Pythagoras

Inleiding

Waarom besteed ik aan Pythagoras een heel hoofdstuk en aan andere filosofen niet? Dat doe ik, omdat Pythagoras niet zomaar een paar theorieën over muziek heeft opgesteld, maar de basis heeft gelegd voor muziek in de Griekse Oudheid. Andere filosofen hebben zijn theorieën aangepast, overgenomen of verworpen, maar de ideeën van Pythagoras waren zo belangrijk, dat ze er wel aandacht aan moesten besteden. Het toonsysteem van Pythagoras was weliswaar niet perfect, maar dat is later dan ook verbeterd door anderen. Pythagoras was de eerste, die zich aandachtig met muziektheorie heeft beziggehouden, en tot op vandaag worden zijn theorieën nog gebruikt. Vóór Pythagoras werd ook muziek gemaakt, maar Pythagoras legde een wetenschappelijke basis. Voor mij zijn dat genoeg redenen om zoveel aandacht aan Pythagoras te schenken.

Pythagoras: de filosoof

Pythagoras werd ca. 570 v.Chr. geboren op het eiland Samos. In die tijd heerste de tiran (niet negatief bedoeld, in de strikte zin van het woord, dus een letterlijke "alleenheerser") Polykrates over het eiland. Om aan hem te ontsnappen, verliet Pythagoras ca. 530 v.Chr. het eiland en vestigde zich in Kroton, een plaatsje in Zuid-Italië. Zijn toespraken maakten veel indruk en al gauw had hij een groep van ongeveer 300 mensen om zich heen verzameld, de Pythagoreeërs. Hoewel zij de Pythagorese school genoemd werden, waren zij een sekte. Zij leefden samen als een sekte, volgens strenge voorschriften, afgescheiden van de rest van de wereld, met Pythagoras als autoritaire leider. Binnen in de sekte gold een spreekverbod: geen van de leden mocht aan buitenstaanders iets over de leer meedelen. Daarom is alle informatie over Pythagoras secundair en is het moeilijk te bepalen, welke theorieën van hem, en welke van zijn volgelingen afkomstig zijn. Pythagoras werd door latere filosofen zo bewonderd, dat er waarschijnlijk ook theorieën aan Pythagoras toegeschreven zijn, die totaal niet van hem afkomstig zijn. Wat wel bekend is, is dat Pythagoras als eerste het woord "filosoof" (afkomstig van het Griekse filosofos, wat letterlijk vriend van de wijsheid betekent) gebruikte, om zichzelf te bestempelen. Hij had een geweldig grote eigendunk; hijzelf was het beste wat de wereld ooit was overkomen. De wereldbevolking bestond uit twee soorten mensen: de akousmatici en de mathematici. De akousmatici waren mensen die wel konden luisteren, maar niet konden begrijpen - niet in de wieg waren gelegd voor wiskunde. De tweede groep mensen, de mathematici, bestond uit mensen die konden luisteren en begrijpen. Deze groep mensen was zeer klein, hoewel er wel een redelijk grote groep was van mensen die probeerden een mathematicus te worden. Pythagoras beschouwde zichzelf uiteraard wel als een mathematicus.

Pythagoras: de canonicus

Pythagoras is vooral bekend geworden door zij "Stelling van Pythagoras" (bij een rechthoekige driehoek is de som van de kwadraten van de rechthoekszijden gelijk aan het kwadraat van de schuine zijde, of a²+b²=c²), maar hij heeft meer gedaan. Het bijzondere aan hem was, dat hij alles wiskundig bekeek: getallen fascineerden hem. Hij probeerde de hele wereld te verklaren met wiskundige figuren en getallen (alleen de natuurlijke getallen, dus 1,2,3,4). Ook muziek bestond volgens hem uit getallen: hij ontdekte dat de hoogte van een toon evenredig is met de lengte van de snaar, en wist intervallen in getallen uit te drukken. Muziek was voor het niets meer dan een opeenvolging van getallen. Pythagoras was de eerste canonicus: iemand die muziek wiskundig wilde verklaren. De tegenhangers van de canonici zijn de harmonici, de mensen die muziek met het oor willen verklaren. Pythagoras heeft veel theorieën over muziek ontworpen, waarvan de belangrijkste het Pythagorese toonsysteem en de theorie over de harmonie der sferen zijn. Pythagoras heeft een grote invloed op muziek in de Griekse Oudheid gehad, en hij had vele navolgers die zijn theorieën verder uitgewerkt en aangepast hebben (bijvoorbeeld Aristoteles en Arestoxenos). Ondanks het spreekverbod binnen de Pythagorese sekte is via zijn (voor een groot deel Griekse) volgelingen veel bekend geworden over zijn theorieën, en vanaf ongeveer 400 v.Chr. werd door beroepsmusici overwegend de Pythagorese stemming gebruikt.

De harmonie der sferen

De Pythagoreeërs waren gefascineerd door het heelal, de kosmos, en hadden dan ook uigesproken theorieën over de manier waarop het heelal in elkaar zat. Volgens hen was de kosmos niet oneindig, maar eindig. De kosmos was een overzichtelijk, begrensd geheel. Alle kosmische processen verliepen met een bepaalde regelmaat, die uit te drukken was in getallen en wiskundige figuren.

Volgens de Pythagoreeërs bestond het heelal uit drie gebieden:

De Pythagoreeërs hechtten veel waarde aan het getal tien; ze waren ervan overtuigd dat:

 

* 1 = punt

 

* 2 = lijn

 

* 3 = vlak

 

* 4 = lichaam

Omdat 1+2+3+4 = 10, moest 10 wel een volmaakt getal zijn, en dus moest het heelal, gezien zijn volmaaktheid, wel 10 hemellichamen bevatten. De sfeer van de sterren telden zij als 1, ze kenden 5 planeten + de zon, maan en aarde = 9 hemellichamen (het centrale vuur was onzichtbaar en telde dus niet mee). Omdat er maar 9 hemellichamen zichtbaar waren, verzonnen ze een tiende, de tegenhanger kon dus niet gezien worden door de mensen.

Alle tien hemellichamen brachten door de cirkelbeweging een toon voort. De hoogte van die tonen was afhankelijk van de afstand tot het centrale vuur: hoe dichterbij, hoe lager de toon. Deze klanken werden de harmonie der sferen of de muziek der sferen genoemd. Normale mensen horen deze muziek niet, omdat ze er vanaf hun geboorte door omringd zijn en niet meer weten hoe het zou zijn als het geluid er niet meer zou zijn, maar Pythagoras claimde deze hemelse muziek wel te horen en ervan te genieten. Alle muziek op aarde was volgens hem een nabootsing van de muziek der sferen.

De natuurlijk-harmonische stemming

De natuurlijk-harmonische stemming is een stemming, die niet meer gebruikt wordt. De natuulijk-harmonische stemming is volkomen rein: alle intervallen klinken zonder zweving. De natuurlijk-harmonische stemming volgt uit de boventonenreeks (ook wel natuurreeks genoemd). De intervallen bestaan uit simpele verhoudingen. De stemming van de kruisen en mollen hangt van de toonsoort waarin gespeeld wordt af en is dus nogal willekeurig. Iedere keer dat je dus van toonsoort wilt wisselen, moet je instrument opnieuw gestemd worden.

Het gelijkzwevende systeem

Het toonsysteem dat tegenwoordig gebruikt wordt is het gelijkzwevende toonsysteem: het rein octaaf is in twaalf gelijke delen van een halve toon verdeeld. Hoewel de priem, kwart en kwint als "rein" bestempeld worden, zijn ze het niet: in het gelijkzwevende toonsysteem is alleen het rein octaaf volkomen rein. Het gelijkzwevende toonsysteem is een compromis om maar in alle toonsoorten te kunnen spelen, zonder iedere keer het instrument opnieuw te moeten stemmen. Het gelijkzwevende toonsysteem is echter niet zuiver, maar "gelijkmatig vals" gestemd. Omdat wij aan dit systeem gewend zijn, klinkt het voor ons niet meer vals.

Er bestaan vele verschillende toonsystemen, waarvan het Pythagorese er één is. Al deze systemen hebben een ander uitgangspunt: Pythagoras ging uit van de reine kwint en wilde de andere intervallen wiskundig berekenen. Zijn reine kwint was niet dezelfde als de huidige "reine" kwint. Pythagoras' reine kwint was groter dan de onze, en volkomen rein (uit de boventonenreeks). De huidige "reine" kwint is getempereerd en dus niet volkomen rein.

Het Pythagorese toonsysteem

De reine kwint en het rein octaaf
Pythagoras ontdekte dat verschillende tonen zich op een bepaalde manier tot elkaar verhouden. Hij ontdekte dat, wanneer je de lengte van een snaar halveert, de nieuwe ontstane toon een (rein) octaaf hoger is dan de oude toon. De hele snaar verhoudt zich dan tot het ingekorte deel als 2:1. Hij ontdekte dat de hoogte van een toon evenredig is met de lengte van de snaar. Hij ontdekte ook dat, om een reine kwint te bekomen, de verhouding van de hele snaar tot het ingekorte deel 3:2 moet zijn. Het Pythagorese toonsysteem is gebaseerd op reine octaven en reine kwinten: met behulp van deze twee intervallen kon Pythagoras ook alle andere intervallen berekenen.

Pythagoras' intervallen
Pythagoras heeft alle intervallen berekent met kwint- en octaafafstanden. Hij kwam op de volgende verhoudingen:

Reine priem 1 : 1
Kleine secunde 256 : 243
Grote secunde 9 : 8
Kleine terts 32 : 27
Grote terts 81 : 64
Reine kwart 4 : 3
Overmatige kwart 729 : 512
Verminderde kwint 302 : 215
Reine kwint 3 : 2
Kleine sext 128 : 81
Grote sext 27 : 16
Klein septiem 16 : 9
Groot septiem 243 : 128
Rein octaaf 2 : 1

 

 

vorige   top