Afstandsbepaling

Zoals we weten zijn de afstanden in het heelal onvoorspelbaar groot. Het meten ervan is een ware heksentoer en in de vele cijfers waarover we op het ogenblik beschikken, zijn in de loop der jaren dan ook een grote mate van scherpzinnigheid en een verbazingwekkend waarnemingsvermogen verwerkt.

De belangrijkste sterrenkundige meetmethode maakt gebruik van een stelling die velen van ons zich nog wel zullen herinneren uit de meetkunde: alle afmetingen van een driehoek zijn bekend zodra we van een driehoek een zijde en twee hoeken kennen, Met andere woorden: weten we de lengte van de basis A en B dan kunnen de ligging van top C uitrekenen; onverschillig of we de driehoek op papier kunnen completeren; of we hem, zoals de landmeter dat doet, in het veld kunnen uitzetten of hem, zoals de sterrenkundige, denkbeeldig willen situeren in de ruimte.

Hoe werkt deze methode nu in de praktijk ?

Om met een eenvoudig voorbeeld te beginnen: we willen graag de breedte bepalen van een straat. Daartoe zetten we op de rand de basislijn AB uit met een lengte van, laten we zeggen twintig meter. Met behulp van een theodoliet ( een instrument met een kleine richtverrekijker en een inrichting voor het meten van hoeken) bepalen we vervolgens de grotte van de hoeken A en B: respectievelijk 90° en 60°. Aan de hand van deze drie cijfers kunnen we eenvoudige formules de afstand berekenen tussen het punt A en het punt C aan de overkant van de straat. In ons voorbeeld is bedraagt de afstand 34,6 meter.

De stelling van Pythagoras is waarschijnlijk de bekendste stelling in de wiskunde. De stelling dankt zijn naam aan de Griekse wiskundige Pythagoras. 'Zijn' stelling was overigens alleen maar nieuw voor de Grieken. In Soemerië was het resultaat al veel langer bekend, net als in Babylonië. Belangrijker nog dan de kennis van de stelling was het leveren van een bewijs daarvoor; daarbij waren de Grieken (Pythagoras of een van zijn leerlingen) wel de eersten. De stelling zegt iets over de relatie tussen de rechthoekszijden en de schuine zijde van een rechthoekige driehoek.
In de rechthoekige driehoek ABC zijn de zijden a en b de rechthoekszijden. De zijde c noemen we de schuine zijde of hypotenusa.

De stelling van Pythagoras luidt:

"In een rechthoekige driehoek is het kwadraat van de lengte van de hypotenusa gelijk aan de som van de kwadraten van de lengtes van de rechthoekszijden".

Anders geformuleerd:

Het berekenen van de afstand aarde-maan gebeurt in feite op dezelfde manier. Alleen moet de lengte van de basislijn AB aanzienlijk groter zijn; reden waarom men hiervoor meestal de doorsnee van de aarde neemt, 12700 km. Zouden we het voorbeeld van de straat tot in de details volgen, dan zouden we in dit geval onze theodoliet van het ene einde van de aarde naar het andere moeten slepen, Astronomen doen dat echter niet omdat ze een veel praktischer methode hebben gevonden om de hoeken van de driehoek te meten. Op het ogenblik dat de maan opkomt, staat ze precies aan de horizon en maakt ze een een hoek van 90° met de loodlijn die naar het middelpunt van de aarde wijst. Op dat moment hebben we dus al de grootte van de hoek a van onze driehoek, Hoe komen we nu echter, zonder ons te verplaatsen, aan het andere einde van de basislijn AB om daar hoek b te meten? Dat doen we door, heel eenvoudig, twaalf uur te wachten. In deze , tijdsperiode heeft de aarde namelijk een halve omwenteling gemaakt; ze heeft ons, als in een draaimolen, meegenomen naar de andere kan van de basislijn en we bevinden ons nu inderdaad op puntB. Meten we op dit punt de hoek tussen de maan en de loodlijn dan hebben we de grootte van de hoek b. Weliswaar is ook de maan in die twaalf uur in haar baan gevorderd doch we weten hoeveel die afstand bedraagt en in onze becijfering kunnen we er rekening mee houden. Een snelle rekensom leert ons nu dat de afstand tussen de aarde en de maan gemiddeld 384000 km bedraagt. Hou wel rekening met het feit dat de maan een ellips beschrijft rond de aarde en de afstand ieder moment kan verschillen.

Ook deze afstand, die naar kosmische bijna te verwaarlozen is, gaat ons begripsvermogen praktisch te boven. Een TGV trein zou die afstand kunnen afleggen in vier maanden; een vliegtuig zou er bijna een maand voor nodig hebben en zelfs de maanvluchten met hun Saturnus V raket had 67 uur nodig om het maanoppervlak te bereiken. Als we ons de aarde voorstellen als een basketbal met een doorsnee van 38 cm dan is verhoudingsgewijs, de maan een tennisbal met een doorsnee van 10 cm. Die tennisbal bevindt zich dan op 11,5 m van de basketbal.

Ook voor het meten van de afstand aarde-zon maakt de astronomie gebruik van de beschreven methode. Alleen gebeurt het meten van de hoeken a en b nu op een veel verfijndere wijze; dit in verband met de grotere afstand die nauwkeuriger basismetingen vraagt. Op die manier kan men uitrekenen dat de zon gemiddeld 150000000 km van de aarde is verwijderd, ook weer rekening houdend dat de aarde een ellips beschrijft rond de zon. Dat betekent dat onze TGV 120 jaar nodig zou hebben om die afstand te overbruggen en het vliegtuig 30 jaar. Zelfs het licht, dat zich met de hoogst mogelijke snelheid van 300000 km per seconde, doet over de afstand zon-aarde nog altijd zeven minuten.
Als we de zon een plaats zouden geven in het model van zo even zou ze op 4,5 km van onze basketbal verwijderd staan en haar doorsnee gelijk zijn aan de hoogte van de basiliek te Tongeren.
Sinds de Duitse astronoom Johannes Kepler(1571-1630) ontdekt heeft dar er een eenvoudige getalsverhouding bestaat tussen de omlooptijd van de planeten en hun afstand tot de zon, is het gemakkelijk uit te rekenen hoe ver de planeten van de zon verwijderd zijn. Volgens de derde wet van Kepler:

Het kwadraat van de omlooptijd (P) van een planeet is evenredig met de derde macht van haar gemiddelde afstand (a) tot de zon ofwel:

Brengen we de uitkomsten van die berekening opnieuw over op een model dan krijgen we het volgende beeld: Indien we in dit model de zon de grootte geven van een voetbal (22cm) die precies op de doellijn ligt, dan is Mercurius een speldenkop(1mm) op de elfmeterstrip. Venus en de Aarde zijn kogeltjes met een doorsnee van 2mm, respectievelijk 17 en 24 m van de voetbal verwijderd, Mars is opnieuw een speldenkop die nog juist een halve cirkel om het doel kan beschrijven. Jupiter is in dit model een grote kers (23mm) aan het andere einde van het veld (105m); Saturnus een iets kleinere kers (19mm) ligt op het dubbele van de afstand, Uranus en Neptunus zijn erwten !8mm), respectievelijk op een afstand van 500 en 750 meter van het doel.
Zo groot dus zijn , in vergelijking met de aarde, de afstanden in onze naaste omgeving in de ruimte. Bedenk dat in het boven beschreven model de aarde, met haar doorsnee van bijna 13000 km, verkleind is tot een bolletje van 2mm en toch bevinden we ons, als we over zon en planeten spreken, nog altijd in de onmiddellijke nabijheid van de aarde.

De wiskundige meetmethode voor afstanden die we hierboven besproken hebben heeft haar grenzen, De basislijn van de denkbeeldige driehoek mag bijvoorbeeld niet te klein zijn in verhouding tot de hoogte, Zodra de tophoek van de driehoek namelijk te gering wordt, is het niet meer mogelijk nauwkeurige afstanden te bepalen, Helemaal onmogelijk is dat zelfs indien de hoek zo miniem wordt dat hij niet meer is te meten,

Reeds zolang er telescopen zijn, heeft men desondanks geprobeerd met behulp van deze methode ook de afstand te meten tussen de aarde en de verschillende vaste sterren. Die pogingen liepen echter op niets uit. Het kwam er altijd weer op neer dat de twee basishoeken van de driehoek tezamen 180° maten, waarna er dus niets overbleef voor de tophoek.

Zelfs een bijzonder idee bracht geen uitkomst. Dat idee kwam hierop neer dat men de hoek mat tussen de zon en een bepaalde ster. Daarna wachtte men een half jaar. In die zes maanden beschrijft de aarde een reusachtige halve cirkel om de zon en brengt ze ons naar de overzijde van haar baan. Herhalen we daar de meting dan hebben we de twee hoeken a en b plus een basislijn AB van maar liefst 300 miljoen kilometer, de doorsnee van de aardbaan. Opnieuw echter kwam men bedrogen uit. Zelfs met deze enorme basislijn lukte de afstandmeting niet; zelfs niet als men voor de tophoek genoegen wilden nemen met een grootte van 1 seconde; d.w.z. met het 3600 ste deel van een graad. Onder zo een hoek verschijnt op een afstand van 125 m een naald met een dikte van 0,6 mm.

De vaste sterren bleken zo ver van de aarde verwijderd dat hun afstand zelfs niet meer vast te stellen zijn met een basislijn van kosmische afmetingen. Men ontwikkelden steeds nauwkeuriger instrumenten en meetmethode, en tenslotte vond men inderdaad uiterst geringe doch nog bruikbare hoeken.

Omstreeks 1838 , 230 jaar na de uitvinding van de telescoop, lukte het om met behulp van uiterst geraffineerde methoden en na eindeloze controles een afstandmeting te doen. En toen bleek dat de afstand tussen de aarde en een betrekkelijk nabije ster, 100 biljoen kilometer bedroeg.
Door de voortgeschreden ontwikkeling van de meettechniek is het op deze wijze thans mogelijk geworden 3000 biljoen kilometer diep in het heelal door te dringen. Maar daarmee is dan ook de alleruiterste grens bereikt van de wiskundige meetmethode, hoewel we ons dan nog altijd in de volgens kosmologische maatstaven in de onmiddellijke nabijheid van de aarde bevinden. Onze melkweg heeft immers een doorsnee die liefst driehonderd keer zo groot is.

Om deze onvoorstelbare afstanden te kunnen meten, bewandelt men tegenwoordig wegen waarop men met behulp van een arsenaal aan waarnemingen en berekeningen de werkelijke helderheid van een ster bepaalt. Hiermee en met de relatieve helderheid zoals we die van de aarde af waarnemen, is het mogelijk de afstand tussen een ster en de aarde te becijferen; ook als die afstand zo groot is dat de wiskundige meetmethode ons in de steek laat.

Tabel voor afstandsbepaling voor Redshift spectrum Supernovae II

Het universum heeft een bepaalde leeftijd, maar het licht van de verste sterren heeft ons nog niet bereikt, daarom is de hemel donker (Olbers parradox)

Z (redshift)= Miljard Lichtjaar

0 = 0

0.1= 1.3

0.2=2.4

0.3=3.4

0.4=4.3

0.6=5.7

0.8=6.8

1=7.7

1.5= 9.3

2=10.3

2.5=11.0

3=11.5

4=12.1

5=12.5

6=12.7

7=12.9

1000=13.3

oneindig=13.7