| Telproblemen |
4 |
Lesopdracht - Een overzicht van de leerstof vind je hier.
Tellen met bomen (productregel)
# (A
x B) = # A
. #
B
# (A x B x C ... N) = # A . # B .
# C . ... . # N
Inclusie-exclusieprincipe (somregel)
A Ç B = f Þ # (A È B) = # A + # B
A Ç B ¹ f Þ # (A È B) = # A + # B - # (A Ç B)
Oplossen door ontkenning
Handig voor het oplossen van vraagstukken waar het woord "of "of "minstens" in voorkomt.
De kans op de tegengestelde gebeurtenis van A:
we noteren dit als P(A).
P(A) = 1 - P(A)
Oplossen door toepassing van som- en productregel
Tellen met behulp van een venndiagram (neem hier een kijkje)
Tellen van wegen
Het ladenprincipe (extra): Het bakjesmodel in voorbeelden.
Samenvatting
We gooien 5 keer met een dobbelsteen.
We trekken een kaart uit een volledig kaartspel.
Opgooien van een muntstuk.
Daarbij gaat het niet om de praktische uitvoering, maar om het gedachte-experiment van het werpen met een (ideale) dobbelsteen of munt.
In de werkelijkheid hebben we te maken met praktische kansexperimenten als
het geboren worden van een jongen of een meisje,
het aantal verkeersongelukken per maand op een bepaald weggedeelte,
de meting van het IQ bij kinderen van 12
of het optreden van onweer op 21 juni in Kortrijk.
Uitkomst: het mogelijke resultaat van een experiment.
1, 2, 3, 4, 5 of 6 zijn mogelijke uitkomsten als je met een dobbelsteen gooit.
Je kan zowel harten, ruiten, schoppen of klaveren
trekken
en van elke soort is er de mogelijkheid op een 1, 2, 3, ... 10 of
boer, dame of heer.
Kop of munt zijn de enige mogelijkheden bij het gooien met een muntstuk.
Uitkomstenverzameling U: omvat alle mogelijke resultaten van het experiment.
U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } als je één keer met een dobbelsteen gooit.
U = { (1,1), (1,2), (1,3),... (6,6) } als je twee keer met een dobbelsteen gooit.
U = { H1, H2, H3, ... HB, HD, HH, R1, R2, R3, ...
RB, RD, RH, S1, ... SD, SH, K1, ... KH }
als je één kaart trekt uit een
kaartspel.
De verzameling van alle
mogelijke uitkomsten van een kansexperiment
wordt universum of
uitkomstenverzameling genoemd.
Het universum wordt aangeduid met U of met de Griekse hoofdletter omega, W.
Een deelverzameling van de uitkomstenruimte wordt aangeduid met gebeurtenis.
Gebeurtenis: een deelverzameling van de uitkomstenverzameling.
Bij mens erger je niet moet je 6 gooien om te kunnen
beginnen spelen.
Dit is dus wat je wil gooien, dit is in dit geval de
gebeurtenis.
Je moet een harten trekken om een prijs te winnen.
Nog een voorbeeld:
Het werpen van een dobbelsteen is een voorbeeld van een kansexperiment.
De uitkomstenruimte van dit experiment bestaat uit de verzameling van alle mogelijke uitkomsten,
dus W = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.Een gebeurtenis is het gooien van 5 of meer ogen, dus de deelverzameling {5, 6}.
Het complement van een gebeurtenis, evenals de doorsnede en de vereniging of unie van twee gebeurtenissen,
kunnen gedefinieerd worden met behulp van begrippen uit de verzamelingenleer (zie later).
Ken jij het antwoord?
We gooien driemaal een euro op en tellen het aantal keren dat munt boven komt.
Van dit kansexperiment is het universum:Gebeurtenissen bestaan uit
zekere (bvb: Pasen en Kerstdag vallen nooit op dezelfde dag),
onmogelijke (bvb: Pasen en Kerstdag vallen op dezelfde dag),
enkelvoudige (ook elementaire genoemd) en
afgeleide gebeurtenissen. Deze laatste wordt nog eens onderverdeeld in:
doorsnede
A Ç B = { u Î U | u Î A en u Î B }
unie
A È B = { u Î U | u Î A of u Î B }
verschil
A \ B = { u Î U | u Î A en u Ï B }
complement
A = { u Î U | u Ï A }
disjunct
A Ç B = f
Relatieve frequentie en kans
Uniforme kansverdeling:
formule van Laplace
Niet-uniforme kansverdeling
Statistisch bepalen van kansen
Kansbomen
Samenvatting
Berekenen van kansen: overzicht
|
|
|
|
|
Optellen of vermenigvuldigen? |
Jij wil meer te weten komen?
Leerstof: Kansen en tellen
Wat is kansberekenen? Klik bij 'Definitie van een kans' voor meer informatie
Volledig overzicht?
Het complement van een
gebeurtenis is de
deelverzameling van de uitkomsten, die niet tot die gebeurtenis behoren. Het
complement van A (notatie:
) bevat juist die
elementen die niet to A behoren.
wordt ook wel als
"niet A" uitgesproken.
Twee complementaire gebeurtenissen vormen samen het gehele universum
van het kansexperiment: W = A
.
Voorbeeld. Het complement van de gebeurtenis 'het gooien van 5
of meer ogen' is dus 'het gooien van 4 of minder ogen'. Dit is de
deelverzameling {1, 2, 3, 4}. Hier is A = {5, 6} en
= {1, 2, 3, 4}.
De doorsnede van twee gebeurtenissen bevat die uitkomsten, die tot
beide gebeurtenissen behoren. De doorsnede van de gebeurtenissen
A en B wordt aangeduid met
A
B, uitgesproken als A én
B.
Voorbeeld. De doorsnede van de gebeurtenissen 'het gooien van 5 of meer ogen' en 'het gooien van 5 of minder ogen' is '5 ogen'.
Als twee gebeurtenissen elkaar uitsluiten, dat wil zeggen geen enkele
uitkomst gemeenschappelijk hebben, worden zij
disjunct genoemd. We zeggen, dat hun doorsnede leeg is en geven dat aan met:
A
B =
. Het symbool
duidt een lege
verzameling aan.
Complementaire gebeurtenissen zijn per definitie disjunct.
Voorbeeld. De doorsnede van de gebeurtenissen 'het gooien van 5
of meer ogen' en 'het gooien van minder dan 5 ogen' is leeg. De gebeurtenissen
zijn dus disjunct. A = {5, 6} en B
= {1, 2, 3, 4} zijn disjunct, omdat A
B
= . dat wil zeggen, dat
geen enkele uitkomst tot zowel A als
B behoort.
De vereniging van twee gebeurtenissen, bevat alle uitkomsten, die tot
één van beide gebeurtenissen of tot beide behoren. De vereniging van de
gebeurtenissen A en B wordt
aangeduid met A
B,
uitgesproken als A óf B.
Als de gebeurtenissen
disjunct zijn, dus als de
doorsnede van A en B leeg
is, wordt de vereniging A
B
verkregen door de uitkomsten van A aan die van
B toe te voegen.
Voorbeeld. De vereniging van de gebeurtenissen 'het gooien van 5 ogen' en 'het gooien van 6 ogen' met een dobbelsteen is 'het gooien van 5 of 6 ogen'. De gebeurtenissen zijn disjunct (sluiten elkaar uit), want je kunt niet tegelijk een 5 en een 6 gooien.
Veelal zijn de gebeurtenissen niet
disjunct, en is dus de
doorsnede van A en B niet
leeg. In dat geval wordt A
B
verkregen door uitkomsten van A toe te voegen aan die
van B en de (dubbel getelde) uitkomsten in de doorsnede
A
B één keer te verwijderen.
Voorbeeld. De vereniging van de gebeurtenissen 'het gooien van
5 of meer ogen' en 'het gooien van een oneven aantal ogen' is 1, 3, 5 of 6 ogen.
De eerste gebeurtenis is A = {5, 6}, de tweede is
B = {1, 3, 5} en A
B
= {5, 6} plus {1, 3, 5} - minus eenmaal de doorsnede {5} is {1, 3, 5, 6}. De
doorsnede van beide gebeurtenissen, 5 ogen, mag dus slechts eenmaal in de
vereniging vóórkomen. De animatie brengt dit in beeld.
Eenvoudig
De kans op de vereniging van twee gebeurtenissen is gelijk aan de som van de kansen op ieder van de gebeurtenissen, mits de gebeurtenissen disjunct zijn. De notatie van deze somregel is:
P(A
B)
= P(A) + P(B)
Voorbeeld. De kans op het gooien van een 5 of een 6 met een (ideale)
dobbelsteen is P( 5 6) =
P(5) + P(6) = 1/6 + 1/6 = 1/3. Het gooien van een 5 en het gooien van een 6 zijn
elkaar uitsluitende gebeurtenissen, want je kunt niet tegelijk een 5 en een 6
gooien.
Algemeen
Als twee gebeurtenissen A en B
elkaar niet uitsluiten is de kans op de gebeurtenis A
B
gelijk aan de som van de kansen op A en
B minus de kans op de
doorsnede van A en B. De
notatie van deze algemene somregel is:
P(A
B)
= P(A) + P(B) - P(A
B)
De kans op het optreden van de doorsnede van A en
B, P(A
B),
kan empirisch worden bepaald of met behulp van een van de
productregels worden berekend.
Voorbeeld. De kans op het 'gooien van 5 of meer ogen' of het 'gooien
van een oneven aantal ogen' met een (ideale) dobbelsteen kan met de algemene
somregel worden berekend. A = {5,6} en
B = {1,3,5}. De doorsnede A
B
= {5} i.e. de enige uitkomst, die A en
B gemeenschappelijk hebben. Dus is:
P(A
B
= P(A) + P(B) - P(A
B)
= 2/6 + 3/6 - 1/6 = 2/3
Als A en B disjunct zijn,
dus elkaar uitsluiten is de doorsnede van A en
B leeg en is dus de kans P(A
B)
per definitie gelijk aan 0. De
somregel is dus een speciaal geval van de algemene somregel.
Laatst bijgewerkt op 03/02/2009