3. De cirkel   

Terminologie - Vergelijking van een cirkel - Onderlinge ligging van cirkels en rechten    Constructie van cirkels en raaklijnen -  Regelmatige veelhoeken van p

straal	|OA| = r		Iets meer over... Cirkelbegrippen Apothema Lengte apothema Oefeningen straal, apothema, koorde
middellijn	[BD]
boog	AD
middelpunt	O
koorde	|BC|
apothema	|OM|
middelpuntshoek	AÔD = a
omtrekshoek	AÊD = b
diameter	|BD| = d
cirkel	c

• De loodlijn uit het middelpunt op een koorde deelt die koorde middendoor.

• De rechte die het middelpunt verbindt met het midden van een koorde staat loodrecht op die koorde.

• De middelloodlijn van een koorde gaat door het middelpunt.

• De middellijn is de langste koorde.

• Middelpuntshoek en omtrekshoek: applet dat het verband tussen omtrekshoeken en middelpuntshoeken op dezelfde boog illustreert.

• De omtrekshoeken op eenzelfde boog zijn steeds even groot.

• Constructie van een rechthoekige driehoek in een cirkel...  

Klik hier om uit te testen.

Gezien de middelpuntshoek 180° is, is de omtrekshoek op dezelfde boog steeds 90°.

ombouwen tot... Werk dit uit in je cursus en controleer hier.

• a² + b² - c > 0 Þ De vergelijking vormt een cirkel met  middelpunt (-a,-b) als coördinaat en straal

  

• a² + b² - c = 0 Þ De vergelijking vormt de nulcirkel. De straal is 0.

• a² + b² - c < 0 Þ De vergelijking vormt geen cirkel. De straal zou immers negatief moeten zijn.

• Vergelijking van de cirkel met gegeven middelpunt en straal, applet waarbij je de parameters kan wijzigen en de gevolgen ervan kan bestuderen.

• Gegeven: r = 3 en M(5,-1)
  Gevraagd: vergelijking van de cirkel (2 vormen)
  Oplossing: (x - 5)² + (y + 1)² = 9 of x² + y² - 10x + 2y + 17 = 0

• Gegeven: (x + 2)² + (y - 3)² = 25
  Gevraagd: bepaal straal en middelpunt
  Oplossing: r = 5 en M(-2,3)

• Gegeven:  x² + y² - 8x - 12y + 3 = 0
  Gevraagd: bepaal straal en middelpunt
  Oplossing: r = 7 en M(4,6)

    Van koorde naar raaklijn... Klik hier om te onderzoeken.

    Een raaklijn aan een cirkel is een rechte die met de cirkel precies één punt gemeenschappelijk heeft.

        Dat gemeenschappelijk punt heet raakpunt.

    De normaal is de loodrechte op de raaklijn.   

• Raaklijn door een punt op cirkel: applet 1 of applet 2

• Raaklijn door een punt buiten de cirkel: applet 1 of  applet 2

• Uitwendige raaklijn: applet 1 of Cabrifiguur

• Inwendige raaklijn: applet 1 of Cabrifiguur

 

• Op deze pagina kan je de onderlinge ligging tussen twee cirkels zelf onderzoeken met een Java-applet.

• Alle mogelijkheden op een rij voor C_(M,r1) en C_(N,r2)

  |MN| > r1 + r2  Þ 0 snijpunten Þ Volledig buiten elkaar liggend
  |MN| = r1 + r2  Þ 1 snijpunt   Þ Uitwendig rakend
  |r2 - r1| < |MN| < r1 + r2    Þ 2 snijpunten         Þ Snijdend
  |MN| = |r2 - r1|                   Þ 1 snijpunt             Þ Inwendig rakend

   

  Besluit:

  |MN| > r1 + r2  |MN| = r1 + r2  |r2 - r1| < |MN| < r1 + r2    |MN| = |r2 - r1|

  Þ Þ Þ Þ

  buiten elkaar uitwendig rakend snijdend inwendig rakend

  0 snijpunten 1 snijpunt 2 snijpunten 1 snijpunt

• Op deze pagina vind je een Java-applet om twee cirkels aan de hand van hun algemene vergelijking te construeren.

• Definitie nodig?

Een regelmatige veelhoek is een veelhoek waarvan de zijden en de hoeken gelijk zijn.

Voorbeelden: gelijkzijdige driehoek, vierkant, …..

• Regelmatige 5-hoek: constructie

• Eigenschappen:

• Als een veelhoek regelmatig is, dan liggen zijn hoekpunten op een cirkel.

• Ingeschreven veelhoek: de grootste veelhoek binnen een cirkel.

• Omgeschreven cirkel: de kleinste cirkel om een driehoek.

• Ingeschreven cirkel: de grootste cirkel in een driehoek.

• Som van de hoeken in een regelmatige n-hoek: (n – 2).180°
  vbn: 5-hoek: (5 – 2).180° = 540°                  10-hoek: (10 – 2).180° = 1440°

• Grootte hoeken regelmatige n-hoek:

  vbn: 5-hoek:             10-hoek: