'ung Chi, al'Khwarizmi, Al'Kashi, Viète, Roomen, Van Ceulen verder gegaan in de berekeningen om meer precieze resultaten te bekomen.

220 BC Archimedes 223/71
150 AD Ptolemy 3.1416
480 AD Tsu Ch'ung Chi 355/133
800 AD Al'Khwarizmi 3.1416
1430 AD Al'Kashi 14 cijfers
1580 AD Viète 9 cijfers
1590 AD Roomen 17 cijfers
1600 AD Van Ceulen 35 cijfers

Al'Khwarizmi woonde in Bagdad, en gaf zijn naam aan 'algoritme', terwijl de woorden al jabr in de titel van een v/z boeken ons het woord 'algebra' gaf. 

Ludolph Van Ceulen besteedde een groot deel van zijn leven aan de berekening van p, zijn benadering tot op 35 cijfers verkreeg hij mbv van veelzijden met 262 zijden. Op zijn grafsteen in de Pieterskerk in Leiden werd het getal dat hij berekende gegraveerd. Het getal p wordt soms ook Ludolphs constante genoemd.

De Europese Renaissance bracht een nieuwe wiskundige wereld waaronder wiskundige formules voor de waarde van p. Een van de eerste was van Wallis (1616-1703)

    2/p = (1.3.3.5.5.7. ...)/(2.2.4.4.6.6. ...) 

en een van de meest bekende 

    p/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ....

Deze formule wordt soms aan Leibniz (1646-1716) toegeschreven maar blijkt eerder te zijn ontdekt door James Gregory (1638- 1675).

Om p met enige precisie te berekenen zijn de vorige formules niet zo interessant omdat men zeer veel termen nodig heeft.

Gregory toonde echter aan dat   tan-1x = x - x3/3 + x5/5 - ...  (-1 £ x £ 1)
samen met p/4 = tan-1(1/2) + tan-1(1/3) geeft dit een sneller convergerende reeks

In 1706 vond Machin volgende formule : p/4 = 4 tan-1(1/5) - tan-1(1/239)

1699 AD Sharp gebruikt Gregory's methode 71 cijfers
1701 AD Machin verbeterde de methode  100 cijfers
1719 AD de Lagny op basis van Machin-Gregory 112 cijfers
1789 AD Vega 126 cijfers
1794 AD Vega  136 cijfers
1841 AD Rutherford 152 cijfers
1853 AD Rutherford 440 cijfers
1873 AD Shanks  707 cijfers waarvan
527 cijfers correct

Shanks wist dat p irrationeel was vermits dit bewezen was in 1761 door Lambert. Kort na Shanks' berekening toonde Lindemann aan dat p transcendentaal is, ttz, p is geen oplossing van een polynoom met coëfficiënten die gehele getallen zijn. In feite toont het resultaat van Lindemann aan dat de 'kwadratuur van de cirkel' onmogelijk is. De transcendentaliteit van p impliceert dat men met meetlat en kompas geen vierkant kan construeren dat even groot is in oppervlakte als een gegeven cirkel.

Zeer kort na Shanks' berekening werd een statistische curiositeit ontdekt door De Morgan, in de laatste van de 707 cijfers was een opmerkelijk tekort aan 7s. Hij vermeldt dit in Budget of Paradoxes van 1872 en dit blijft een curiositeit tot in 1945 wanneer Ferguson ontdekt dat Shanks een fout had gemaakt op de 528ste plaats, waarna de cijfers verkeerd waren. In 1949 werd de computer ENIAC gebruikt om p tot 2037 plaatsen te berekenen.

Het gebruik van het symbool p.
In 1647 gebruikte Oughtred het symbool d/p als ratio van de diameter van een cirkel tot zijn omtrek. David Gregory (1697) gebruikte p/r als ratio van de omtrek tot de straal. Het eerste gebruik van p met de huidige betekenis was van een wiskundige uit Wales William Jones in 1706 wanneer hij schrijft : 3.14159 andc. = p. Euler gebruikt het symbool in 1737 in zijn veel gelezen 'Introductio' en het werd snel de standaard notatie.

Vanaf 1949 werd de computer gebruikt om p steeds preciezer te berekenen.
Een onvolledig overzicht met de belangrijkste mijlpalen en het laatste record (20-9-1999)

1949 G.W. Reitwiesner ea. ENIAC 2.037
1954 S.C. Nicholson & J. Jeenel  NORC 3.092
1958 F. Genuys  IBM 704 10.000
1961  W. Shanks & T.W. Wrench Jr. IBM 7090 100.625
1973 J. Guilloud & M. Bouyer CDC 7600 1.001.250
1983 Y. Kanada, S. Yoshino & Y. Tamura  HITAC M-280H 16.777.206
1987 Y. Kanada, Y. Tamura, Y. Kubo, etc.  NEC SX-2 134.214.700 
1989 G.V. Chudnovsky & D.V. Chudnovsky  IBM 3090 1.011.196.691
1997 D. Takahashi & Y. Kanada HITACHI SR2201 51.539.600.000
1999 D. Takahashi & Y. Kanada HITACHI SR8000 206.158.430.000