|
|
Machten
Algemeen:
De machtsverheffing wordt als volgt geschreven: xy, waarbij
x het grondtal is, y wordt de macht genoemd. Wat deze bewerking nu
juist doet, blijkt uit de volgende voorbeelden:
- 23 = 2 x 2 x 2 = 8
- 34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81
Men vermenigvuldigt x dus y keer met zichzelf. Dit kan uitgebreid
worden naar breuken:
- (1/2)4 = 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/16
- (2/3)3 = 2/3 x 2/3 x 2/3 = 23/33 = 8/27
Bij breuken is het dus toegelaten om teller en noemer apart tot de
macht te verheffen.
Uitbreiding:
Het is nu ook toegestaan om negatieve getallen als macht te gebruiken.
Wat dit betekent blijkt uit de volgende voorbeelden:
- 2-3 = 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/8
- (2/3)-2 = 3/2 x 3/2 = 9/4
Hieruit blijkt dat het grondtal gewoon omgekeerd moet worden. 2 = 2/1
wordt dus 1/2, 2/3 wordt 3/2.
Een verdere uitbreiding zijn breuken als machten, of negatieve grondtallen,
maar dat zou ons te ver leiden. Wel nog dit speciaal geval:
- x0 = 1
Elk getal, behalve nul zelf, dat tot de macht nul wordt genomen,
geeft als uitkomst 1.
Bewerkingen:
Enkele bewerkingen (a, b en y zijn willekeurige getallen):
- ya x yb = ya + b
- (ya)b = ya x b
- ya/yb = ya - b
Exponenten en exponentiële notatie
Algemeen:
Dit mechanisme wordt nu gebruikt om zeer grote of zeer kleine getallen
makkelijk weer te geven. Men gebruikt hiervoor de machten of exponenten
van 10 (exponent wil ongeveer zeggen: hou het grondtal gelijk, en
variëer de machten). We weten immers:
- 100 = 1
- 101 = 10
- 102 = 10 x 10 = 100
- 103 = 10 x 10 x 10 = 1000
- 104 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10000
- 105 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 100000
Als we nu bijvoorbeeld de lichtsnelheid nemen: 300 000 000 m/s, kunnen
we dit schrijven als 3 x 100 000 000 m/s = 3 x 108 m/s. Dit
is veel eenvoudiger dan telkens alle nullen op te schrijven. De macht
van 10, in dit geval 8, geeft tevens aan hoeveel nullen er in het
oorspronkelijke getal stonden.
Dit kan ook met negatieve machten:
- 10-1 = 1/10 = 0,1
- 10-2 = 1/10 x 1/10 = 0,01
- 10-3 = 1/10 x 1/10 x 1/10 = 0,001
- 10-4 = 1/10 x 1/10 x 1/10 x 1/10 = 0,0001
Zeer kleine getallen kunnen dan bijvoorbeeld als volgt weergegeven
worden: 0,000 000 032 = 3,2 x 0,000 000 01 = 3,2 x 10-8,
wat weer eenvoudiger is als het hele getal. De macht , hier -8, geeft
nu aan hoeveel nullen er voor het eerste getal stonden.
Notaties:
Er worden nu verschillende standaardnotaties gebruikt.
· In de wetenschappelijke notatie staat er in het grondtal één getal
voor de komma, bv.: 3,2 x 108.
· Een computer werkt in principe met de komma voor het eerste getal,
bv.: 0,32 x 105.
· Nog veel gebruikt zijn exponenten deelbaar door drie. Dit komt namelijk
goed uit in SI-eenheden. Zo is 1 km = 1000 m = 103 m.
Men krijgt dan bijvoorbeeld:
- 0,000 000 045 m = 45 x 10-9 m = 45 nm (nanometer).
· Op rekenmachines en computers ziet men ook vaak: 4,33E6 of iets
dergelijks. Dit wil gewoon zeggen: 4,33 x 106.
Bewerkingen:
Dit zijn gewoon machten met grondtal tien. We krijgen dus bijvoorbeeld:
- (5 x 10-1) x (4 x 103) = 20 x 102
- (5 x 10-1)/(4 x 103) = 5/4 x 10-4
|