Machten en exponenten

Machten

Algemeen:
De machtsverheffing wordt als volgt geschreven: xy, waarbij x het grondtal is, y wordt de macht genoemd. Wat deze bewerking nu juist doet, blijkt uit de volgende voorbeelden:
23 = 2 x 2 x 2 = 8
34 = 3 x 3 x 3 x 3 = 81
Men vermenigvuldigt x dus y keer met zichzelf. Dit kan uitgebreid worden naar breuken:
(1/2)4 = 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/16
(2/3)3 = 2/3 x 2/3 x 2/3 = 23/33 = 8/27
Bij breuken is het dus toegelaten om teller en noemer apart tot de macht te verheffen.

Uitbreiding:
Het is nu ook toegestaan om negatieve getallen als macht te gebruiken. Wat dit betekent blijkt uit de volgende voorbeelden:

2-3 = 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/8
(2/3)-2 = 3/2 x 3/2 = 9/4
Hieruit blijkt dat het grondtal gewoon omgekeerd moet worden. 2 = 2/1 wordt dus 1/2, 2/3 wordt 3/2.
Een verdere uitbreiding zijn breuken als machten, of negatieve grondtallen, maar dat zou ons te ver leiden. Wel nog dit speciaal geval:
x0 = 1
Elk getal, behalve nul zelf, dat tot de macht nul wordt genomen, geeft als uitkomst 1.

Bewerkingen:
Enkele bewerkingen (a, b en y zijn willekeurige getallen):

ya x yb = ya + b
(ya)b = ya x b
ya/yb = ya - b

Exponenten en exponentiŽle notatie

Algemeen:
Dit mechanisme wordt nu gebruikt om zeer grote of zeer kleine getallen makkelijk weer te geven. Men gebruikt hiervoor de machten of exponenten van 10 (exponent wil ongeveer zeggen: hou het grondtal gelijk, en variŽer de machten). We weten immers:
100 = 1
101 = 10
102 = 10 x 10 = 100
103 = 10 x 10 x 10 = 1000
104 = 10 x 10 x 10 x 10 = 10000
105 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 100000
Als we nu bijvoorbeeld de lichtsnelheid nemen: 300 000 000 m/s, kunnen we dit schrijven als 3 x 100 000 000 m/s = 3 x 108 m/s. Dit is veel eenvoudiger dan telkens alle nullen op te schrijven. De macht van 10, in dit geval 8, geeft tevens aan hoeveel nullen er in het oorspronkelijke getal stonden.
Dit kan ook met negatieve machten:
10-1 = 1/10 = 0,1
10-2 = 1/10 x 1/10 = 0,01
10-3 = 1/10 x 1/10 x 1/10 = 0,001
10-4 = 1/10 x 1/10 x 1/10 x 1/10 = 0,0001
Zeer kleine getallen kunnen dan bijvoorbeeld als volgt weergegeven worden: 0,000 000 032 = 3,2 x 0,000 000 01 = 3,2 x 10-8, wat weer eenvoudiger is als het hele getal. De macht , hier -8, geeft nu aan hoeveel nullen er voor het eerste getal stonden.

Notaties:
Er worden nu verschillende standaardnotaties gebruikt.
· In de wetenschappelijke notatie staat er in het grondtal ťťn getal voor de komma, bv.: 3,2 x 108.
· Een computer werkt in principe met de komma voor het eerste getal, bv.: 0,32 x 105.
· Nog veel gebruikt zijn exponenten deelbaar door drie. Dit komt namelijk goed uit in SI-eenheden. Zo is 1 km = 1000 m = 103 m. Men krijgt dan bijvoorbeeld:

0,000 000 045 m = 45 x 10-9 m = 45 nm (nanometer).
· Op rekenmachines en computers ziet men ook vaak: 4,33E6 of iets dergelijks. Dit wil gewoon zeggen: 4,33 x 106.

Bewerkingen:
Dit zijn gewoon machten met grondtal tien. We krijgen dus bijvoorbeeld:

(5 x 10-1) x (4 x 103) = 20 x 102
(5 x 10-1)/(4 x 103) = 5/4 x 10-4
» home       » site kaart       » info       » contact
Laatst aangepast: 18.3.2005
Copyright © 2000-2005, Maarten Driesen