1. Functies

   1.1 Functies van de tweede graad

   1.2 Vergelijkingen van de tweede graad

   1.3 Tekenverloop van een tweedegraadsfunctie

   1.4 Problemen en vraagstukken oplossen

   1.5 Elementaire functies

Wiskundig woordenboek, handig als je bepaalde begrippen wil opfrissen!

1.1 Functies van de tweede graad

• Eerste of tweede graad... een verkennend onderzoek (Onderzoek de betekenis van de parameters a,b of c in de volgende applet...)

• Samenvattende leerstof 2° graadsfuncties: algemene vorm, grafiek, dalparabool, bergparabool, symmetrieas. (Onderaan de uitleg vind je ook oefeningen...)

Bewijs

d = a en e = b

• Een overzicht van de grafieken vind je hieronder:

  • Grafiek y = ax² met a > 0 (voorbeeld en besluit)

  • Grafiek y = ax² met a < 0 (voorbeeld en besluit)

  • Grafiek y = a(x - a)² + b (effect van parameters, eerste oefeningen) (niet voor 4-uurs)

  • Grafiek y = ax² + bx + c: (voorbeeld)

• Invloed van a, b en c op de parabool kan je nogmaals hier of hier onderzoeken.

  • Als a negatief is, bekom je een bergparabool.

  • Als a positief is, is er sprake van een dalparabool.

  • Hoe groter de absolute waarde van a, hoe smaller de parabool wordt.

  • Hoe kleiner de absolute waarde van a, hoe breder de parabool wordt.

• Oefenen... baart kunst!

  Even testen... en dan oefeningen maken.

1.2 Vergelijkingen van de tweede graad

Noteer elke opgave steeds in de standaardvorm ax² + bx + c = 0.

Onvolledige vierkantsvergelijkingen

• f(x) = ax² met  b = 0 en c = 0

  • wortels bepalen Þ 1 oplossing, nl x = 0

• f(x) = ax² + c met b = 0 en c ¹ 0 Þ wortels bepalen

  • is positief: 2 oplossingen, tegengestelde getallen

  • is negatief: geen oplossing

• f(x) = ax² + bx met b ¹ 0 en c = 0 Þ wortels bepalen

  • ontbinden is de boodschap Þ 2 oplossingen, nl x = 0 en x is een getal dat je moet bepalen

Volledige vierkantsvergelijkingen (algemeen geval)

Wortels van een 2° graadsvergelijking

Discriminant D = b2 - 4ac

• Bewijs van deze formules. In Nederland wordt vaak de term ABC-formule gebruikt.

• Formules bij oplossen van een 2° graadsvergelijking: discriminant en wortels (ook wel ABC-formule genoemd)
  met 2 voorbeelden voor gebruik en onderaan 4 oefeningen met oplossing.

Eigenschappen van wortels - Ontbinden in factoren

• Som en productmethode

• Aantal en tekens van de wortels... een uitgewerkt voorbeeld.

Bikwadratische vierkantsvergelijking - Wederkerige vierkantsvergelijking

  Oefeningen

1.3 Tekenverloop van tweedegraadsfuncties

Tekenverloop

Ongelijkheden oplossen

• Hoe los je een ongelijkheid op? Klik hier.

• Enkele bijkomende oefeningen hierop - met oplossing - vind je hier. Kies opgave 2 tot en met 6.

Ongelijkheden met in het linkerlid een product van 1ste en 2e graadsfactoren

• Bepaal de nulpunten voor elke factor van het product.

• Maak in dezelfde tabel voor elke factor - werk onder elkaar nadat je alle nulpunten in volgorde noteerde - een tekenoverzicht.

• Neem de doorsnede van alle voorkomende factoren.

Stelsels ongelijkheden

Oefeningen

1.4 Problemen en vraagstukken oplossen

Opstellen van de vergelijking van een parabool

Vraagstukken

• Voorbeeld 1: Onderzoek de relatie tussen lengte/breedte van een rechthoek en haar oppervlakte. Wanneer is de oppervlakte maximaal? Klik op de figuur om te onderzoeken.
   

• Voorbeeld 2: In de turnles doe je aan verspringen. De turnleraar zegt dat je sprong wordt gegeven door volgende formule:
  h(x) = - 0,0625 x² + 0,5 x. Hierin is x de horizontale afstand vanaf de afstoot (in meter) en h de hoogte (in meter).

  • Hoe ver heb je gesprongen?

  • Wat was de maximale hoogte tijdens deze sprong?

• Zeven vraagstukken om te oefenen, met oplossingen.

• Oefeningen

• Even verkennen kan hier.

• Drie standaardfuncties worden hier onder de loep genomen:

  • f(x)= x³

  • f(x)=Öx

  • f(x)= 1 / x

• Welke van onderstaande titels horen bij elk van deze standaardfuncties?

1.5.1 Veeltermfuncties:

Klik hier voor meer informatie, ook de begrippen gedrag op oneindig en limiet komen aan bod. Wij maken enkel kennis, de verdieping gebeurt in het 5de jaar.

1.5.2 Rationale functies:

Klik hier voor meer informatie, ook de begrippen asymptoot en limiet komen aan bod. Wij maken enkel kennis, de verdieping gebeurt in het 5de jaar.

1.5.3 Irrationale functies

1.5.4 Invloed van het teken

1.5.5 Even en oneven functies

1.5.6 Invloed van constanten

1.5.7 De homografische functie

1.5.8 Samenvatting

Samenvatting transformaties van functies
Spiegelen	x-as	Y = - f(x)	Alles van teken veranderen
	y-as	Y = f (-x)	Alleen x van teken veranderen
	oorsprong	y = -f(-x)	zowel teken van alles als van x veranderen
Uitrekken	y-as	Y = a.f(x)	Alles met a vermenigvuldigen
Inkrimpen		Y = a.f(x)	Alles door a delen
Uitrekken	x-as	Y = f (b.x)	Alleen x door b delen
Verschuiven	x-as	Y = f(x) + c	Omhoog ® + ; omlaag ® -
Verschuiven	y-as	Y = f(x + d)	Links ® + ; rechts ® -

1.5.9 Oefeningen

• Deze applet geeft een idee over de groei van bacteriën, gegeven door een exponentiële functie.