Sequoia's

in België, Nederland en Luxemburg

Hoe schat je het volume van een boom?

Het volume?

Daar waar bij het bepalen van de hoogte van een boom al voorzichtigheid geboden is, geldt dit des te meer voor het bepalen van het volume van een boom.
Met het volume van een boom (uitgedrukt in m³) wordt doorgaans enkel het volume van de stam bedoeld, gezien dit het enige is dat enigszins betrouwbaar en nauwkeurig kan gebeuren. Het is vaak ook het enige waar houtvesters in geïnteresseerd zijn. Bij naaldbomen komt het totale houtvolume grotendeels overeen met het stamvolume, waar dit bij loofbomen totaal anders kan zijn (zie bijvoorbeeld de foto onderaan).

De meest volumineuze boom van België en Nederland is volgens mij de mammoetboom van Esneux. Volgens de volumeberekening die hieronder wordt toegelicht, heeft deze boom een volume van maar liefst 96 m³. Ter vergelijking: het volume van de eik van Liernu, de dikste boom van België en Nederland, wordt door Jeroen Philippona geschat op "slechts" 50 m³ (inclusief de holle ruimtes, ruwe schatting op basis van foto's).

Toch verdwijnen onze grootste bomen in het niets bij de "General Sherman", de grootste boom ter wereld. Het stamvolume van deze gigant wordt geschat op 1400 à 1500 m³.

Methode
Om het stamvolume van een boom te berekenen, dient men een bepaalde modellering voor de stam van de boom te gebruiken.

Een heel eenvoudig model is aan te nemen dat de stam cilindrisch is. Wanneer we de straal van de cilinder r en de hoogte h noemen, bekomen we het volume V eenvoudig als de oppervlakte van het grondvlak (een cirkel met oppervlakte π r²) × de hoogte:
$\text{[math]}$
Op deze manier wordt echter verondersteld dat de omtrek of de straal niet verandert met de hoogte, wat in werkelijkheid niet zo is.
Daarom stappen we over op een nieuw model: we veronderstellen de boom nog steeds rond, maar laten toe dat de straal r afhankelijk is van de hoogte x.
Hoe verandert de straal r(x) met de hoogte x?
Daarvoor dienen we r(x) te definiëren. Het functieverloop van r(x) moet het werkelijke verloop zo goed mogelijk benaderen. Om dit te kunnen doen, dient de straal op een aantal hoogtes gekend te zijn (de omtrek is ook goed, gezien de straal gelijk is aan de omtrek gedeeld door 2 π). Noem de hoogtes waar deze gekend is $\text{[math]}$ en de bijhorende stralen $\text{[math]}$ . Dan moet gelden:
$\text{[math]}$ voor alle $\text{[math]}$
Op onderstaande figuur is een voorbeeld gegeven voor de punten (0,1.5), (5,1), (25,1.5) en (30,0), wat aangeeft dat op 0 m hoogte de straal 1.5 m bedraagt, op 5 m 1 m bedraagt enzoverder. De functie r(x) is dan de lijn die deze punten op één of andere manier met elkaar verbindt en de straal bepaalt op andere hoogtes.
$\text{[math]}$
Er zijn verschillende functies r(x) die hieraan voldoen waarvan de eenvoudigste verder wordt besproken. De meetgegevens zijn dus de omtrekken (of stralen) op verschillende hoogtes, het wiskundig model is de keuze van r(x) en het feit dat men de boom rond en recht veronderstelt.
Wat is het volume nu?
Eens r(x) gedefinieerd is, hoe bepaal je nu het volume van een "cilinder" met een dergelijk straalverloop?
Beschouw een dun schijfje van deze cilinder op hoogte x met straal r(x). Noem de dikte van het schijfje Δx.
Het volume van het schijfje, dat we aanzien als een cilinder, is π r(x)² × Δx.
Het volume van de stam is de sommatie van alle dunne schijfjes in de stam beginnend bij $\text{[math]}$ tot bij $\text{[math]}$ , waarbij de dikte Δx in de limiet naar 0 gaat (infinitesimaal dunne schijfjes). In de wiskunde wordt zo'n sommatie van oneindig kleine deeltjes een integraal genoemd. We bekomen als volume V:
$\text{[math]}$
Willen we het volume van de hele stam hebben, moet $\text{[math]}$ overeenkomen met hoogte 0 (bij de bodem) en $\text{[math]}$ met de hoogte van de stam.
Welke functie r(x)?
De eenvoudigste functie is een stuksgewijs lineaire functie, bepaald door de punten $\text{[math]}$ . Op onderstaande figuur is r(x) getoond in geval van het voorbeeld van hierboven.
$\text{[math]}$
Wanneer men de vorm van de boom zo goed mogelijk wil beschrijven, dient men dus voldoende omtrek- of straalmetingen uit te voeren in zones waar de mate waarin de straal van de boom toe- of afneemt sterk verandert met hoogte. In zones waar de straal op een constante manier verandert zijn extra metingen niet nodig, daar ze niets toevoegen of veranderen aan de vorm van r(x).
Om het volume te bepalen, moeten we de bovenvermelde integraal oplossen met deze r(x).
Aangezien
$\text{[math]}$
kunnen we de integraal van elk lineair stukje apart oplossen en alles dan samentellen. In elk lineair stukje is r(x) erg eenvoudig: gewoon een lineaire functie, zodat de integraal gemakkelijk kan opgelost worden met wiskunde uit de middelbare school.
Tussen de punten $\text{[math]}$ en $\text{[math]}$ heeft r(x) dan de vorm:
$\text{[math]}$
zodat het volume tussen $\text{[math]}$ en $\text{[math]}$ gegeven wordt door:
$\text{[math]}$
Dit is compleet analoog voor het volume tussen de hoogtes $\text{[math]}$ en $\text{[math]}$ , ... , $\text{[math]}$ en $\text{[math]}$ .
Je berekent dus het volume tussen twee opeenvolgende hoogtemetingen met bovenstaande formule en telt dan alles samen.
Je kan ook complexere functies r(x) nemen, zoals kwadratische functies. Dit heeft enkel zijn nut wanneer je bijvoorbeeld erg weinig omtrekmetingen hebt en de rechte lijn tussen twee opeenvolgende metingen een te grove benadering zou zijn. Wanneer je echter voldoende hoogtemetingen neemt in zones waar de mate waarin de omtrek toe- of afneemt sterk verandert, is de volumebepaling met deze methode nagenoeg even nauwkeurig.
Eerste voorbeeldje: de mammoetboom van Esneux
Hebben we als metingen op 0 m 12,9 m omtrek, op 1,3 m 9,74 m omtrek, op 1,5 m 9,25 m omtrek enzovoort komt dit overeen met de volgende puntenkoppels gebruikt om r(x) te definiëren: (0;2,0531), (1,3;1,5502),(1,5;1.4722) enzovoort. Merk op dat r(x) de straal voorstelt en niet de omtrek dus moet de omtrek nog gedeeld worden door 2 π om r te bekomen (12,9/(2*π) = 2,0531).
De bekomen functie r(x) is getoond op onderstaande figuur. Ter illustratie wordt de "cilinder" met straalverloop r(x) getoond op de linkerfiguur.
$\text{[math]}$
Het volume per lineair stukje is 10,2635 m³, 2,1528 m³, 1,3109 m³ enzovoort. Het totale volume dat zo bekomen wordt, is de som van de stukjes en bedraagt 96,3819 m³. Dit voorbeeldje toont de volumeberekening aan van de mammoetboom van Esneux, de meest volumineuze boom van België en Nederland.
Tweede voorbeeldje: General Sherman
Waar een volume van ongeveer 96 m³ enorm is voor een boom in onze contreien, verdwijnt de mammoetboom van Esneux toch in het niets bij zijn Californische broer "General Sherman". Deze is de grootste mammoetboom ter wereld en de grootste boom ter wereld tout court. Amerikaanse bomenmeters melden een volume van 52500 kubieke voet, of, in het decimaal stelsel, 1487 m³.
Laten we dit even narekenen met de hierboven beschreven methode.
Als omtrekmetingen werden deze gebruikt die vermeld staan op het informatiebord bij de boom: 31,3 m omtrek nabij de grond, 5,3 m diameter op 60 voet enzovoort. De bekomen functie r(x) is getoond op onderstaande figuur. Ter illustratie wordt ook hier de "cilinder" met straalverloop r(x) getoond op de linkerfiguur.
$\text{[math]}$
Als volume bekom ik zo 1465 m³, nagenoeg identiek aan de "officiële" 1487 m³. Strikt genomen heb ik een drietal metingen toegevoegd om het profiel van de boom minder hoekig en meer natuurlijk te maken. Deze zijn aangegeven in het rood op bovenstaande figuur. Door de eerste toegevoegde meting werd het volume wat kleiner, door de twee andere weer wat groter. Zonder die toegevoegde metingen bekom ik 1494 m³, ook nagenoeg gelijk aan het opgegeven volume.
Ik vind het overigens pretentieus om het volume bij een boom als deze tot op de kubieke meter na te bepalen: een kleine verandering in de hoogte of het doorsnedeprofiel verandert de berekende waarde lichtjes. Er is sowieso al wat onzekerheid op de hoogte- en omtrekmetingen.
De grootteorde blijft echter steeds gelijk: we kunnen dus besluiten dat "General Sherman" een stamvolume heeft van 1400 à 1500 m³.
Complexere modellen
Je kan ook overgaan op complexere modellen wanneer de stam van de boom niet echt kan beschreven worden door een ronde cilinder met variabele straal, bevoorbeeld bij kromme bomen, bomen met een complexe doorsnede of bomen met zware vertakkingen. Telkens gaat men echter op éénzelfde manier te werk: men deelt de boom op in kleinere deeltjes die wél eenvoudiger beschreven kunnen worden. Het totale volume bekomt men dan door al die deeltjes te sommeren.
Dit is bijvoorbeeld noodzakelijk bij bomen waarbij het grootste houtvolume in de takken zit en niet zozeer in de stam.
Op onderstaande foto's zijn enkele voorbeelden te zien van bomen waarbij dit het geval is.

Het zijn beide imposante Oosterse platanen (Platanus orientalis) in het Parc Paradisio, Brugelette, België. De boom links is de tweede dikste Oosterse plataan van België (7,05 m op het smalste punt), de boom rechts is een mooi voorbeeld van extreem dikke takken in verhouding met de stam (foto links door Jean-Pol Grandmont, rechts door Sammy Vande Kerckhove).
Om het volume van dergelijke bomen te kunnen bepalen, schreef ik een programma dat daarvoor gebruikt kan worden: Volume Calculation tool (enkel in het Engels).

Enkele recordbomen wat betreft stamvolume
Zoals hierboven in het tweede voorbeeldje wordt vermeld, is de meest volumineuze boom ter wereld een mammoetboom, genaamd "General Sherman". Deze boom heeft een stamvolume van ongeveer 1450 m³. Deze boomsoort wordt in volume gevolgd door enkele andere reuzenconiferen van de Amerikaans noordwestkust zoals de kustsequoia, de douglasspar en de Sitkaspar.

Uit metingen van de Middleton Oak, een "Live Oak" (Quercus virginiana) in het zuidoosten van de VS, blijkt - in tegenstelling tot bij naaldbomen - bij loofbomen een groot deel van het volume in de takken te kunnen zitten. De Middleton Oak heeft een stamvolume van slechts 28 m³, maar de kroon bevat ± 112 m³, dus de totale boom ± 140 m³.

Op bovenstaande foto is een laan met "live oaks" te zien op de Oak Alley Plantation, een voormalige suikerrietplantage nabij New Orleans (foto door Ronald Gorter). De "live oak" is daarmee samen met de grootste moerascipres (Taxodium distichum) de grootste boom van de oostelijke VS.

De meest volumineuze Europese boom is de grote zomereik van Ivenack, die een volume heeft dat gelijkaardig is aan dat van de Middleton Oak.
Het volume wordt dus op 140 m³ geschat, dat van Majesty, de Fredville oak (Groot-Brittannië) is door Robert van Pelt op 93,46 m³ geschat en dat van een wintereik bij Croft Castle (omtrek 8,6 meter, hoogte 35 m) op 107,6 m³. Bij deze eiken worden de holle ruimtes in de stam ook meegerekend, wat eigenlijk niet zou mogen indien men enkel het houtvolume wil bepalen.

Bovenstaande foto toont Majesty, een imposante zomereik in Fredville Park nabij Nonington (Groot-Brittannië). Deze weinig bekende schoonheid staat enigszins verborgen op een privaat stukje, maar wanneer je het ter plekke aan één van de bewoners vraagt, maken ze er allerminst een probleem van en tonen ze je graag de weg. Majesty is de dikste ongeknotte zomereik van Groot-Brittannië en heeft op anderhalve meter de enorme omtrek van 12,09 meter. Majesty is zonder enige twijfel één van de mooiste bomen die ik ooit zag.

De meest volumineuze boom van België en Nederland is volgens mij de mammoetboom van Esneux, zoals toegelicht in het eerste voorbeeldje.
Het volume van de eik van Liernu, de dikste boom van België en Nederland, wordt door Jeroen Philippona geschat op ruim 50 m³ (inclusief de holle ruimtes, zeer ruwe schatting op basis van foto's).

Hoe schat je de hoogte van een boom?

Inhoudstafel - top van pagina