Dus jij zou je inschrijven voor "de crack". Nochtans valt er met "het genie" meer geld te verdienen... als je lang genoeg in het spel blijft tenminste! Laten we eens wat rekenen ...

Dus jij zou je inschrijven voor "het genie". Geen slechte keuze want met deze quiz kan je het meest verdienen... maar dan moet je wel erg goed zijn en lang genoeg in het spel blijven! Laten we eens wat rekenen ...

Bereken eens even wat je in beide programma's per uitzending kunt winnen: vul het rijtje verder aan.

 

uitzending	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
de crack
het genie

 

Merk vooral op dat beide reeksen een regelmaat vertonen: we noemen dit rijen. Maar er zijn ook overduidelijk verschillen te merken. Zo stijgt de waarde van de getallen sneller bij "het genie".

Als we op zoek gaan naar de regelmaat, dan stellen we bij "de crack" vast dat elk getal in de rij net 250 meer is dan het voorgaande. Je vindt dus de volgende term uit de rij door een bepaald getal bij het voorgaande te tellen. Zo'n rij noemen we een rekenkundige rij en dat getal noemen we het verschil (v). Bij "het genie" vinden we de nieuwe waardes door telkens het het vorige getal te vermenigvuldigen met een bepaalde getal. Zo'n rij noemen we een meetkundige rij en dat getal het quotiënt (q).

Om een rij te bepalen moet je proberen de regelmaat in de reeks geordende getallen vast te leggen in een voorschrift. Er zijn twee soorten voorschriften: het recursief en het expliciet voorschrift.

Bij een recursief voorschrift krijg je een formule om de zoveelste term te berekenen op basis van één of meer voorgaande termen. Om zo de rij te bepalen moet je uiteraard wel de startwaarde kennen. Voor onze quizprogramma's zou je de volgende recursieve voorschriften kunnen gebruiken.
 

de crack	u1 = 500	en un = un-1 + 250
het genie	u1 = 50	en un = 2 . un-1

Bij een expliciet voorschrift krijg je een formule om de zoveelste term te berekenen op basis zijn plaats in de rij. Voor onze quizprogramma's zou je de volgende expliciete voorschriften kunnen gebruiken.
 

de crack	un = 250 . n + 250	voorbeeld: u7 = 250 . 7 + 250 = 2000
het genie	un = 25 . 2n	voorbeeld: u7 = 25 . 27 = 3200

Stel dat je 15 keer zou mogen deelnemen aan zo'n quiz, hoeveel zou er dan te verdienen zijn in de 15de aflevering van "de crack"? En bij "het genie"?
In de 15de uitzending van "de crack" kan je euro verdienen en bij "het genie" staat er in de 15de aflevering al euro op het spel.

Opmerking: het is niet altijd eenvoudig de voorschriften van rijen te vinden.

Als je de grafiek tekent van een rekenkundige rij bekom je een rij van punten die op een rechte gelegen zijn. Men spreekt bij rekenkundige rijen dan ook van lineaire groei. Het expliciet voorschrift van een RR heeft immers dezelfde vorm van een vergelijking van een rechte. Het expliciet voorschrift van een RR kan altijd geschreven worden in de vorm u_n = u₁ + (n-1).v

Als je de grafiek tekent van een meetkundige rij bekom je een rij van punten die op een kromme gelegen zijn. Deze kromme stijgt steeds sneller. Bij meetkundige rijen spreekt men van exponentiële groei (in het expliciet voorschrift vind je "n" terug als exponent). Het expliciet voorschrift van een MR kan altijd geschreven worden in de vorm u_n = u₁ . q^n-1

 

Blijft nog de vraag met welk bedrag onze quizkandidaten uiteindelijk naar huis gaan. Hiertoe moet je de som van de eerste zoveel termen uit de rij bepalen. We gaan hier niet de volledige afleiding, maar wel de uiteindelijke formules geven.

De som (s_n) van een RR bereken je als volgt:

De som (s_n) van een MR bereken je als volgt:
(indien q = 1 dan is s_n = u₁ . n)

Ga nu eens op twee manieren na wat onze kandidaten bij "de crack" en "het genie" in het totaal verdiend hebben na 7 gewonnen afleveringen. Tel het eerst gewoon manueel op aan de hand van de tabel bovenaan en reken het daarna ook eens uit met behulp van deze formules.
Na 7 overwinningen heb je bij "de crack" al een totaal van euro verdiend en bij "het genie" zit je dan al aan euro in het totaal.

Bereken nu ook eens hoeveel je (in theorie) na 15 afleveringen aan prijzengeld bij elkaar kan schrapen (gebruik de formules).
Na 15 overwinningen heb je bij "de crack" al een totaal van euro verdiend en bij "het genie" zit je dan al aan euro in het totaal.