De algemene relativiteitstheorie.

De Lorentz-Fritzgerald contractie

De consaliteit (gelijktijdigheid)

De relativiteit van lengte en tijd.

De tijdsdilatatie

De Lorentz contractie

.

 De Lorentztransformatie.

Het optellen van snelheden

Het relativische dopplereffect.

Het relativische Dopplereffect =

De gravitatie tijdsdilatie.
 

De speciale relativiteitstheorie (1905)

De eerste wortel van de speciale relativiteitstheorie ligt in de klassieke bewegingsleer (“Klassiek” noemt men alle fysica vanaf Newton tot aan het eind van de 19 de eeuw).

De twee eerste wetten van Newton luiden ( 1687):

1. Een lichaam waarop geen krachten werken volhart in zijn toestand van rust of eenparige beweging (wet v.d. traagheid).
2. Een kracht veroorzaakt een versnelling ( verandering van snelheid) die evenredig is met de kracht en omgekeerd evenredig met de massa van het lichaam, in formule K= ma.

Om deze wetten betekenis te geven is het noodzakelijk om een maatstaf van rust of eenparige beweging te definiëren ten opzichte waarvan deze wetten gelden. Newton baseerde zijn wetten op de noties van Absolute Ruimte en Absolute Tijd ( in verkorte vorm):

a. Absolute space, in its own nature, without relation to anything external, remains always similar and immovable.
b. Absolute time, of itself, and from its own nature, flows equably and without relation to anything external.
c. Absolute motion is the translation of a body from one absolute place into another.

Newton onderscheidt tussen de ware tijd en ruimte en de middelen om deze te meten. De hoeveelheid tijd die verloopt tussen twee gebeurtenissen heeft een absolute betekenis en is onafhankelijk van onze eventueel gebrekkige middelen om dit te meten. Analoog voor de afstand tussen twee lichamen.

Newton werd fel bestreden door Leibniz en Huygens: de ruimte is geen ding; plaats en snelheid zijn altijd van het ene lichaam ten opzichte van een ander lichaam. Dit standpunt heet relationisme.

Het relativiteitsprincipe van de klassieke bewegingsleer

Newton had de absolute ruimte nodig om aan de begrippen plaats, snelheid en versnelling in zijn wetten betekenis te geven. Tegelijkertijd hebben deze wetten een zeer merkwaardige eigenschap die het idee van een absolute ruimte ondermijnd. Zij gelden namelijk precies zo goed t.o.v. een referentiesysteem dat t.o.v. de onderstelde absolute ruimte met een constante snelheid beweegt : de eerste wet( maakt immers gen onderscheid tussen rust en eenparige beweging en in de tweede wet gaat het alleen over een verandering van de snelheid, niet over de snelheid zelf. De absolute waarde van de snelheid speelt nergens een rol. Deze ontdekking ligt aan de basis van de hele ontwikkeling van de natuurkunde sinds Galilei.

Wij kennen dit verschijnsel tegenwoordig maar al te goed: als je een tijdje in een vliegtuig zit weet je absoluut niet meer hoe hard je gaat; hetzelfde geldt als je bij dichte mist in een auto rijdt. Snelheid op zichzelf merk je niet. Alleen een verandering van snelheid merk je, bijv. Als het vliegtuig een bocht maakt of als je met je auto tegen een boom rijdt.
Dat snelheid geen absolute maar slechts een relatieve betekenis heeft wordt het relativiteitsprincipe genoemd.

Een referentiesysteem ten opzichte waarvan de wetten van Newton gelden, heet een inertiaalsysteem (traagheidssysteem) omdat t.o.v. zo een systeem de wet van de traagheid ( de eerste wet van Newton) geldt. Het referentiesysteem van de vaste sterren, ten opzichte waarvan we de planeten zien bewegen, is in hoge benadering een inertiaalsysteem. Elk referentiesysteem dat een constante snelheid heeft t.o.v. een inertiaalsysteem is zelf ook een inertiaalsysteem.

Het relativiteitsprincipe van de klassieke bewegingsleer luidt nu: alle inertiaalsysteem zijn voor de bewegingswetten gelijkwaardig. Dit zegt dus dat ‘absolute’ snelheid in de klassieke bewegingsleer geen rol speelt.

Maar wat bepaalt of een referentiesysteem een inertiaalsysteem is?

Volgens Newton is er één speciaal inertiaalsysteem dat gelijkwaardiger is dan alle andere: de absolute ruimte. Elk referentiesysteem dat T.o.v. de absolute ruimte in rust is of eenparig beweegt is een inertiaalsysteem. Maar het relativiteitsprincipe zegt dat het op grond van de verschijnselen onmogelijk is om uit te maken welk van de inertiaalsystemen de absolute ruimte is. Daarom ondermijnt het relativiteitsprincipe het hele idee van een absolute ruimte. Newton achtte de absolute ruimte nodig om zijn bewegingswetten te funderen, maar diezelfde wetten maken het principieel onmogelijk om de absolute ruimte waar te nemen.

Dat was koren op de molen van tegenstanders van Newton, zoals Huygens en Leibniz, maar bevredigend was de situatie voor hen toch niet. Zij verwierpen het bestaan van de ruimte als een ding; ruimte en tijd zijn volgens hen abstracties van ruimtelijke en temporele relaties tussen materiële lichamen. Maar zij konden geen verklaring geven voor het absolute verschil tussen eenparige en versnelde beweging en voor het bestaan van een bevoorrechte klasse van referentiesysteem, de inertiaalsystemen.

Niet alle referentiesystemen zijn inertiaalsystemen: in een referentiesysteem dat t.o.v. een inertiaalsysteem versneld is gelden de wetten van Newton niet! T.o.v. zo een referentiesysteem kunnen lichamen waarop geen krachten werken toch versneld zijn.

N.b. iedere niet-eenparige beweging noemt men ‘versneld’. Dus ook als de snelheid afneemt of alleen maar van richting verandert spreekt men van een ‘versnelde’ beweging.

Het relativiteitsprincipe van de klassieke bewegingsleer is dus niet onbeperkt geldig, het geldt alleen voor de inertiaalsystemen. En ook in de speciale relativiteitstheorie blijven de inertiaalsystemen een bevoorrechte rol spelen, zoals we zullen zien. We begrijpen nu meteen wat Einsteins doel was bij de ontwikkeling van zijn Algemene Relativiteitstheorie: een formulering van de fysische wetten te geven die geldig is in ieder referentiesysteem, ook als dat geen inertiaalsysteem is. Of hij daarin is geslaagd zullen we nog zien.

Het principe van Mach

We zagen dat de schijnbaar eenvoudige wetten van Newton eigenlijk tamelijk mysterieus zijn. Ze zijn alleen maar geldig in een speciale klasse van referentiesystemen, de inertiaalsystemen. De vraag blijft: Wat is het dat bepaalt of een gegeven referentiesysteem een inertiaalsysteem is?
Newton postuleerde het bestaan van een absolute ruimte als basis voor de definitie van rust, eenparige en versnelde beweging. Zijn wetten van de planetenbewegingen blijken nauwkeurig geldig te zijn als men deze beweging beschouwt t.o.v. de achtergrond van de zichtbare sterren, de zgn. ‘vaste’ sterren (dat deze sterren ook bewegen kon pas veel later worden vastgesteld). Hij concludeerde dat het referentiekader van de vaste sterren samenviel met de absolute ruimte. De relationisten verwierpen de gedachten dat ruimte op zich iets zou kunnen doen. Volgens hen kan het geen toeval zijn dat de vaste sterren zo een geschikt referentiekader vormen.
Dit leidt tot de vraag:

Wat zou er gebeuren als de zon en een planeet zich geheel alleen in de lege ruimte zouden bevinden?

Volgens Newton zou de planeet nog steeds in een ellipsbaan om de zon bewegen omdat de absolute ruimte er nog steeds zou zijn. Die is immers “without relation to anything external”, d.w.z. onafhankelijk van wat er zich in bevindt. Maar volgens de relationisten is het idee dat de ruimte iets zou kunnen doen onzin. Volgens hen zou de planeet in een verder lege ruimte geen traagheid hebben: hij zou niet willen volharden in zijn toestand van beweging en hij zou op de zon vallen. Het is jammer dat wij dit experiment nooit zullen kunnen doen want de ruimte is niet leeg. Integendeel, er zijn miljarden melkwegstelsels die ieder miljarden sterren bevatten. Volgens het relationistische standpunt moet al deze materie in de kosmos de eigenlijke oorzaak zijn van de traagheid van massa’s, dus van de eerste wet van Newton. Het standpunt dat de totaliteit van de materie in de kosmos de eigenlijke oorzaak is van de traagheid werd door Einstein het principe van Mach genoemd, naar de fysicusfilosoof Ernst Mach ( 1838-1916) die dit standpunt verdedigde. Mach heeft zijn ideeën nooit uitgewerkt, maar ze hebben wel een grote invloed gehad op Einstein. Of Einstein in zijn relativiteitstheorie het principe van Mach heeft kunnen realiseren zullen we later zien.

De tweede wortel van de relativiteitstheorie ligt in de theorie van het elektromagnetisme, de andere grote theorie van de klassieke fysica (Maxwell 1873). Elektrische en magnetische verschijnselen worden theoretisch beschreven door elektrische en magnetische velden, een soort spanningstoestanden in een hypothetisch medium, de elektromagnetische ether. Maxwell ontdekte dat zich in dit medium elektromagnetische golven kunnen voortplanten met een snelheid van het licht (+/- 3000.000 km per seconde). Hij concludeerde dat licht een elektromagnetisch golfverschijnsel is. De ‘licht’snelheid bleek de fundamentele voortplantingssnelheid van alle elektromagnetische golven door de ether te zijn.

Aan het einde van de 19 de eeuw was duidelijk geworden dat materie bestaat uit atomen die zelf weer uit elektrisch geladen deeltjes bestaan. Dit leidde tot de visie dat elektromagnetische krachten de fundamentele krachten in de natuur zijn. Dit is vooral uitgewerkt door Lorentz. In zijn theorie speelt de ether, als veronderstelde drager van de elektromagnetische velden een fundamentele rol. De ether levert tevens een theoretische maatstaf voor absolute rust; het leek of Newtons absolute ruimte uiteindelijk toch was gevonden.

Maar net als bij de absolute ruimte bleek het niet mogelijk het bestaan van de ether experimenteel te bevestigen. Pogingen om bewegingen t.o.v. de ether aan te tonen door een effect daarvan op de lichtsnelheid faalden; altijd werd voor de lichtsnelheid de zelfde waarde gevonden. En hoewel de theorie onderscheid maakt tussen ladingen die wel of niet t.o.v. de ether bewegen, bleek het experimenteel slechts van belang hoe ladingen t.o.v. elkaar bewegen. Het relativiteitsprincipe leek dus ook voor elektromagnetische verschijnselen te gelden. Maar hoe rijm je dat met het feit dat de theorie een fundamentele snelheid kent, de lichtsnelheid, en een bevoorrecht referentiesysteem, de ether?

In 1905 bevrijdde Einstein de fysica uit deze impasse met een opmerkelijke oplossing. Hij postuleerde:

1. Het relativiteitsprincipe in onbeperkt geldig.
2. De lichtsnelheid is invariant.

Deze tegenstrijdige postulaten konden alleen maar met elkaar worden verzoend via een revolutionaire conclusie: tijd is relatief!

Een referentiesysteem heeft in de fysica niet alleen betrekking op de plaats maar ook op het tijdstip van gebeurtenissen. Einstein dacht zich zo een referentiesysteem voor ruimte en tijd opgebouwd uit maatstaven die de plaats bepalen en standaardklokken die overal waar nodig staan opgesteld en die de tijd ter plaatse aangeven. Deze klokken moeten echter met elkaar gelijkgezet worden. In de praktijk gebeurt dit m.b.v. lichtsignalen. Daartoe moet je wel de lichtsnelheid weten. Maar om die te meten heb je gelijkgezette klokken nodig. We zitten in een vicieuze cirkel. Einstein postuleerde nu dat de lichtsnelheid (in vacuüm) voor iedere waarnemer dezelfde waarde heeft en definieerde hiervan uitgaande wat onder de plaats en het tijdstip van een gebeurtenis moet worden verstraan. Nu treedt postulaat 1 in werking. Dit impliceert dat twee waarnemers die t.o.v. elkaar met een constante snelheid bewegen, ieder voor zich, op de boven beschreven manier een referentiesysteem voor ruimte en tijd kunnen opzetten. Voor beiden heeft bovendien de lichtsnelheid dezelfde waarde. Dit alles in overeenstemming met de bekende experimentele feiten. Maar dat impliceert dat er iets vreemds aan de hand is als twee waarnemers hun bepalingen van plaats en tijd met elkaar vergelijken. Het blijkt dan dat ze verschillende waarden vinden voor de tijd die tussen twee gebeurtenissen is verlopen. Maar omdat volgens postulaat

1 de twee referentiesystemen volkomen gelijkwaardig zijn impliceert dit dat het tijdsverschil tussen twee gebeurtenissen geen absolute betekenis heeft: tijd is relatief. Hetzelfde geldt voor afstanden. We hebben hier een radicale breuk met het tijd - en afstandsbegrip uit de klassieke fysica (vgl. wat Newton hierover zegt), en dit heeft consequenties die lijnrecht ingaan tegen onze intuïtie.

Deze theorie van Einstein wordt Speciale Relativiteitstheorie genoemd,’speciaal’ omdat alleen inertiële referentiesystemen worden beschouwd. De ether is uit de theorie verdwenen, er is geen medium: elektromagnetische golven planten zich voort in de lege ruimte.

Consequenties van de speciale relativiteitstheorie

Ruimte en tijd vormen een eenheid: ruimtetijd. Afstanden in ruimte en tijd zijn relatief. (Ruimte en tijd vormen een 4 –dimensionale pseudo-euclidische ruimte; de wereldlijn van een deeltje waarop geen krachten werken is een rechte ).

Gelijktijdigheid is relatief; het begrip’heden’ heeft geen absolute betekenis.

De eenvoudige optelwet van snelheden geldt niet meer: de lichtsnelheid is de maximale snelheid van een lichaam.

Tweelingen blijven niet even oud.

E=Mc2

Al deze wonderlijke gevolgen van zijn theorie werden door Einstein al in 1905 gezien. Deze effecten worden echter pas belangrijk bij relatieve snelheden die dicht bij de lichtsnelheid liggen en in 1905 konden ze niet direct worden waargenomen. Toch werd de theorie vrijwel meteen door de meeste fysici geaccepteerd omdat allerlei problemen er overtuigend door worden opgelost. Pas in 1941 werden relativistische effecten op afstanden in ruimte en tijd voor het eerst direct experimenteel bevestigd. Op dit moment zijn alle effecten die de theorie voorspelt in talloze experimenten met grote nauwkeurigheid geverifieerd. In deeltjesversnellers, waarin de deeltjes praktisch de lichtsnelheid hebben, zijn relativistische effecten zeer belangrijk en atoomklokken zijn nauwkeurig genoeg om het tweelingeffect zelfs bij aardse snelheden aan te tonen. De relatie E= MC2 tussen energie en massa ligt ten grondslag aan de kernenergie; de atoombom vormt er een gruwelijk bewijs van. Maar ook onze lieve zon is een grote kernreactor.

Rond 1900 hing de (speciale) relativiteitstheorie in de lucht: theorie en experiment wezen in deze richting. Maar de beslissende stap naar de relativiteit van de tijd en de aanvaarding van de daaruit volgende welhaast ongeloofwaardige consequenties was voorbehouden aan het genie van Albert Einstein.

De Algemene Relativiteitstheorie (1915)

Ook in de speciale relativiteitstheorie spelen de inertiaalsystemen een speciale rol: t.o.v. deze referentiesystemen hebben de wetten van de relativistische bewegingsleer en het elektromagnetisme hun eenvoudigste vorm. Einstein meende op principiële gronden dat de werkelijke fundamentele wetten van de natuurkunde een vorm moesten hebben die geldig was in ieder referentiesysteem; hij zocht naar een algemene relativiteitstheorie. In 1915 slaagde hij er in een dergelijke theorie te formuleren. Tegenwoordig vinden velen dat deze theorie in feite geen veralgemening inhoudt van het relativiteitsprincipe, maar eerder een wonderschone theorie is van de zwaartekracht. We moeten nu eerst iets zeggen over de zwaartekracht.

De universele zwaartekrachtwet van Newton

In de tweede wet van Newton treedt het begrip massa op als maat van verzet tegen verandering van snelheid: hoe groter de massa van een lichaam is hoe moeilijker het is om de snelheid van het lichaam te veranderen.

De massa van een lichaam treedt ook nog op in een andere belangrijke wet. Volgens Newton trekken twee lichamen elkaar aan met een kracht die evenredig is met hun massa en omgekeerd evenredig met het kwadraat van hun onderlinge afstand. Dit is de universele wet van de zwaartekracht. Met deze wet en zijn twee bewegingswetten slaagde Newton er in om de beweging van de planeten om de zon te verklaren. Deze wetten gelden zo nauwkeurig dat ze ook nu nog gebruikt worden voor de berekening van de banen van satellieten.

Omdat de zon zeer veel zwaarder is dan de planeten kunnen we de zon als een vast centrum beschouwen. Een planeet wordt naar de zon getrokken met een kracht die evenredig is met de massa van de planeet. Anderzijds verzet de planeet zich tegen de verandering van zijn snelheid in een mate die eveneens evenredig is met zijn massa. Het resultaat is dat de versnelling die de zon aan de planeet geeft ( en daarmee ook zijn baan) onafhankelijk is van de massa van de planeet.
Hetzelfde doet zich op kleinere schaal voor op aarde: in het zwaarteveld van de aarde vallen alle lichamen met dezelfde versnelling (in vacuum). Een van de eerste experimenten werd in 1586 gedaan door Simon Stevin en zijn vriend Johan Cornets de Groot (burgemeester van Delft en vader van Hugo). Vanaf de grote kerk in Delft lieten zij tegelijk een grote en een kleine loden kogel vallen op een plank aan de voet van de toren. Er was slechts één klap te horen. Sindsdien is deze eigenschap van zwaartekracht vele malen met steeds groter nauwkeurigheid getest.

Het Equivalentie Principe

Denkend over versnelde referentiesystemen kreeg Einstein in november 1907, zittend in zijn stoel op het patentenbureau, zijn, naar eigen zeggen, ‘gelukkigste inval’: Iemand die valt merkt van de zwaartekracht niets meer! Dat komt doordat alle delen van zijn lichaam en ook alle dingen in zijn directe omgeving, even snel vallen. In die tijd was dit alleen een gedachte-experiment: het is op aarde onmogelijk om gedurende langere tijd te vallen en de luchtweerstand bederft alles. Maar tegenwoordig kennen we deze situatie maar al te goed! Een ruimteschip in zijn baan is in vrije val in het zwaarteveld van de aarde en aan boord blijkt alles gewichtloos te zijn geworden. Met andere woorden: In het referentiesysteem van het ruimteschip is er geen zwaartekracht! Door over te gaan op een vrij vallend referentiesysteem kun je de zwaartekracht ter plaatse ‘wegtransformerend’. Omgekeerd kun je, door over te gaan op een versneld referentiesysteem, een zwaartekracht simuleren. Denk aan een lift die versneld omhoog gaat; het is dan net of je zwaarder bent geworden want je voeten drukken harder op de vloer van de lift. Een constant zwaarteveld en een constant versneld referentiesysteem zijn equivalent. Dit is het equivalentie principe, en dit opende voor Einstein de weg naar zijn Algemene Relativiteitstheorie.
Hoe dit in zijn werk gaat kan ik slechts summier schetsen en het is zeker niet zo dat de algemene relativiteitstheorie dwingend uit het equivalentie principe volgt.

Naar een gekromde ruimtetijd

Naast de zwaartekracht zijn er nog andere krachten, elektrische krachten, kernkrachten, enz. We denken die andere krachten echter weg en beschouwen alleen de zwaartekracht. Volgens het equivalentie principe kunnen we de zwaartekracht in een gegeven ruimtetijd punt wegtransformerend door over te gaan op een ‘meevallend’ referentiesysteem. Zo een referentiesysteem gedraagt zich als een inertiaalsysteem waarin er geen krachten zijn; we hebben daarin dus de situatie van de eerste wet van Newton: lichamen bewegen met constante snelheid langs rechte lijnen. In e terminologie van de speciale relativiteitssysteem geldt de vierdimensionale (pseudo-) euclidische meetkunde van de speciale relativiteitstheorie en de wereldlijnen van deeltjes zijn daarin rechten.

In het bovenstaande had ik het over de zwaartekracht in een gegeven ruimtetijd punt, d.w.z. op een gegeven plaats en tijd. Dat is een noodzakelijke toevoeging want de zwaartekracht is niet overal en altijd gelijk. Dat zien we hier op aarde al: hoe verder je van de aarde weggaat hoe zwakker de zwaartekracht wordt en als je langs de aarde beweegt veranderd de richting van de zwaartekracht voortdurend. Wat meevallend referentie-vrijvallende inertiaalsystemen hebben slechts lokale geldigheid. Dit in tegenstelling tot de inertiaalsystemen van de klassieke fysica die worden geacht zich over de hele ruimte uit te strekken. Het lokale systeem kan niet willekeurig worden uitgebreid: in een naburig ruimtetijdpunt zal i.h.a. een ander referentiesysteem vrij vallend zijn. De aaneenvoeging van al deze lokale systemen leidt tot het idee van een gekromde ruimtetijd!

In deze visie is er helemaal geen zwaartekracht, er is slechts een gekromde ruimtetijd. We zagen dat een deeltje lokaal een rechte wereldlijn heeft. De aaneenvoeging van al die stukjes geeft de rechts mogelijke lijn in een gekromde ruimtetijd. Een deeltje (waarop geen andere krachten werken) volgt de rechtst mogelijke lijn in de gekromde ruimtetijd. Zo een lijn heet ‘geodeet’.
Vergelijk dit met het aardoppervlak. Lokaal is dit “vlak”. Maar deze vlakke beschrijving kan niet over willekeurig grote afstand worden uitgebreid want de aarde is rond. Als we ons lokaal langs een rechte lijn bewegen, bewegen we ons globaal langs een rechtste lijn op het aardoppervlak, een geodeet. Op een bol zijn dat de grote cirkels. ( Een grote cirkel is de snijlijn van het boloppervlak met een vlak dat door het middelpunt van de bol gaat. De evenaar en de meridianen zijn voorbeelden van grote cirkels.)

Bij Einstein hebben we te maken met een vierdimensionale gekromde ruimtetijd die lokaal pseudo-euclidisch is, d.w.z. dat lokaal de speciale relativiteitstheorie geldt. De wereldlijn van een vrij deeltje is een rechtste lijn in deze gekromde ruimtetijd. Een essentieel verschil met een gewone gekromde ruimte is dat één van de dimensies de tijd is. Het idee dat onze driedimensionale ruimte gekromd is en dat dit misschien een aantal fysische verschijnselen zou kunnen verklaren, was al eerder geopperd, maar pas door de tijd als vierde dimensie toe te voegen kon dit idee succes hebben. Een richting in ruimtetijd legt ook de snelheid vast en bepaalt de hele geodeet.

In de Algemene Relativiteitstheorie is de zwaartekracht verdwenen en vervangen door de kromming van de ruimtetijd. Wat in de oude theorie werd gezien als de vrije val van een deeltje in het zwaarteveld wordt nu gezien als het volgen van de rechtste wereldlijn in de gekromde ruimtetijd. De zwaartekracht is”vermeetkundigd”. Dit is mogelijk doordat de massa van een deeltje voor de beweging in een zwaarteveld geen rol speelt zoals we zagen; de beginpositie en beginsnelheid van het deeltje zijn voldoende om de hele baan te bepalen. Terwijl de (lokale) equivalentie van zwaartekracht en versnelling bij Newton een opmerkelijk maar toevallig feit was, is het voor de theorie van Einstein het essentiële uitgangspunt.

Materie kromt de ruimtetijd

De volgende vraag is: Hoe is de ruimtetijd gekromd? Aangezien de kromming in de plaats komt van de zwaartekracht heeft de kromming dezelfde oorzaak als de zwaartekracht, namelijk de massa van de aanwezige materie. Einstein zocht dus naar een massa van de aanwezige materie. Einstein zocht dus naar een vergelijking van de vorm: kromming= massa. Deze vergelijking moest aan een aantal eisen voldoen, bijv. De eis dat onder condities zoals die gelden in ons zonnestelsel de nieuwe zwaartekrachtstheorie hetzelfde moest opleveren als de zo succesvolle theorie van Newton. Pas na een lange worsteling o.a. met de gecompliceerde wiskunde van een gekromde ruimtetijd, lukte het hem om een bevredigende relatie tussen materie en kromming te vinden; het resultaat zijn de beroemde Einstein -vergelijkingen van 1915 die meestal als volgt worden weergegeven:

Rµv-1/2 gµvR=-kTµv
(kromming) = (massa)

Dit is een zeer verkorte schrijfwijze voor een buitengewoon gecompliceerd stelsel van 10 differentiaalvergelijkingen voor de 10 componenten van de metrische tensor gµ? van de vierdimensionale ruimtetijd. Rµ?,R, gµ? en Tµ? zijn functies van ruimte en tijd. Tµ? vertegenwoordigt de massa en energie – impuls van de aanwezige materie.
Rµ? zn R zijn ingewikkelde functies van gµ? en de eerste en tweede afgeleiden daarvan. De constante k=8?G/c4 bepaalt hoe sterk de invloed van de materie op de ruimtetijd is. Wat deze vergelijkingen vooral zo moeilijk maakt is het feit dat de kromming van ruimtetijd zelf ook energie (en dus massa) vertegenwoordigt en zo dus ook tot zichzelf bijdraagt. Er bestaat geen algemene methode om deze vergelijkingen op te lossen; tot nog toe is het alleen in de allereenvoudigste gevallen gelukt om oplossingen te vinden.

Einsteins principes

Kenmerkend voor het werk van Einstein is dat hij zich baseerde op algemene principes. Terwijl Maxwell en zijn tijdgenoten moeizaam trachtten modellen voor de elektromagnetische ether te construeren, en Lorentz op basis van de bestaande theorie een verklaring trachtte te geven voor het merkwaardige feit dat de lichtsnelheid onder alle omstandigheden dezelfde waarde blijkt te hebben, maakte Einstein de constante lichtsnelheid tot een basisprincipe van zijn theorie. Wat Lorentz wilde verklaren nam Einstein eenvoudigheid als uitgangspunt. Evenzo verhief Einstein het relativiteitsprincipe van de klassieke mechanica, de gelijkwaardigheid van alle inertiaalsystemen, tot universeel principe. Dat daartoe radicale ingrepen in de bestaande theorie nodig waren, zoals het ontnemen van het absolute karakter aan de tijd, hield hem niet tegen. De rechtvaardiging achteraf was de grote conceptuele verheldering die de nieuwe theorie gaf en het experimentele succes.

Het is geen wonder dat Einstein zich bij het zoeken naar een nog verdere generalisatie van zijn speciale relativiteitstheorie opnieuw liet leiden door algemene principes: het principe van algemene relativiteit, het equivalentieprincipe, het principe van Mach en het principe van algemene covariantie. Al deze principes hebben voor hem een beslissende rol gespeeld bij het vinden van de Einstein – vergelijkingen. Des te merkwaardiger is het dat volgens huidige inzichten het principe van algemene relativiteit en het principe van Mach in de Algemene Relativiteitstheorie niet zijn vervuld en dat het principe van algemene covariantie als een zuiver wiskundige eis zonder fysische inhoud wordt beschouwd.

“Het principe van algemene covariantie zegt, in de formulering van Einstein (1916), dat de fundamentele vergelijkingen van de theorie een vorm moeten hebben die geldig is in ieder coördinaten systeem. Einstein meende dat het principe van algemene covariantie het principe van algemene relativiteit impliceert”.
Of het principe van algemene relativiteit in de Algemene Relativiteitstheorie al of niet is vervuld hangt af van hoe je het relativiteitsprincipe opvat. Tegenwoordig ziet men dit als een symmetrieprincipe van ruimte en tijd. De Euclidische ruimte is homogeen en isotroop, d.w.z. invariant bij verschuivingen en draaiingen. In de Speciale Relativiteitstheorie komt de tijdsdimensie erbij en de invariantie omvat nu ook verschuivingen in de tijd en ruimtetijd – draaiingen (Lorenztransformaties). Deze symmetrie van de ruimtetijd is equivalent met het bestaan van bevoorrechte coördinatensystemen, de inertiaalsystemen, en het relativiteitsprincipe van de speciale relativiteitstheorie zegt dat alle inertiaalsystemen voor de beschrijving van de fysische verschijnselen gelijkwaardig zijn. Deze verschijnselen verlopen aan boord van een vliegtuig precies zo als in de huiskamer. Het is niet mogelijk om op grond van fysische verschijnselen het ene inertiaalsysteem te onderscheiden van het andere.

Bij de overgang naar de algemene relativiteitstheorie wordt de symmetrische ruimtetijd van de speciale relativiteitstheorie vervangen door een willekeurig gekromde ruimtetijd. Deze heeft in principe geen enkele symmetrie en er zijn in principe geen bevoorrechte coördinatensystemen. Als we het relativiteitsprincipe dus zien als een symmetrieprincipe van de ruimtetijd dat is dit in de algemene relativiteit niet veralgemeend. En omdat er geen bevoorrechte coördinatensystemen zijn is men wel gedwongen de theorie te formuleren op een manier die geldig is bij een willekeurige keus van coördinaten. D.w.z. wat Einstein het principe van algemene covariantie noemde is niets anders dan een noodzakelijke, wiskundige eis. Tegenwoordig heeft men het daarom meestal liever niet over de Algemene Relativiteitstheorie, maar over “Einsteins theorie van de zwaartekracht”.

Er zijn andere formuleringen van het principe van algemene covariantie gegeven die wel een betekenisvolle inhoud hebben en het is denkbaar dat Einstein een dergelijke formulering voor ogen had. De discussie over deze kwestie is nog steeds volop aan de gang. Wel een bewijs voor de ingewikkeldheid van deze materie.
Einsteins tweede “leitmotiv” was het principe van Mach. Dit is zeker voor een deel vervuld: de ruimtetijd is niet meer gegeven, onveranderlijke achtergrond waartegen de verschijnselen zich afspelen, maar wordt zelf, in overeenstemming met het oude fysische principe van actie= reactie, ook beïnvloed door de materie; de ruimtetijd is dynamisch geworden. Toch is het niet zo dat de traagheid volledig wordt veroorzaakt door de materie, zoals Mach het wilde, of dat ruimtetijd zelfs helemaal niet kan bestaan als er geen materie is. Ook als de materie - tensor Tµv nul is hebben de Einstein -vergelijkingen interessante oplossingen waarin de wet van de traagheid geldt. In tegenstelling tot wat vaak wordt beweerd wordt de droom der relationisten door de relativiteitstheorie niet vervuld. Aan het eind van zijn leven kwam Einstein zelf tot de conclusie dat we het principe van Mach maar beter kunnen vergeten.

Er is nog een interessante wending in Einsteins visie op de natuurkunde. In 1905, bij de formulering van zijn Speciale Relativiteitstheorie, was zijn uitgangspunt de concrete fysische werkelijkheid: hij beschouwde echte materiele meetlatten en echte klokken. Hij was op dat moment een volbloed empirist. En de haast achteloze wijze waarop hij het aloude probleem van de ether oploste door te verklaren dat hij de invoering van zoiets onwaarneembaars in zijn theorie niet nodig had, was geheel in de lijn van het positivisme. Toen Minkowski in 1908 let zien dat de speciale relativiteitstheorie kan worden opgevat als de meetkunde van een vierdimensionale ruimtetijd was Einstein daar aanvankelijk niet enthousiast over: hij vond het maar onnodig moeilijkdoenerij van wiskundigen. Maar slechts enkele jaren later was deze meetkundige visie voor hem essentieel bij het vinden van zijn algemene relativiteitstheorie, zijn meetkundige theorie van de zwaartekracht. Hij was hierdoor zelfs zo gegrepen dat hij de rest van zijn leven wijdde aan het vinden van een ‘unified field theory’, een meetkundige theorie van ‘Alles’. De wiskunde was de basis van zijn natuurkunde geworden; je zou kunnen zeggen dat Einstein eindigde als een rationalist. Voor een rationalist is de rede de bron van onze kennis. Wat Einstein wel zijn hele leven is gebleven is een fysisch realist: er bestaat een fysische werkelijkheid die onafhankelijk is van de mens, en het is de taak van de fysica om die werkelijkheid te beschrijven. Juist met dit standpunt kwam hij in botsing met de quantummechanica.

Enkele consequenties van de algemene relativiteitstheorie

1. De algemene relativiteitstheorie van het elektromagnetisme, een veldtheorie,een theorie over het zwaartekrachtsveld. In deze theorie heeft de zwaartekracht, net als de elektromagnetische kracht, een eindige voortplantingssnelheid die eveneens gelijk is aan de lichtsnelheid. In de relativiteitstheorie is er een fundamentele snelheid die alleen op historische gronden de ‘lichtsnelheid’ wordt genoemd.

2. Analoog aan het electromagnetisch –geval impliceert de algemene relativiteits theorie het bestaan van zwaartekrachtsgolven, rimpelingen in de kromming van ruimtetijd, die zich voortplanten met de lichtsnelheid. Het is een van de grote projecten van de huidige experimentele natuurkunde om het bestaan van zulke golven direct aan te tonen.

3. Als de zwaartekracht niet al te groot is, zoals in de omgeving van de zon, geeft de algemene relativiteitstheorie in hoge benadering dezelfde uitkomsten als de zwaartekrachtstheorie van Newton. Dat is maar goed ook want de theorie van Newton klopt ontzettend goed voor ons zonnestelsel. Maar één verschijnsel kon deze theorie niet verklaren: de periheliumprecessie van Mercurius, d.i. een langzame rotatie van de lange as van de ellipsbaan. T.g.v. allerlei storende effecten zijn de banen van de planeten geen zuivere ellipsen. Omstreeks 1859 was men er in geslaagd om op grond van de theorie van Newton van al deze effecten rekenschap te geven. Alleen een deel van de periheliumprecessie van Mercurius kon men niet verklaren. Het ging om een rotatie van slechts +/- 43” per eeuw op een totaal van ongeveer 500”. (1”=1 boogsecond = de hoek waaronder je een munt van één euro ziet op een afstand van 100m afstand. De algemene relativiteitstheorie geeft een periheliumprecessie voor alle planeten. De baan van een planeet is volgens de algemene relativiteitstheorie dus geen ellips maar een rozet. In ons zonnestelsel is het verschil maar heel klein; het is het groots voor de planeet die het snelst beweegt, Mercurius. Het met de Einstein-vergelijking berekende effect geeft precies de ontbrekende 43” binnen de meetnauwkeurigheid. Dit fantastische resultaat van zijn algemene relativiteitstheorie, dat op geen enkele manier van tevoren in de theorie was gestopt, bezorgde Einstein naar eigen zeggen de grootste gelukservaring van zijn leven.

4. Ook lichtstralen volgen geodeten in de gekromde ruimtetijd. Als licht van een ster dicht langs de zon gaat kan de kromming van ruimtetijd in de nabijheid van de zon worden waargenomen. Het effect is klein en de waarneming zeer moeilijk. De eerste waarnemingen werden in 1919 gedaan, de laatste in 1973. De resultaten kloppen binnen de geringe meetnauwkeurigheid met Einsteins theorie.

5. Ook in de algemene relativiteitstheorie is er een effect op de tijd: de zwaartekracht beïnvloedt de gang van klokken. Een klok op zeeniveau loopt langzamer dan een klok op een berg. Dit effect is zeer nauwkeurig vastgesteld m.b.v. atoomklokken en bij het vergelijken van zulke klokken moet men met de hoogte terdege rekening houden.

6. De zwaartekracht is een relatief zeer zwakke kracht. Onze aarde wordt er niet door samengedrukt omdat het aardmateriaal stevig genoeg is om de druk van de aardse zwaartekracht te weerstaan. Maar de zwaartekracht neemt toe met de massa van een lichaam en als de massa groot genoeg is overwint de zwaartekracht elke andere kracht en het lichaam stort in. Dit kan optreden bij sterren. De zwaartekracht is dan zo groot dat zelfs licht niet meer van de ster kan ontsnappen; vandaar de naam: “zwart gat”. Wat er precies gebeurd bij deze instorting is moeilijk te zeggen. Astronomen geloven dat de kosmos vol zit met zwarte gaten.

7. Op grote schaal lijkt de kosmos homogeen te zijn. Onder die omstandigheid kunnen Einstein-vergelijkingen worden opgelost. Er blijken geen statische oplossingen te zijn: de ruimtetijd dijt uit of krimpt in. In 1917 beschouwde Einstein dit als een ernstig mankement van zijn theorie. Pas in 1929 kwam Hubble’s grote ontdekking dat het heelal uitdijt. Uit de Einstein-vergelijkingen volgt dat de straal van een uitdijend heelal een eindige tijd geleden nul was. De dichtheid en druk van de materie waren toen oneindig groot: de kosmos begon met een “big bang”. Dit is geen knal in de ruimte. Volgens de algemene relativiteitstheorie ontstonden ruimte en tijd in de Big Bang. De vraag:” Wat gebeurde er voor de Big Bang? Heeft in deze theorie dus geen zin.

De speciale relativiteitstheorie is een van de belangrijkste en best geverifieerde fundamentele fysische theorieën. Je kunt zeggen dat deze theorie al voor 1905 in de lucht hing, maar het was Einstein die de beslissende stap zette, die de relativiteit van de tijd afkondigde en de vergaande gevolgen daarvan doorzag en aanvaardde, lang voordat deze gevolgen daadwerkelijk konden worden aangetoond. De algemene relativiteitstheorie is echter de schepping van Einstein alleen. In de jaren na 1915 konden slechts enkele zeer kleine gevolgen van deze theorie worden berekend en experimenteel worden geverifieerd. Grote effecten waren alleen op kosmische schaal te verwachten. Dit feit en de onhandelbaarheid van de Einstein-vergelijkingen maakten dat de algemene relativiteitstheorie gedurende tientallen jaren een zeer teruggetrokken bestaan leidde en slechts door een handvol fysici werd bestudeerd. Hierin is grote verandering gekomen door de enorme uitbreiding van onze kennis van de kosmos en door nieuwe methoden om de moeilijke wiskunde van de theorie aan te pakken. Gezien het sterk theoretisch gehalte van de algemene relativiteitstheorie zou het niemand hebben verbaasd als zou zijn gebleken dat de algemene relativiteitstheorie door de nieuwe feiten niet wordt gesteund. Het tegendeel is echter het geval: alle op dit moment bekende feiten zijn in overeenstemming met de algemene relativiteitstheorie en niet met alternatieve theorieën.

Onze huidige visie op fundamentele krachten volgt echter niet de lijn van Einstein, maar is gebaseerd op de quantummechanica, aan het ontstaan waarvan Einstein belangrijk heeft bijgedragen maar die hij tenslotte niet kon aanvaarden als een fundamentele theorie. De grote opgave van de huidige theoretische fysica is de quantumgravitatie, de vereniging van quantumtheorie en zwaartekracht onder omstandigheden waarin beide van belang zijn zoals in zwarte gaten en de Big Bang. Dit is ondanks heel veel werk nog niet gelukt en wellicht is er een nieuwe Einstein nodig om hier de doorbraak te forceren. Maar het lijkt zeker dat zo een theorie onze visie op ruimte en tijd opnieuw radicaal zal veranderen.